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1、精選優(yōu)質文檔-----傾情為你奉上 第2講　排列與組合 [最新考綱] 1．理解排列、組合的概念． 2．能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式． 3．能解決簡單的實際問題. 知 識 梳 理 1．排列與組合的概念 名稱 定義 排列 從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同元素 按照一定的順序排成一列 組合 合成一組 2.排列數(shù)與組合數(shù) (1)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)． (2)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)． 3．排列

2、數(shù)、組合數(shù)的公式及性質 公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (2)C＝＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．特別地C＝1. 性質 (1)0?。?；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C. 辨 析 感 悟 1．排列與組合的基本概念、性質 (1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列．(×) (2)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．(√) (3)若組合式C＝C，則x＝m成立．(×) 2．排列與組合的應用 (4)5個人站成一排，其中甲、乙兩人不相鄰的排法有A－AA＝72種．(√) (5)(教材習題改編)由0,1,2,3這四個數(shù)字組成的四位數(shù)中，有

3、重復數(shù)字的四位數(shù)共有3×43－A＝168(個)．(×) (6)(2013·北京卷改編)將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數(shù)是4A＝96種．(√) [感悟·提升] 1．一個區(qū)別　排列與組合最根本的區(qū)別在于“有序”和“無序”．取出元素后交換順序，如果與順序有關是排列，如果與順序無關即是組合，如(1)忽視了元素的順序． 2．求解排列、組合問題的思路：“排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類相加，分步相乘．” 學生用書第174頁 考點一　排列應用題 【例1】 4個男同學，3個女同學站成一排．

4、 (1)3個女同學必須排在一起，有多少種不同的排法？ (2)任何兩個女同學彼此不相鄰，有多少種不同的排法？ (3)甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？ 解　(1)3個女同學是特殊元素，共有A種排法；由于3個女同學必須排在一起，視排好的女同學為一整體，再與4個男同學排隊，應有A種排法． 由分步乘法計數(shù)原理，有AA＝720種不同排法． (2)先將男生排好，共有A種排法，再在這4個男生的中間及兩頭的5個空檔中插入3個女生有A種方法． 故符合條件的排法共有AA＝1 440種不同排法． (3)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A種排法；由于甲、乙要相鄰，故先把甲、乙排好，

5、有A種排法；最后把甲、乙排好的這個整體與丙分別插入原先排好的4人的空檔及兩邊有A種排法． 總共有AAA＝960種不同排法． 規(guī)律方法 (1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法． (2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法． 【訓練1】 (1)(2014·濟南質檢)一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為(　　)． A．3×3! B．3×(3！)3 C

6、．(3！)4 D．9! (2)(2013·四川卷)從1,3,5,7,9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的個數(shù)是(　　)． A．9 B．10 C．18 D．20 解析　(1)把一家三口看作一個排列，然后再排列這3家，所以有(3！)4種． (2)由于lg a－lg b＝lg(a>0，b>0)， ∴l(xiāng)g有多少個不同的值，只需看不同值的個數(shù)． 從1,3,5,7,9中任取兩個作為有A種，又與相同，與相同，∴l(xiāng)g a－lg b的不同值的個數(shù)有A－2＝18. 答案　(1)C　(2)C 考點二　組合應用題 【例2】 某課外活動小組共1

7、3人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名隊長．現(xiàn)從中選5人主持某種活動，依下列條件各有多少種選法？ (1)只有一名女生； (2)兩隊長當選； (3)至少有一名隊長當選； (4)至多有兩名女生當選； (5)既要有隊長，又要有女生當選． 解　(1)一名女生，四名男生．故共有C·C＝350(種)． (2)將兩隊長作為一類，其他11人作為一類，故共有C·C＝165(種)． (3)至少有一名隊長含有兩類：只有一名隊長和兩名隊長．故共有：C·C＋C·C＝825(種)或采用排除法：C－C＝825(種)． (4)至多有兩名女生含有三類：有兩名女生、只有一名女生、沒有女生．故選法為

