《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 課時(shí)分層訓(xùn)練39 數(shù)學(xué)歸納法 理 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 課時(shí)分層訓(xùn)練39 數(shù)學(xué)歸納法 理 北師大版（5頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1

2、 1 課時(shí)分層訓(xùn)練(三十九)　數(shù)學(xué)歸納法 A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明2n>2n＋1，n的第一個(gè)取值應(yīng)是(　　) A．1　 B．2 C．3 D．4 C　[∵n＝1時(shí)，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立； n＝2時(shí)，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立； n＝3時(shí)，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立． ∴n的第一個(gè)

3、取值應(yīng)是3.] 2．一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果驗(yàn)證當(dāng)n＝1時(shí)命題成立，并在假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N＋)時(shí)命題成立的基礎(chǔ)上，證明了當(dāng)n＝k＋2時(shí)命題成立，那么綜合上述，對(duì)于(　　) A．一切正整數(shù)命題成立 B．一切正奇數(shù)命題成立 C．一切正偶數(shù)命題成立 D．以上都不對(duì) B　[本題證的是對(duì)n＝1,3,5,7，…命題成立，即命題對(duì)一切正奇數(shù)成立．] 3．在數(shù)列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通過求a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140216】 A.　　　 B. C. D． C　[由a1＝，Sn＝n(2n－1)an求得a2＝＝，

4、a3＝＝，a4＝＝.猜想an＝.] 4．對(duì)于不等式＜n＋1(n∈N＋)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下： (1)當(dāng)n＝1時(shí)，＜1＋1，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)，不等式＜k＋1成立，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＝＜＝＝(k＋1)＋1. 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立，則上述證法(　　) A．過程全部正確 B．n＝1驗(yàn)得不正確 C．歸納假設(shè)不正確 D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確 D　[當(dāng)n＝k＋1時(shí)，沒有應(yīng)用n＝k時(shí)的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法．] 5．平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域，則f(n)的表達(dá)式為(　　) A．n＋1 B．2n C. D

5、．n2＋n＋1 C　[1條直線將平面分成1＋1個(gè)區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1＋(1＋2)＝4個(gè)區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3)＝7個(gè)區(qū)域；…；n條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝個(gè)區(qū)域．] 二、填空題 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上的項(xiàng)為________． (k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2　[當(dāng)n＝k時(shí)左端為1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 左端為1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2， 故增加的項(xiàng)為(k2

6、＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.] 7．?dāng)?shù)列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，依次計(jì)算出a2，a3，a4，猜想an＝________. 　[a1＝2，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＋1＝. 由此猜想an是以分子為2，分母是以首項(xiàng)為1，公差為6的等差數(shù)列，所以an＝.] 8．凸n多邊形有f(n)條對(duì)角線．則凸(n＋1)邊形的對(duì)角線的條數(shù)f(n＋1)與f(n)的遞推關(guān)系式為________． f(n＋1)＝f(n)＋n－1　[f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f(n)＋n－1.] 三、解答題 9．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋＋＋…＋<2－(n∈N＋，n≥2).

7、 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140217】 [證明]　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，1＋＝<2－＝，命題成立． (2)假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，即 1＋＋＋…＋<2－. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－ ＝2－命題成立． 由(1)(2)知原不等式在n∈N＋，n≥2時(shí)均成立． 10．?dāng)?shù)列{an}滿足Sn＝2n－an(n∈N＋)． (1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式an； (2)證明(1)中的猜想． [解]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1； 當(dāng)n＝2時(shí)，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝； 當(dāng)n＝3時(shí)，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－

8、a3，∴a3＝； 當(dāng)n＝4時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4， ∴a4＝. 由此猜想an＝(n∈N＋)． (2)證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，結(jié)論成立． ②假設(shè)n＝k(k≥1且k∈N＋)時(shí)，結(jié)論成立， 即ak＝，那么n＝k＋1時(shí)， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1， ∴2ak＋1＝2＋ak. ∴ak＋1＝＝＝. 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立． 由①②知猜想an＝(n∈N＋)成立． B組　能力提升 11．(20xx·昆明診斷)設(shè)n為正整數(shù)，f(n)＝1＋＋＋…＋，經(jīng)計(jì)算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f

9、(16)＞3，f(32)＞，觀察上述結(jié)果，可推測(cè)出一般結(jié)論(　　) A．f(2n)＞ B．f(n2)≥ C．f(2n)≥ D．以上都不對(duì) C　[∵f(22)＞，f(23)＞，f(24)＞，f(25)＞，∴當(dāng)n≥1時(shí)，有f(2n)≥.] 12．設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)．若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)＝__________；當(dāng)n>4時(shí)，f(n)＝__________(用n表示)． 5　(n＋1)(n－2)(n≥3)　[f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5， f(n)＝f(3)＋3＋4＋…＋(n－1)

10、 ＝2＋3＋4＋…＋(n－1) ＝(n＋1)(n－2)(n≥3)．] 13．?dāng)?shù)列{xn}滿足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N＋)． (1)證明：{xn}是遞減數(shù)列的充要條件是c＜0； (2)若0＜c≤，證明數(shù)列{xn}是遞增數(shù)列. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140218】 [證明]　(1)充分性：若c＜0，由于xn＋1＝－x＋xn＋c≤xn＋c＜xn， ∴數(shù)列{xn}是遞減數(shù)列． 必要性：若{xn}是遞減數(shù)列，則x2＜x1，且x1＝0. 又x2＝－x＋x1＋c＝c，∴c＜0. 故{xn}是遞減數(shù)列的充要條件是c＜0. (2)若0＜c≤，要證{xn}是遞增數(shù)列． 即xn＋1－xn＝－x＋c＞0， 即證xn＜對(duì)任意n≥1成立． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)0＜c≤時(shí)，xn＜對(duì)任意n≥1成立． ①當(dāng)n＝1時(shí)，x1＝0＜≤，結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)結(jié)論成立，即xk＜. ∵函數(shù)f(x)＝－x2＋x＋c在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以xk＋1＝f(xk)＜f()＝， ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，xk＋1＜成立． 由①，②知，xn＜對(duì)任意n≥1，n∈N＋成立． 因此，xn＋1＝xn－x＋c＞xn，即{xn}是遞增數(shù)列．