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2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修二教案：1-2-3 空間幾何體的直觀圖 項(xiàng)目 內(nèi)容 課題 1.2.3 空間幾何體的直觀圖 （共 1 課時(shí)） 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標(biāo) 通過用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形和空間幾何體的直觀圖，提高學(xué)生識(shí)圖和畫圖的能力，培養(yǎng)探究精神和意識(shí)，以及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法. 教學(xué)重、 難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖. 教學(xué)難點(diǎn)：直觀圖和三視圖的互化. 教學(xué) 準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過程 一、導(dǎo)入新課： 正投影主要用于繪制三視圖，在工程制圖中被廣泛采用，但三視圖的直觀性較差，因此繪制物體的直觀圖一般采用斜投影或中心投影.中心投影雖然可以顯示空間圖形的直觀形象，但作圖方法比較復(fù)雜，又不易度量，因此在立體幾何中通常采用斜投影的方法來畫空間圖形的直觀圖.把空間圖形畫在紙上，是用一個(gè)平面圖形來表示空間圖形，這樣表達(dá)的不是空間圖形的真實(shí)形狀，而是它的直觀圖. 二、講授新課： 提出問題 ①如何用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖？ ②上述畫直觀圖的方法稱為斜二測畫法，請(qǐng)總結(jié)其步驟. ③探求空間幾何體的直觀圖的畫法.用斜二測畫法畫長、寬、高分別是4 cm、3 cm、2 cm的長方體ABCD—A′B′C′D′的直觀圖. ④用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形和幾何體的直觀圖有什么不同？并總結(jié)畫幾何體的直觀圖的步驟. 活動(dòng)：①和③教師首先示范畫法，并讓學(xué)生思考斜二測畫法的關(guān)鍵步驟,讓學(xué)生發(fā)表自己的見解，教師及時(shí)給予點(diǎn)評(píng). ②根據(jù)上述畫法來歸納. ③讓學(xué)生比較兩種畫法的步驟. 討論結(jié)果：①畫法：1如圖1（1），在正六邊形ABCDEF中，取AD所在直線為x軸，對(duì)稱軸MN所在直線為y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.在圖1(2)中，畫相應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，使∠x′O′y′=45. 2在圖1(2)中，以O(shè)′為中點(diǎn)，在x′軸上取A′D′=AD，在y′軸上取M′N′=MN.以點(diǎn)N′為中點(diǎn)畫B′C′平行于x′軸，并且等于BC；再以M′為中點(diǎn)畫E′F′平行于x′軸，并且等于EF. 3連接A′B′，C′D′，D′E′，F(xiàn)′A′，并擦去輔助線x′軸和y′軸，便獲得正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖A′B′C′D′E′F′〔圖1(3)〕. 圖1 ②步驟是：1在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸交于點(diǎn)O′，且使∠x′O′y′=45(或135)，它們確定的平面表示水平面. 2已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段. 3已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半. ③畫法：1畫軸.如圖2，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠xOy=45，∠xOz=90. 圖2 2畫底面.以點(diǎn)O為中點(diǎn)，在x軸上取線段MN，使MN=4 cm;在y軸上取線段PQ，使PQ=cm.分別過點(diǎn)M和N作y軸的平行線，過點(diǎn)P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A、B、C、D，四邊形ABCD就是長方體的底面ABCD. 3畫側(cè)棱.過A、B、C、D各點(diǎn)分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2 cm長的線段AA′、BB′、CC′、DD′. 4成圖.順次連接A′、B′、C′、D′，并加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線），就得到長方體的直觀圖. 點(diǎn)評(píng)：畫幾何體的直觀圖時(shí)，如果不作嚴(yán)格要求，圖形尺寸可以適當(dāng)選取，用斜二測畫法畫圖的角度也可以自定，但是要求圖形具有一定的立體感. ④畫幾何體的直觀圖時(shí)還要建立三條軸，實(shí)際是建立了空間直角坐標(biāo)系，而畫水平放置平面圖形的直觀圖實(shí)際上建立的是平面直角坐標(biāo)系.畫幾何體的直觀圖的步驟是： 1在已知圖形所在的空間中取水平平面，作互相垂直的軸Ox、Oy，再作Oz軸，使∠xOy=90,∠yOz=90. 2畫出與Ox、Oy、Oz對(duì)應(yīng)的軸O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′=45，∠y′O′z′=90,x′O′y′所確定的平面表示水平平面. 