8、： C·C＋C·C＋C＝966(種)． (5)分兩類：第一類女隊長當選：C；第二類女隊長不當選： C·C＋C·C＋C·C＋C. 故選法共有： C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790(種)． 規(guī)律方法 組合問題常有以下兩類題型變化 (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取． (2)“至少”或“最多”含有幾個元素的題型：若直接法分類復雜時，逆向思維，間接求解． 【訓練2】 若從1,2,3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有(　　)． A．60種

9、 B．63種 C．65種 D．66種 解析　滿足題設的取法可分為三類：一是取四個奇數(shù)，在5個奇數(shù)1,3,5,7,9中，任意取4個，有C＝5(種)；二是兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，在5個奇數(shù)中任取2個，再在4個偶數(shù)2,4,6,8中任取2個，有C·C＝60(種)；三是取4個偶數(shù)的取法有1種． 所以滿足條件的取法共有5＋60＋1＝66(種)． 答案　D 學生用書第175頁 考點三　排列、組合的綜合應用 【例3】 (1)(2013·浙江卷)將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個字母排成一排，且A，B均在C的同側，則不同的排法共有________種(用數(shù)字作答)． (2)某校高二年級共有6個班級，現(xiàn)

10、從外地轉入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為(　　)． A．AC B.AC C．AA D．2A 審題路線　(1)選出3個位置排特殊元素A、B、C，并把元素A、B作為元素集團進行排列；(2)可將4名同學分成兩組(每組2人)，再分配到兩個班級． 解析　(1)先將A，B視為元素集團，與C先排在6個位置的三個位置上，有CAC種排法； 第二步，排其余的3個元素有A種方法． ∴由分步乘法計數(shù)原理，共有CAC·A＝480種排法． (2)法一　將4人平均分成兩組有C種方法，將此兩組分配到6個班級中的2個班有A種． 所以不同的安排方法有CA種．

11、 法二　先從6個班級中選2個班級有C種不同方法，然后安排學生有CC種，故有CC＝AC種． 答案　(1)480　(2)B 規(guī)律方法 (1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)． (2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法． 【訓練3】 從0,2中選一個數(shù)字，從1,3,5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)

12、為(　　)． A．24 B．18 C．12 D．6 解析　根據(jù)所選偶數(shù)為0和2分類討論求解． ①當選數(shù)字0時，再從1,3,5中取出2個數(shù)字排在個位與百位．∴排成的三位數(shù)的奇數(shù)有CA＝6個． ②當取出數(shù)字2時，再從1,3,5中取2個數(shù)字有C種方法．然后將選中的兩個奇數(shù)數(shù)字選一個排在個位，其余2個數(shù)字全排列． ∴排成的三位數(shù)的奇數(shù)有CAA＝12個． ∴由分類加法計數(shù)原理，共有18個三位數(shù)的奇數(shù)． 答案　B 1．熟練掌握：(1)排列數(shù)公式A＝；(2)組合數(shù)公式C＝，這是正確計算的關鍵． 2．解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法)．分類時標準

13、應統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復或遺漏．解組合應用題時，應注意“至少”、“至多”、“恰好”等詞的含義． 3．排列組合的綜合應用問題，一般按先選再排，先分組再分配的處理原則．對于分配問題，解題的關鍵是要搞清楚事件是否與順序有關，對于平均分組問題更要注意順序，避免計數(shù)的重復或遺漏． 、易錯辨析9——實際意義理解不清導致計數(shù)錯誤 【典例】 (2012·山東卷改編)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為 (　　)． A．232 B．256 C．472 D．484 [錯解]　

14、第一類，含有一張紅色卡片，取出紅色卡片有C種方法，再從黃、藍、綠三色中選出兩色并各取一張卡片有CCC種方法． 因此滿足條件的取法有C·CCC＝192種． 第二類，不含有紅色卡片，從其余三色卡片中各取一張有CCC＝64種取法． ∴由分類加法計數(shù)原理，不同的取法共有192＋64＝256種． [答案]　B [錯因]　錯解的原因是沒有理解“3張卡片不能是同一種顏色”的含義，誤認為“取出的三種顏色不同”． [正解]　第一類，含有1張紅色卡片，不同的取法CC＝264(種)． 第二類，不含有紅色卡片，不同的取法C－3C＝220－12＝208(種)． 由分類加法計數(shù)原理知，不同的取法共有264

