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2019-2020年人教A版高中數(shù)學 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-8 曲線與方程《教案》 【教學目標】 1.了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系．　 2.了解解析幾何的基本思想和利用坐標法研究幾何問題的基本方法． 3.能夠根據(jù)所給條件選擇適當?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程. 【重點難點】 1.教學重點：能夠根據(jù)所給條件選擇適當?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程； 2.教學難點：學會對知識進行整理達到系統(tǒng)化，提高分析問題和解決問題的能力； 【教學策略與方法】 自主學習、小組討論法、師生互動法 【教學過程】 教學流程 教師活動 學生活動 設計意圖 環(huán)節(jié)二： 考綱傳真: 1.了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系．　2.了解解析幾何的基本思想和利用坐標法研究幾何問題的基本方法．3.能夠根據(jù)所給條件選擇適當?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程. 真題再現(xiàn); 【xx高考新課標1卷】設圓的圓心為A,直線l過點B（1,0）且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E. （I）證明為定值,并寫出點E的軌跡方程； （II）設點E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點,過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MPNQ面積的取值范圍. 【解析】（Ⅰ）因為,,故,所以,故.又圓的標準方程為,從而,所以.由題設得,,,由橢圓定義可得點的軌跡方程為：（）. （Ⅱ）當與軸不垂直時,設的方程為,,.由得.則,.所以.過點且與垂直的直線：,到的距離為,所以.故四邊形的面積.可得當與軸不垂直時,四邊形面積的取值范圍為. 當與軸垂直時,其方程為,,,四邊形的面積為12.綜上,四邊形面積的取值范圍為. 考點：圓錐曲線綜合問題 知識梳理： 知識點1　曲線與方程的定義 一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)＝0的實數(shù)解建立如下的對應關系： 那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線． 知識點2　求動點的軌跡方程的基本步驟 1．必會結論；(1)“曲線C是方程f(x，y)＝0的曲線”是“曲線C上的點的坐標都是方程f(x，y)＝0的解” 的充分不必要條件． (2)曲線的交點與方程組的關系： ①兩條曲線交點的坐標是兩個曲線方程的公共解，即兩個曲線方程組成的方程組的實數(shù)解； ②方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個交點；方程組無解，兩條曲線就沒有交點． 2．必清誤區(qū)；(1)求軌跡方程時，要注意曲線上的點與方程的解是一一對應關系．檢驗可從以下兩個方面進行：一是方程的化簡是否是同解變形；二是是否符合題目的實際意義． (2)求點的軌跡與軌跡方程是不同的要求，求軌跡時，應先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀、位置、大小等． 考點分項突破 考點一：直接法求軌跡方程 1.已知點F(0,1)，直線l：y＝－1，P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且＝，則動點P的軌跡C的方程為(　　) A．x2＝4y　　　　　　　B．y2＝3x C．x2＝2y D．y2＝4x 【解析】　設點P(x，y)，則Q(x，－1)．∵＝，∴(0，y＋1)(－x,2)＝(x，y－1)(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，∴動點P的軌跡C的方程為x2＝4y.故選A.【答案】　A 2．已知動圓過定點A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長為8.求動圓圓心的軌跡C的方程． 【解】　如圖，設動圓圓心為O1(x，y)，由題意，得|O1A|＝|O1M|.當O1不在y軸上時， 過O1作O1H⊥MN交MN于H，則H是MN的中點， ∴|O1M|＝，又|O1A|＝， ∴＝.化簡得y2＝8x(x≠0)． 當O1在y軸上時，O1與O重合，點O1的坐標為(0,0)也滿足方程y2＝8x，∴動圓圓心的軌跡C的方程為y2＝8x. 歸納；利用直接法求軌跡方程的關鍵和注意點 1．利用直接法求解軌跡方程的關鍵是根據(jù)條件準確列出方程，然后進行化簡． 2．運用直接法應注意的問題 (1)在用直接法求軌跡方程時，在化簡的過程中，有時破壞了方程的同解性，此時就要補上遺漏的點或刪除多余的點，這是不能忽視的． (2)若方程的化簡過程是恒等變形，則最后的驗證可以省略． 考點二: 定義法求軌跡方程 (1)△ABC的頂點A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內切圓圓心在直線x＝3上，則頂點C的軌跡方程是________． (2)已知圓C與兩圓x2＋(y＋4)2＝1，x2＋(y－2)2＝1外切，圓C的圓心軌跡為L，設L上的點與點M(x，y)的距離的最小值為m，點F(0,1)與點M(x，y)的距離為n. ①求圓C的圓心軌跡L的方程； ②求滿足條件m＝n的點M的軌跡Q的方程． 