2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專題17 數(shù)列的概念及表示 理.doc
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專題17 數(shù)列的概念及表示 一、考綱要求: 1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式). 2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù). 二、概念掌握及解題上的注意點(diǎn): 1.求數(shù)列通項(xiàng)時(shí),要抓住以下幾個特征: (1)分式中分子、分母的特征. (2)相鄰項(xiàng)的變化特征. (3)拆項(xiàng)后變化的部分和不變的部分的特征. (4)各項(xiàng)符號特征等,并對此進(jìn)行歸納、化歸、聯(lián)想. 2.若關(guān)系不明顯時(shí),應(yīng)將部分項(xiàng)作適當(dāng)?shù)淖冃?,統(tǒng)一成相同的形式,讓規(guī)律凸顯出來.對于正負(fù)符號變化,可用(-1)n或(-1)n+1來調(diào)整,可代入驗(yàn)證歸納的正確性. 3.已知Sn求an的三個步驟 (1)先利用a1=S1求出a1. (2)用n-1替換Sn中的n得出Sn-1,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式. (3)看a1是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式,如果符合,則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫;如果不符合,則應(yīng)寫成分段函數(shù)的形式. 4.由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的常用方法 (1)已知a1,且an-an-1=f(n),可用“累加法”求an. (2)已知a1(a1≠0),且=f(n),可用“累乘法”求an. (3)已知a1,且an+1=qan+b,則an+1+k=q(an+k)(其中k可由待定系數(shù)法確定),可轉(zhuǎn)化為{an+k}為等比數(shù)列. 三、高考考題題例分析: 例1.(2015廣東卷節(jié)選)數(shù)列滿足, 求的值; 【答案】; 【解析】依題意, ∴ ; 例2.(2015高考山東卷節(jié)選)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知. (I)求的通項(xiàng)公式; 答案】 例3.(2015高考新課標(biāo)1節(jié)選)為數(shù)列{}的前項(xiàng)和.已知>0,=. 求{}的通項(xiàng)公式; 【答案】 【解析】當(dāng)時(shí),,因?yàn)?,所?3, 當(dāng)時(shí),==,即,因?yàn)?,所?2, 所以數(shù)列{}是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列, 所以=; 數(shù)列的概念及表示練習(xí) 一、 選擇題 1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-8n+15,則3 ( ) A.不是數(shù)列{an}中的項(xiàng) B.只是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng) C.只是數(shù)列{an}中的第6項(xiàng) D.是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng) 【答案】D 【解析】令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6, 故3是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng). 2.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2,則a8的值為 ( ) A.15 B.16 C.49 D.64 【答案】A 【解析】當(dāng)n=8時(shí),a8=S8-S7=82-72=15. 3.在數(shù)列{an}中,a1=1,an=1+(n≥2),則a5等于 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 4.下列數(shù)列中,既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是 ( ) A.1,,,,… B.-1,-2,-3,-4,… C.-1,-,-,-,… D.1,,,…, 【答案】C 【解析】根據(jù)定義,屬于無窮數(shù)列的是選項(xiàng)A,B,C,屬于遞增數(shù)列的是選項(xiàng)C,D,故同時(shí)滿足要求的是選項(xiàng)C. 5.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=2,an+1=Sn+1(n∈N*),則S5= ( ) A.31 B.42 C.37 D.47 【答案】D 【解析】∵an+1=Sn+1(n∈N*),即Sn+1-Sn=Sn+1(n∈N*),∴Sn+1+1=2(Sn+1)(n∈N*),∴數(shù)列{Sn+1}為等比數(shù)列,其首項(xiàng)為3,公比為2.則S5+1=324,解得S5=47.故選D. 6.把1,3,6,10,15,21,…這些數(shù)叫做三角形數(shù),這是因?yàn)橐赃@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個正三角形 則第7個三角形數(shù)是 ( ) A.27 B.28 C.29 D.30 【答案】B 【解析】由題圖可知,第7個三角形數(shù)是1+2+3+4+5+6+7=28. 7.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是 ( ) A.2n-1 B. C.n2 D.n 【答案】D 8.已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=(n∈N*),則該數(shù)列的前2 019項(xiàng)的乘積a1a2a3…a2 019= ( ) A. B.- C.3 D.-3 【答案】C 【解析】由題意可得,a2==-3,a3==-,a4==,a5==2=a1, ∴數(shù)列{an}是以4為周期的數(shù)列,而2 019=4504+3,a1a2a3a4=1, ∴前2 019項(xiàng)的乘積為1504a1a2a3=3. 9.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=3,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,則a20的值是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 10.已知n∈N*,給出4個表達(dá)式: ①an= ②an=; ③an=; ④an=.