15、＋208＝472(種)． [答案]　C [防范措施]　(1)準確理解題意，抓住關鍵字詞的含義，“3張卡片不能是同一種顏色”是指“兩種顏色或三種顏色”都滿足要求． (2)選擇恰當分類標準，避免重復遺漏，出現(xiàn)“至少、至多”型問題，注意間接法的運用． 【自主體驗】 1．(2013·大綱全國卷改編)有5人排成一行參觀英模事跡展覽，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有________種(用數(shù)字作答)． 解析　先把除甲、乙外的3人全排列，有A種，再把甲、乙兩人插入這3人形成的四個空位中的兩個，共A種不同的方法． ∴所有不同的排法共有A·A＝72(種)． 答案　72 2．如果把個位數(shù)是1，且

16、恰有3個數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1,2,3,4四個數(shù)字組成的有重復數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有________個． 解析　第一類：恰有三個相同的數(shù)字為1， 選2,3,4中的一個數(shù)字排在十、百、千位的一個位置上，有C·A種方法，四位“好數(shù)”有9個． 第二類：相同的三個數(shù)字為2,3,4中的一個，這樣的四位“好數(shù)”為2221,3331,4441共3個． 由分類加法計數(shù)原理，共有“好數(shù)”9＋3＝12個． 答案　12 對應學生用書P359 基礎鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1．一個平面內的8個點，若只有4個點共圓，其余任何4點不共圓，那么這8

17、個點最多確定的圓的個數(shù)為(　　)． A．C·C B．C－C C．2C·C＋C D．C－C＋1 解析　從8個點中任選3個點有選法C種，因為有4點共圓所以減去C種再加1種，即有圓C－C＋1個． 答案　D 2．若一個三位數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字和百位數(shù)字都大，稱這個數(shù)為“傘數(shù)”．現(xiàn)從1,2,3,4,5,6這六個數(shù)字中取3個數(shù)，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中“傘數(shù)”有(　　)． A．120個 B．80個 C．40個 D．20個 解析　分類討論：若十位數(shù)為6時，有A＝20個；若十位數(shù)為5時，有A＝12個；若十位數(shù)為4時，有A＝6個；若十位數(shù)為3時，有A＝2個，因此一共有40

18、個． 答案　C 3．將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的種數(shù)為(　　)． A．18 B．24 C．30 D．36 解析　四名學生中有兩名學生恰好分在一個班，共有CA種分法，而甲、乙被分在同一個班的有A種，所以不同的分法種數(shù)是CA－A＝30. 答案　C 4．某外商計劃在4個候選城市中投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，則該外商不同的投資方案有(　　)． A．16種 B．36種 C．42種 D．60種 解析　若3個不同的項目投資到4個城市中的3個，每個城市一項，共A種方法；若

19、3個不同的項目投資到4個城市中的2個，一個城市一項、一個城市兩項共CA種方法．由分類加法計數(shù)原理知共A＋CA＝60(種)方法． 答案　D 5．一名老師和兩名男生兩名女生站成一排照相，要求兩名女生必須站在一起且老師不站在兩端，則不同站法的種數(shù)為(　　)． A．8 B．12 C．16 D．24 解析　兩名女生站一起有A種站法，她們與兩個男生站一起共有AA種站法，老師站在他們的中間則共有AAC＝24(種)站法，故應選D. 答案　D 二、填空題 6．(2013·大綱全國卷)從進入決賽的6名選手中決出1名一等獎，2名二等獎，3名三等獎，則可能的決賽結果共有________種(用數(shù)字作

20、答)． 解析　依題意，所有的決賽結果有CCC＝6××1＝60(種)． 答案　60 7．(2014·杭州調研)四名優(yōu)等生保送到三所學校去，每所學校至少得一名，則不同的保送方案有________種． 解析　分兩步：先將四名優(yōu)等生分成2,1,1三組，共有C種；而后，對三組學生全排三所學校，即進行全排列，有A種．依分步乘法計數(shù)原理，共有N＝CA＝36(種)． 答案　36 8．在1,2,3,4,5這五個數(shù)字組成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為偶數(shù)的三位數(shù)共有________個． 解析　在1,2,3,4,5這五個數(shù)字中有3個奇數(shù)，2個偶數(shù)，要求三位數(shù)各位數(shù)字之和為偶數(shù)，則兩個奇數(shù)一個

