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新版與名師對話高三數(shù)學文一輪復習課時跟蹤訓練:第三章 導數(shù)及其應(yīng)用 課時跟蹤訓練14 Word版含解析

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1、 1

2、 1 課時跟蹤訓練(十四) [基礎(chǔ)鞏固] 一、選擇題 1.(20xx·四川名校聯(lián)考一模)已知函數(shù)f(x)圖象如圖,f′(x)是f(x)的導函數(shù),則下列數(shù)值排序正確的是(  ) A.0

3、2)

4、, ∴直線l的方程為y-=-,即8x+16y+3=0.故選A. [答案] A 3.在曲線y=x2上切線傾斜角為的點是(  ) A.(0,0) B.(2,4) C. D. [解析] ∵y′=2x,設(shè)切點為(a,a2), ∴y′=2a,即切線的斜率為2a,∴2a=tan45°=1. 解得a=,∴在曲線y=x2上切線傾斜角為的點是.故選D. [答案] D 4.函數(shù)f(x)=(x+2a)(x-a)2的導數(shù)為(  ) A.2(x2-a2) B.2(x2+a2) C.3(x2-a2) D.3(x2+a2) [解析] f(x)=(x+2a)(x2-2ax+a2)=x3-3a2x+2

5、a3,∴f′(x)=3x2-3a2,選C. [答案] C 5.(20xx·合肥模擬)已知直線y=kx+1與曲線y=x3+mx+n相切于點A(1,3),則n=(  ) A.-1 B.1 C.3 D.4 [解析] 對于y=x3+mx+n,y′=3x2+m,∴k=3+m,又k+1=3,1+m+n=3,可解得n=3. [答案] C 6.已知f(x)=ax4+bcosx+7x-2.若f′(20xx)=6,則f′(-20xx)為(  ) A.-6 B.-8 C.6 D.8 [解析] ∵f′(x)=4ax3-bsinx+7. ∴f′(-x)=4a(-x)3-bsin(-x)+7 =-

6、4ax3+bsinx+7. ∴f′(x)+f′(-x)=14. 又f′(20xx)=6, ∴f′(-20xx)=14-6=8,故選D. [答案] D 二、填空題 7.已知函數(shù)f(x)=3x+sin2x,則f′=__________. [解析] f(x)=3x+2sinxcosx, ∴f′(x)=3+2cos2x-2sin2x, ∴f′=3. [答案] 3 8.若f(x)=x2-2x-4lnx,則f′(x)>0的解集為________. [解析] f(x)的定義域為(0,+∞), 又由f′(x)=2x-2-=>0, 解得x>2, 所以f′(x)>0的解集為(2,+∞

7、). [答案] (2,+∞) 9.已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R)圖象上任意一點處的切線的斜率都小于1,則實數(shù)a的取值范圍是________. [解析] 由題意得f′(x)=-3x2+2ax, 當x=時,f′(x)取到最大值. ∴<1,解得-

8、化為y=x-3. 當x=2時,y=.又f′(x)=a+, 于是解得故f(x)=x-. (2)證明:設(shè)P(x0,y0)為曲線上任一點,由y′=1+知曲線在點P(x0,y0)處的切線方程為y-y0=(x-x0), 即y-=(x-x0). 令x=0,得y=-, 從而得切線與直線x=0的交點坐標為. 令y=x,得y=x=2x0, 從而得切線與直線y=x的交點坐標為(2x0,2x0). 所以點P(x0,y0)處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形的面積為S=|2x0|=6. 故曲線y=f(x)上任一點的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形的面積為定值,且此定值為6.  [

9、能力提升] 11.(20xx·四川成都模擬)曲線y=xsinx在點P(π,0)處的切線方程是(  ) A.y=-πx+π2 B.y=πx+π2 C.y=-πx-π2 D.y=πx-π2 [解析] 因為y=f(x)=xsinx,所以f′(x)=sinx+xcosx,在點P(π,0)處的切線斜率為k=sinπ+πcosπ=-π,所以曲線y=xsinx在點P(π,0)處的切線方程是y=-π(x-π)=-πx+π2.故選A. [答案] A 12.(20xx·河南開封模擬)函數(shù)f(x)=lnx+ax存在與直線2x-y=0平行的切線,則實數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(-∞,2] B.(-∞

10、,2) C.(2,+∞) D.(0,+∞) [解析] 直線2x-y=0的斜率為2,且f′(x)=+a(x>0),令+a=2得a=2-.因為x>0,則>0,所以a<2,故選B. [答案] B 13.(20xx·天津卷)已知a∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=ax-lnx的圖象在點(1,f(1))處的切線為l,則l在y軸上的截距為________. [解析] 因為f′(x)=a-,所以f′(1)=a-1,又f(1)=a,所以切線l的方程為y-a=(a-1)(x-1),令x=0,得y=1. [答案] 1 14.已知曲線f(x)=x3+ax+在x=0處的切線與曲線g(x)=-lnx相切,則a的值為_

11、_______. [解析] 由f(x)=x3+ax+得, f′(x)=3x2+a,f′(0)=a,f(0)=, ∴曲線y=f(x)在x=0處的切線方程為y-=ax. 設(shè)直線y-=ax與曲線g(x)=-lnx相切于點(x0,-lnx0),g′(x)=-, ∴ 將②代入①得lnx0=,∴x0=e,∴a=-=-e. [答案] -e 15.已知函數(shù)f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲線f(x)在點(2,f(2))處的切線方程; (2)求經(jīng)過點A(2,-2)的曲線f(x)的切線方程. [解] (1)∵f′(x)=3x2-8x+5,∴f′(2)=1,又f(2)=-2,∴曲線

12、在點(2,f(2))處的切線方程為y+2=x-2,即x-y-4=0. (2)設(shè)曲線與經(jīng)過點A(2,-2)的切線相切于點P(x0,x-4x+5x0-4), ∵f′(x0)=3x-8x0+5, ∴切線方程為y-(-2)=(3x-8x0+5)·(x-2), 又切線過點P(x0,x-4x+5x0-4), ∴x-4x+5x0-2=(3x-8x0+5)(x0-2),整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或1, ∴經(jīng)過點A(2,-2)的曲線f(x)的切線方程為x-y-4=0,或y+2=0. 16.已知函數(shù)f(x)=x3-2x2+3x(x∈R)的圖象為曲線C. (1)求過曲線C上任

13、意一點切線斜率的取值范圍; (2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線,求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標的取值范圍. [解] (1)由題意得f′(x)=x2-4x+3, 則f′(x)=(x-2)2-1≥-1, 即過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍是[-1,+∞). (2)設(shè)曲線C的其中一條切線的斜率為k,則由(2)中條件并結(jié)合(1)中結(jié)論可知, 解得-1≤k<0,或k≥1, 故由-1≤x2-4x+3<0或x2-4x+3≥1,得x∈(-∞,2-]∪(1,3)∪[2+,+∞). [延伸拓展]  (20xx·陜西西安一模)定義1:若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上可導,即f′(x)存在,且導函數(shù)f′(x)在區(qū)間D上也可導,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在二階導數(shù),記作f″(x)=[f′(x)]′. 定義2:若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的二階導數(shù)恒為正,即f″(x)>0恒成立,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為凹函數(shù).已知函數(shù)f(x)=x3-x2+1在區(qū)間D上為凹函數(shù),則x的取值范圍是________. [解析] ∵f(x)=x3-x2+1,∴f′(x)=3x2-3x,f″(x)=6x-3,令f″(x)>0,解得:x>. [答案] 

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