其中能作為數(shù)列:0,1,0,1,0,1,0,1,…的通項(xiàng)公式的是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 【答案】A 【解析】檢驗(yàn)知①②③都是所給數(shù)列的通項(xiàng)公式. 11.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=2an-4(n∈N*),則an= ( ) A.2n+1 B.2n C.2n-1 D.2n-2 【答案】A 【解析】由Sn=2an-4可得Sn-1=2an-1-4(n≥2),兩式相減可得an=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1(n≥2).又a1=2a1-4,a1=4,∴數(shù)列{an}是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,則an=42n-1=2n+1,故選A. 12.若數(shù)列{an}滿足:a1=19,an+1=an-3(n∈N*),則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和數(shù)值最大時(shí),n的值為 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】B 二、填空題 13.在數(shù)列-1,0,,,…,,…中,0.08是它的第______項(xiàng). 【答案】10 【解析】令=0.08,得2n2-25n+50=0, 則(2n-5)(n-10)=0,解得n=10或n=(舍去). ∴a10=0.08. 14.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=,若a4=32,則a1=________. 【答案】12 【解析】∵Sn=,a4=32, ∴-=32,∴a1=. 15.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an-an+1=nanan+1(n∈N*),則an=__________. 【答案】 【解析】由已知得,-=n,所以-=n-1, -=n-2,…,-=1,所以-=,a1=1, 所以=,所以an=. 16.在一個數(shù)列中,如果?n∈N*,都有anan+1an+2=k(k為常數(shù)),那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列,k叫做這個數(shù)列的公積.已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列,且a1=1,a2=2,公積為8,則a1+a2+a3+…+a12=________. 【答案】28 【解析】依題意得數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列,且a1=1,a2=2,a3=4,因此a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4(1+2+4)=28. 三、解答題 17. 已知下面數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,求{an}的通項(xiàng)公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n+b. 【答案】(1) an=4n-5. (2) an= 18.分別求出滿足下列條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式. (1)a1=2,an+1=an+3n+2(n∈N*); (2)a1=1,an=an-1(n≥2,n∈N*); (3)a1=1,an+1=3an+2(n∈N*). 【答案】(1) an=(n≥2). (2) an=n (3) an=23n-1-1. 【解析】 (1)∵an+1-an=3n+2, ∴an-an-1=3n-1(n≥2), ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =(n≥2). 當(dāng)n=1時(shí),a1=(31+1)=2符合公式, ∴an=n2+. 19. (1)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+,求an. (2)在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2nan,求an. 【答案】(1) an=3-; (2) an=2 【解析】(1)an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=++…+++2=3-. (2)由于=2n, 故=21,=22,…,=2n-1, 將這n-1個等式疊乘, 得=21+2+…+(n-1)=2,故an=2. 20.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n+1-2. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=an+an+1,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式. 【答案】(1)an=2n(n∈N*) (2)bn=32n 21.已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且滿足Sn=a+an(n∈N*). (1)求a1,a2,a3,a4的值; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. 【答案】(1) a1=1, a2=2, a3=3,a4=4. (2) an=n. 【解析】 (1)由Sn=a+an(n∈N*),可得 a1=a+a1,解得a1=1; S2=a1+a2=a+a2,解得a2=2; 同理,a3=3,a4=4. (2)Sn=a+an,① 當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=a+an-1,② ①-②得(an-an-1-1)(an+an-1)=0. 由于an+an-1≠0,所以an-an-1=1, 又由(1)知a1=1,故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1, 公差為1的等差數(shù)列,故an=n. 22.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n2+kn+4. (1)若k=-5,則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)?n為何值時(shí),an有最小值?并求出最小值; (2)對于n∈N*,都有an+1>an,求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 【答案】(1) 最小值為a2=a3=-2. (2) (-3,+∞)- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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