【解析】　(1)由題意知|CA|－|CB|＝6<10，則頂點C的軌跡是以點A，B為焦點的雙曲線的右支．又2a＝6，c＝5，則b2＝c2－a2＝16，從而頂點C的軌跡方程為－＝1(x>3)．【答案】?。?(x>3) (2)①設圓x2＋(y＋4)2＝1的圓心O(0，－4)，圓x2＋(y－2)2＝1的圓心O′(0,2)，圓C的半徑為r，由題意知，|CO|＝r＋1，|CO′|＝r＋1，從而|CO|＝|CO′|，所以l為線段OO′的垂直平分線，l的方程為y＝－1. ②由m＝n知，動點M到定點F和定直線l的距離相等．由拋物線的定義知，動點M的軌跡Q是以點F(0,1)為焦點，以直線y＝－1為準線的拋物線，且p＝2，從而軌跡Q的方程為x2＝4y. 跟蹤訓練1.如圖所示，已知C為圓(x＋)2＋y2＝4的圓心，點A(，0)，P是圓上的動點，點Q在圓的半徑CP所在的直線上，且＝0，＝2.當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡方程． 【解】　圓(x＋)2＋y2＝4的圓心為C(－，0)，半徑r＝2， ∵＝0，＝2，∴MQ⊥AP，點M為AP的中點，即QM垂直平分AP.連結AQ，則|AQ|＝|QP|， ∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝r＝2.又|AC|＝2>2，根據(jù)雙曲線的定義，點Q的軌跡是以C(－，0)，A(，0)為焦點，實軸長為2的雙曲線， 由c＝，a＝1，得b2＝1，因此點Q的軌跡方程為x2－y2＝1. 歸納：定義法求軌跡方程的適用條件及關鍵 1．適用條件;動點與定點、定直線之間的某些關系滿足直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義． 2．關鍵;定義法求軌跡方程的關鍵是理解平面幾何圖形的定義． 提醒：弄清各種常見曲線的定義是用定義法求軌跡方程的關鍵． 考點三: 相關點(代入)法求軌跡方程 (1)已知長為1＋的線段AB的兩個端點A，B分在x軸、y軸上滑動，P是AB上一點，且＝，則點P的軌跡方程為________． (2)設直線x－y＝4a與拋物線y2＝4ax交于兩點A，B(a為定值)，C為拋物線上任意一點，求△ABC的重心的軌跡方程． 【解析】　(1)設A(a,0)，B(0，b)，P(x，y)，則 ＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，由＝得(x－a，y)＝(－x，b－y)，即所以 又a2＋b2＝3＋2，所以＋y2＝1. 【答案】　＋y2＝1 (2)設△ABC的重心為G(x，y)，點C的坐標為(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由方程組消去y并整理得x2－12ax＋16a2＝0.∴x1＋x2＝12a， y1＋y2＝(x1－4a)＋(x2－4a)＝(x1＋x2)－8a＝4a. ∵G(x，y)為△ABC的重心，∴∴ 又點C(x0，y0)在拋物線上，∴將點C的坐標代入拋物線的方程得 (3y－4a)2＝4a(3x－12a)，即2＝(x－4a)． 又點C與A，B不重合，∴x≠(62)a，∴△ABC的重心的軌跡方程為 2＝(x－4a)(x≠(62)a)． 跟蹤訓練1.P是橢圓＋＝1(a>b>0)上的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個焦點，O為坐標原點，有一動點Q滿足＝＋，則動點Q的軌跡方程是________． 【解析】　由題意知F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，設P(x0，y0)，Q(x，y)，由＝＋得(x，y)＝(－c－x0，－y0)＋(c－x0，－y0)，即 所以又＋＝1，所以＋＝1. 【答案】　＋＝1 歸納：相關點(代入)法的基本步驟 1．設點：設被動點坐標為(x，y)，主動點坐標為(x1，y1)． 2．求關系式：求出兩個動點坐標之間的關系式 3．代換：將上述關系式代入已知曲線方程，便可得到所求動點的軌跡方程． 。 學生通過對高考真題的解決，發(fā)現(xiàn)自己對知識的掌握情況。 學生通過對高考真題的解決，感受高考題的考察視角。 教師引導學生及時總結，以幫助學生形成完整的認知結構。 引導學生通過對基礎知識的逐點掃描，來澄清概念，加強理解。從而為后面的練習奠定基礎. 在解題中注意引導學生自主分析和解決問題，教師及時點撥從而提高學生的解題能力和興趣。 教師引導學生及時總結，以幫助學生形成完整的認知結構。 通過對考綱的解讀和分析。讓學生明確考試要求，做到有的放矢 由常見問題的解決和總結，使學生形成解題模塊，提高模式識別能力和解題效率。 教師引導學生及時總結，以幫助學生形成完整的認知結構。 引導學生對所學的知識進行小結，由利于學生對已有的知識結構進行編碼處理，加強理解記憶，提高解題技能。 環(huán)節(jié)三： 課堂小結： 1.了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系．　 2.了解解析幾何的基本思想和利用坐標法研究幾何問題的基本方法． 3.能夠根據(jù)所給條件選擇適當?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程. 學生回顧，總結. 引導學生對學習過程進行反思，為在今后的學習中，進行有效調控打下良好的基礎。 環(huán)節(jié)四： 課后作業(yè)：學生版練與測 學生通過作業(yè)進行課外反思，通過思考發(fā)散鞏固所學的知識。