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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第八篇 立體幾何 第1講　空間幾何體及其表面積與體積 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、填空題 1．以下命題： ①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐； ②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺； ③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓； ④一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺． 其中正確命題的個數(shù)是________． 解析　命題①錯，因為這條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐．命題②題，因這條腰必須是垂直于兩底的腰．命題③對．命題④錯，必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才行． 答案　1 2．在正方體上任意選擇4個頂

2、點，它們可能是如下各種幾何形體的四個頂點，這些幾何形體是________(寫出所有正確結(jié)論的編號)． ①矩形；②不是矩形的平行四邊形；③有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體；④每個面都是等邊三角形的四面體；⑤每個面都是直角三角形的四面體． 解析?、亠@然可能；②不可能；③取一個頂點處的三條棱，連接各棱端點構(gòu)成的四面體；④取正方體中對面上的兩條異面對角線的四個端點構(gòu)成的幾何體；⑤正方體ABCD -A1B1C1D1中，三棱錐D1-DBC滿足條件． 答案?、佗邰堍? 3．在三棱錐S-ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S為直角頂點的等腰直角三角形，且AB＝BC＝CA＝2

3、，則三棱錐S-ABC的表面積是________． 解析　設(shè)側(cè)棱長為a，則a＝2，a＝，側(cè)面積為3××a2＝3，底面積為×22＝，表面積為3＋. 答案　3＋ 4．若圓錐的側(cè)面積為2π，底面面積為π，則該圓錐的體積為________． 解析　設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，高為h，母線長為l，則∴ ∴h＝＝＝. ∴圓錐的體積V＝π·12·＝π. 答案　π 5．(2012·新課標(biāo)全國卷改編)平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為________． 解析　如圖，設(shè)截面圓的圓心為O′，M為截面圓上任一點，則OO′＝，O′M＝1，∴OM＝＝，即球的半徑為，∴V

4、＝π()3＝4π. 答案　4π 6．如圖所示，已知一個多面體的平面展開圖由一個邊長為1的正方形和4個邊長為1的正三角形組成，則該多面體的體積是________． 解析　由題知該多面體為正四棱錐，底面邊長為1，側(cè)棱長為1，斜高為，連接頂點和底面中心即為高，可求得高為，所以體積V＝×1×1×＝. 答案　 7．(2013·天津卷)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若球的體積為，則正方體的棱長為________． 解析　設(shè)正方體的棱長為a，外接球的半徑為R，由題意知πR3＝，∴R3＝，而R＝. 由于3a2＝4R2，∴a2＝R2＝×2＝3，∴a＝. 答案　 8．如圖，在多面

5、體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為________． 解析　如圖，分別過點A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，容易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝，∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，∴V＝VE-ADG＋VF-BHC＋VAGD-BHC＝2VE-ADG＋VAGD-BHC＝×××2＋×1＝. 答案　 二、解答題 9．如圖，在三棱錐P-ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC. (1)求證：PC⊥AB； (2)求點C到平面APB的距

6、離． (1)證明　取AB中點D，連接PD，CD. 因為AP＝BP，所以PD⊥AB， 因為AC＝BC，所以CD⊥AB. 因為PD∩CD＝D，所以AB⊥平面PCD.因為PC?平面PCD，所以PC⊥AB. (2)解　設(shè)C到平面APB的距離為h， 則由題意，得AP＝PB＝AB＝＝2， 所以PC＝＝2. 因為CD＝AB＝，PD＝PB＝， 所以PC2＋CD2＝PD2，所以PC⊥CD. 由(1)得AB⊥平面PCD，于是由VCAPB＝VAPDC＋VBPDC， 得·h·S△APB＝AB·S△PDC， 所以h＝＝＝. 故點C到平面APB的距離為. 10．有一個倒圓錐形容器，它的軸

7、截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為r的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時容器中水的深度． 解　如圖所示，作出軸截面，因軸截面是正三角形，根據(jù)切線性質(zhì)知當(dāng)球在容器內(nèi)時，水的深度為3r，水面半徑BC的長為r，則容器內(nèi)水的體積為 V＝V圓錐－V球＝π(r)2·3r－ πr3＝πr3， 將球取出后，設(shè)容器中水的深度為h， 則水面圓的半徑為h，從而容器內(nèi)水的體積為 V′＝π2h＝πh3，由V＝V′，得h＝r. 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、填空題 1．已知球的直徑SC＝4，A，B是該球球面上的兩點，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，則棱錐S-

8、ABC的體積為________． 解析　由題意知，如圖所示，在棱錐S-ABC中，△SAC，△SBC都是有一個角為30°的直角三角形，其中AB＝，SC＝4，所以SA＝SB＝2，AC＝BC＝2，作BD⊥SC于D點，連接AD，易證SC⊥平面ABD，因此VS－ABC＝××()2×4＝. 答案　 2．(2014·南京模擬)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AA1＝3，M為線段B1B上的一動點，則當(dāng)AM＋MC1最小時，△AMC1的面積為________．　 解析　如圖，當(dāng)AM＋MC1最小時，BM＝1，所以AM2＝2，C1M2＝8，AC＝14，于是由余弦定理，得

9、cos∠AMC1＝＝－，所以sin∠AMC1＝，S△AMC1＝××2×＝. 答案　 3．如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2 cm、高為5 cm，則一質(zhì)點自點A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達點A1的最短路線的長為________cm. 解析　根據(jù)題意，利用分割法將原三棱柱分割為兩個相同的三棱柱，然后將其展開為如圖所示的實線部分，則可知所求最短路線的長為＝13 cm. 答案　13 二、解答題 4．如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2所示． (1)求證：BC⊥平面ACD； (2)求幾何體D-ABC的體積． (1)證明　在圖中，可得AC＝BC＝2， 從而AC2＋BC2＝AB2， 故AC⊥BC， 又平面ADC⊥平面ABC， 平面ADC∩平面ABC＝AC， BC?平面ABC， ∴BC⊥平面ACD. (2)解　由(1)可知，BC為三棱錐B-ACD的高，BC＝2，S△ACD＝2，∴VB-ACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝，由等體積性可知，幾何體D-ABC的體積為.