21、偶數(shù)，∴符合條件的三位數(shù)共有C·C·A＝36(個)． 答案　36 三、解答題 9．四張卡片上分別標有數(shù)字“2”“0”“0”“9”，其中“9”可當“6”用，則由這四張卡片可組成不同的四位數(shù)有多少個？ 解　先在后三位中選兩個位置填寫數(shù)字“0”有C種方法，再排另兩張卡片有A種方法． 又數(shù)字“9”可作“6”用， ∴四張卡片組成不同的四位數(shù)有2CA＝12個． 10．四個不同的小球放入編號為1,2,3,4的四個盒子中． (1)若每個盒子放一球，則有多少種不同的放法？ (2)恰有一個空盒的放法共有多少種？ 解　(1)每個盒子放一球，共有A＝24種不同的放法； (2)法一　先選后排，分三

22、步完成． 第一步：四個盒子中選一只為空盒，有4種選法； 第二步：選兩球為一個元素，有C種選法； 第三步：三個元素放入三個盒中，有A種放法． 故共有4×CA＝144種放法． 法二　先分組后排列，看作分配問題． 第一步：在四個盒子中選三個，有C種選法； 第二步：將四個球分成2,1,1三組，有C(即)種分法； 第三步：將三組分到選定的三個盒子中，有A種分法． 故共有CCA＝144種分法． 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、選擇題 1．在航天員進行的一項太空實驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最后一步，程序B和C在實施時必須相鄰，問實驗順序的編排

23、方法共有(　　)． A．34種 B．48種 C．96種 D．144種 解析　程序A有A＝2種結果，將程序B和C看作元素集團與除A外的元素排列有AA＝48種，∴由分步加法計數(shù)原理，實驗編排共有2×48＝96種方法． 答案　C 2．(2014·濟南調研)已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系中點的坐標，則確定的不同點的個數(shù)為(　　)． A．33 B．34 C．35 D．36 解析　(1)若從集合B中取元素2時，再從C中任取一個元素，則確定的不同點的個數(shù)為CA. (2)當從集合B中取元素1，且從C中取元素1，

24、則確定的不同點有C×1＝C. (3)當從B中取元素1，且從C中取出元素3或4，則確定的不同點有CA個．∴由分類加法計數(shù)原理，共確定不同的點有CA＋C＋CA＝33(個)． 答案　A 二、填空題 3．(2013·重慶卷)從3名骨科、4名腦外科和5名內科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是________(用數(shù)字作答)． 解析　按選派的骨科醫(yī)生的人數(shù)分類： ①選1名骨科醫(yī)生，則有C(CC＋CC＋CC)＝360(種)， ②選2名骨科醫(yī)生，則有C(CC＋CC)＝210(種)， ③選3名骨科醫(yī)生，則有CCC＝20(種)， ∴骨科、腦

25、外科和內科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是360＋210＋20＝590. 答案　590 三、解答題 4．直線x＝1，y＝x，將圓x2＋y2＝4分成A，B，C，D四個區(qū)域，如圖 用五種不同的顏色給他們涂色，要求共邊的兩區(qū)域顏色互異，每個區(qū)域只涂一種顏色， 共有多少種不同的涂色方法？ 解　法一　第1步，涂A區(qū)域有C種方法；第2步，涂B區(qū)域有C種方法；第3步，涂C區(qū)域和D區(qū)域：若C區(qū)域涂A區(qū)域已填過顏色，則D區(qū)域有4種涂法；若C區(qū)域涂 A、B剩余3種顏色之一，即有C種涂法，則D區(qū)域有C種涂法． 故共有C·C·(4＋C·C)＝260種不同的涂色方法． 法二　共可分為三類： 第1類，用五色中兩種色，共有CA種涂法； 第2類，用五色中三種色，共有CCCA種涂法； 第3類，用五色中四種色，共有CA種涂法． 由分類加法計數(shù)原理，共有CA＋CCCA＋CA＝260(種)不同的涂色方法. 學生用書第176頁 專心---專注---專業(yè)