《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 課時分層訓(xùn)練47 利用空間向量求空間角 理 北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 課時分層訓(xùn)練47 利用空間向量求空間角 理 北師大版(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
1
2、 1
課時分層訓(xùn)練(四十七) 利用空間向量求空間角
A組 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
一、選擇題
1.在正方體A1B1C1D1-ABCD中,AC與B1D夾角的大小為( )
A. B.
C. D.
D [建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體邊長為1,則A(0,0,0),C(1,1,0),B1(1,0,1),D(0,1,0).
∴=(1,1,0),
=(-1,1,-1),
3、
∵·=1×(-1)+1×1+0×(-1)=0,
∴⊥,
∴AC與B1D的夾角為.]
2. (20xx·西安調(diào)研)如圖7-7-20,在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為( )
圖7-7-20
A. B.-
C. D.-
A [不妨設(shè)CB=1,則B(0,0,1),A(2,0,0),C1=(0,2,0),B1(0,2,1),∴=(0,2,-1),=(-2,2,1).
cos〈,〉===.]
3.(20xx·鄭州調(diào)研)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1與平面ACD1夾角的正弦值為( )
4、【導(dǎo)學(xué)號:79140255】
A. B.
C. D.
B [設(shè)正方體的棱長為1,以D為坐標(biāo)原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.則B(1,1,0),B1(1,1,1),A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),
所以1=(0,0,1),=(-1,1,0),1=(-1,0,1).
令平面ACD1的法向量為n=(x,y,z),則n·=-x+y=0,n·1=-x+z=0,令x=1,可得n=(1,1,1),所以sin θ=|cos〈n,1〉|==.]
4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等,則AB1與側(cè)面
5、ACC1A1夾角的正弦值等于( )
A. B.
C. D.
A [
如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正三棱柱的棱長為2,則O(0,0,0),B(,0,0),A(0,-1,0),B1(,0,2),所以=(,1,2),由題知=(-,0,0)為側(cè)面ACC1A1的法向量.即sin θ==.故選A.]
5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E為BB1的中點,則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為( )
A. B.
C. D.
B [以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,設(shè)棱長為1,則A1(0,0,1),
E,D(0,1,0),∴=(0,1,-
6、1),=.
設(shè)平面A1ED的一個法向量為n1=(1,y,z),
∴有即
解得
∴n1=(1,2,2).
∵平面ABCD的一個法向量為n2=(0,0,1).
∴cos〈n1,n2〉==,
即所成的銳二面角的余弦值為.]
二、填空題
6.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,則D1C1與平面A1BC1夾角的正弦值為________.
[
以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)n=(x,y,z)為平面A1BC1的法向量,
則n·=0,n·=0,
即令z=2,則y=1,x=2,
于是n=(2,1,2),=(
7、0,2,0).
設(shè)所求線面角為α,則sin α=|cos〈n,〉|=.]
7.如圖7-7-21所示,二面角的棱上有A,B兩點,直線AC,BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi),且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,則該二面角的大小為________.
圖7-7-21
60° [∵=++,
∴||=
=
==2.
∴·=||·||·cos〈,〉=-24.
∴cos〈,〉=-.
又所求二面角與〈,〉互補,
∴所求的二面角為60°.]
8.在一直角坐標(biāo)系中,已知A(-1,6),B(3,-8),現(xiàn)沿x軸將坐標(biāo)平面折成60°的二面角,則折疊后A,B兩點間的距
8、離為________.
【導(dǎo)學(xué)號:79140256】
2 [如圖為折疊后的圖形,其中作AC⊥CD,BD⊥CD,
則AC=6,BD=8,CD=4,
兩異面直線AC,BD夾角為60°.
故由=++,
得||2=|++|2=68,
所以||=2.]
三、解答題
9.(20xx·合肥一檢)如圖7-7-22,在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,四邊形ABCD為菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2.
圖7-7-22
(1)若M為CD的中點,求證:AM⊥平面AA1B1B;
(2)求直線DD1與平面A1BD夾角的正弦值.