3已知圖形中，平行于x軸、y軸和z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸和z′軸的線段，并使它們?cè)谒嬜鴺?biāo)軸中的位置關(guān)系與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同. 4已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半. 5擦除作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖. 斜二測畫法的作圖技巧: 1在已知圖中建立直角坐標(biāo)系，理論上在任何位置建立坐標(biāo)系都行，但實(shí)際作圖時(shí)，一般建立特殊的直角坐標(biāo)系，盡量運(yùn)用原有直線為坐標(biāo)軸或圖形的對(duì)稱直線為坐標(biāo)軸或圖形的對(duì)稱點(diǎn)為原點(diǎn)或利用原有垂直正交的直線為坐標(biāo)軸等. 2在原圖中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中依然與x′軸或y′軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線，畫端點(diǎn)時(shí)作坐標(biāo)軸的平行線為輔助線.原圖中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點(diǎn)，利用上述方法作出直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后，用平滑的曲線連接而畫出. 3在畫一個(gè)水平放置的平面時(shí)，由于平面是無限延展的，通常我們只畫出它的一部分表示平面，一般地，用平行四邊形表示空間一個(gè)水平平面的直觀圖. 應(yīng)用示例 例1 用斜二測畫法畫水平放置的圓的直觀圖. 活動(dòng)：學(xué)生回顧討論斜二測畫法的步驟，自己畫出來后再互相交流.教師適當(dāng)點(diǎn)評(píng). 解：（1）如圖3(1)，在⊙O上取互相垂直的直徑AB、CD，分別以它們所在的直線為x軸與y軸，將線段AB n等分.過各分點(diǎn)分別作y軸的平行線，交⊙O于E，F(xiàn)，G，H，…，畫對(duì)應(yīng)的x′軸和y′軸，使∠x′O′y′=45. 圖3 (2)如圖3(2)，以O(shè)′為中點(diǎn)，在x′軸上取A′B′=AB，在y′軸上取C′D′=CD，將A′B′ n等分，分別以這些分點(diǎn)為中點(diǎn)，畫與y′軸平行的線段E′F′，G′H′，…，使E′F′=,G′H′=，…. （3）用光滑曲線順次連接A′，D′，F(xiàn)′，H′，…，B′，G′，E′，C′，A′并擦去輔助線，得到圓的水平放置的直觀圖〔圖3(3)〕. 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖. 變式訓(xùn)練 1.畫水平放置的等邊三角形的直觀圖. 答案：略. 2.關(guān)于“斜二測畫法”，下列說法不正確的是（ ） A.原圖形中平行于x軸的線段，其對(duì)應(yīng)線段平行于x′軸，長度不變 B.原圖形中平行于y軸的線段，其對(duì)應(yīng)線段平行于y′軸，長度變?yōu)樵瓉淼? C.在畫與直角坐標(biāo)系xOy對(duì)應(yīng)的x′O′y′時(shí)，∠x′O′y′必須是45 D.在畫直觀圖時(shí)，由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同 分析：在畫與直角坐標(biāo)系xOy對(duì)應(yīng)的x′O′y′時(shí)，∠x′O′y′也可以是135，所以C不正確. 答案：C 例2 如圖4，已知幾何體的三視圖，用斜二測畫法畫出它的直觀圖. 圖4 活動(dòng)：讓學(xué)生由三視圖還原為實(shí)物圖，并判斷該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.教師分析： 由幾何體的三視圖知道，這個(gè)幾何體是一個(gè)簡單組合體，它的下部是一個(gè)圓柱，上部是一個(gè)圓錐，并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合.我們可以先畫出下部的圓柱，再畫出上部的圓錐. 解：畫法： （1）畫軸.如圖5（1），畫x軸、y軸、z軸，使∠xOy=45,∠xOz=90. (1) (2) 圖5 （2）畫圓柱的兩底面，仿照例2畫法，畫出底面⊙O.在z軸上截取O′，使OO′等于三視圖中相應(yīng)高度，過O′作Ox的平行線O′x′,Oy的平行線O′y′,利用O′x′與O′y′畫出底面⊙O′（與畫⊙O一樣）. （3）畫圓錐的頂點(diǎn).在Oz上截取點(diǎn)P，使PO′等于三視圖中相應(yīng)的高度. （4）成圖.連接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖〔圖5(2)〕. 點(diǎn)評(píng)： 空間幾何體的三視圖與直觀圖有著密切的聯(lián)系，我們能夠由空間幾何體的三視圖得到它的直觀圖.同時(shí)，也能夠由空間幾何體的直觀圖得到它的三視圖. 變式訓(xùn)練 圖6所示是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖，你能想象出它的幾何結(jié)構(gòu)，并畫出它的直觀圖嗎？ 圖6 答案：獎(jiǎng)杯的幾何結(jié)構(gòu)是最上面是一個(gè)球，中間是一個(gè)四棱柱，最下面是一個(gè)棱臺(tái)拼接成的簡單組合體.其直觀圖略. 課堂小結(jié)： 本節(jié)課學(xué)習(xí)了： 1.直觀圖的概念. 2.直觀圖的畫法. 3.直觀圖和三視圖的關(guān)系. 布置作業(yè)： 習(xí)題1.2 A組 第5、6題. 板書設(shè)計(jì) 教學(xué)反思