[解] (
9、1)證明:∵四邊形ABCD為菱形,∠BAD=120°,連接AC,則△ACD為等邊三角形,
又∵M(jìn)為CD的中點,∴AM⊥CD,
由CD∥AB得AM⊥AB.
∵AA1⊥底面ABCD,AM底面ABCD,
∴AM⊥AA1,又∵AB∩AA1=A,
∴AM⊥平面AA1B1B.
(2)∵四邊形ABCD為菱形,∠BAD=120°,
AB=AA1=2A1B1=2,
得DM=1,AM=,∴∠AMD=∠BAM=90°,
又∵AA1⊥底面ABCD,
∴以點A為原點,分別以AB,AM,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,
A1(0,0,2),B(2,0
10、,0),D(-1,,0),D1,
∴1=,=(-3,,0),
=(2,0,-2).
設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),
則有?
令x=1,則n=(1,,1).
∴直線DD1與平面A1BD夾角θ的正弦值
sin θ=|cos〈n,1〉|==.
10.(20xx·江蘇高考)如圖7-7-23,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.
圖7-7-23
(1)求異面直線A1B與AC1夾角的余弦值;
(2)求二面角B-A1D-A的正弦值.
[解] 在平面ABCD內(nèi),過點A作AE⊥AD,交BC于點E
11、.
因為AA1⊥平面ABCD,所以AA1⊥AE,AA1⊥AD.
如圖,以{,,}為正交基底,
建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.
因為AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°,
則A(0,0,0),B(,-1,0),D(0,2,0),E(,0,0),
A1(0,0,),C1(,1,).
(1)=(,-1,-),=(,1,),
則cos〈,〉=
==-,
因此異面直線A1B與AC1夾角的余弦值為.
(2)平面A1DA的一個法向量為=(,0,0).
設(shè)m=(x,y,z)為平面BA1D的一個法向量,
又=(,-1,-),=(-,3,0),
則即
不妨取x=3,則y=
12、,z=2,
所以m=(3,,2)為平面BA1D的一個法向量.
從而cos〈,m〉===.
設(shè)二面角B-A1D-A的大小為θ,則|cos θ|=.
因為θ∈[0,π],所以sin θ==.
因此二面角B-A1D-A的正弦值為.
B組 能力提升
11.(20xx·河南百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各棱長均為2,∠A1AD=60°,∠BAD=90°,平面A1ADD1⊥平面ABCD,則直線BD1與平面ABCD夾角的正切值為( )
【導(dǎo)學(xué)號:79140257】
A. B.
C. D.
C [取AD中點O,連接OA1,易證A1O⊥平面ABCD.建立如圖所示
13、的空間直角坐標(biāo)系,
得B(2,-1,0),D1(0,2,),=(-2,3,),平面ABCD的一個法向量為n=(0,0,1),設(shè)BD1與平面ABCD的夾角為θ,∴sin θ==,
∴tan θ=.]
12.已知點E,F(xiàn)分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值等于________.
[延長FE,CB相交于點G,連接AG,如圖所示.
設(shè)正方體的棱長為3,則GB=BC=3,作BH⊥AG于點H,連接EH,則∠EHB為所求二面角的平面角.
∵BH=,EB=1,∴tan∠EHB==.]
14、13.(20xx·全國卷Ⅱ)如圖7-7-24,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中點.
圖7-7-24
(1)證明:直線CE∥平面PAB;
(2)點M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面角M-AB-D的余弦值.
【導(dǎo)學(xué)號:79140258】
[解] (1)證明:取PA的中點F,連接EF,BF.
因為E是PD的中點,所以EF∥AD,EF=AD.
由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD,
又BC=AD,所以EFBC,
四邊形BCEF是平行四邊形,CE∥BF.
又
15、BF平面PAB,CE平面PAB,故CE∥平面PAB.
(2)由已知得BA⊥AD,以A為坐標(biāo)原點,的方向為x軸正方向,||為單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-),=(1,0,0).
設(shè)M(x,y,z)(0