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新編高考數(shù)學一輪復(fù)習學案訓練課件: 第5章 數(shù)列 第1節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示法學案 文 北師大版

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1、 第一節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示法 [考綱傳真] 1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù). (對應(yīng)學生用書第67頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1.數(shù)列的定義 按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.從函數(shù)觀點看,數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N+(或它的有限子集)為定義域的函數(shù)an=f(n),當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值. 2.數(shù)列的分類 分類標準 類型 滿足條件 項數(shù) 有窮數(shù)列 項數(shù)有限 無窮數(shù)列 項數(shù)無限 單調(diào)性 遞增數(shù)列

2、an+1>an 其中n∈N* 遞減數(shù)列 an+1

3、an與Sn的關(guān)系 若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,通項公式為an, 則an= [知識拓展] 1.數(shù)列{an}是遞增數(shù)列?an+1>an恒成立. 2.數(shù)列{an}是遞減數(shù)列?an+1<an恒成立. [基本能力自測] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達.(  ) (2)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個.(  ) (3)如果數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則對任意n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.(  ) (4)若已知數(shù)列{an}的遞推公式為an+1=,且a2=1,則可以

4、寫出數(shù)列{an}的任何一項.(  ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2,則a8的值為(  ) A.15 B.16      C.49      D.64 A [當n=8時,a8=S8-S7=82-72=15.] 3.把1,3,6,10,15,21,…這些數(shù)叫做三角形數(shù),這是因為以這些數(shù)目的點可以排成一個正三角形(如圖5-1-1). 圖5-1-1 則第7個三角形數(shù)是(  ) 【導學號:00090153】 A.27    B.28    C.29    D.30 B [由題圖可知,第7個三角形數(shù)是

5、1+2+3+4+5+6+7=28.] 4.(教材改編)數(shù)列1,,,,,…的一個通項公式an是__________.  [由已知得,數(shù)列可寫成,,,…,故通項為.] 5.(20xx·張掖模擬)數(shù)列{an}滿足an+1=,a8=2,則a1=________.  [由an+1=,得an=1-, ∵a8=2,∴a7=1-=, a6=1-=-1,a5=1-=2,…, ∴{an}是以3為周期的數(shù)列,∴a1=a7=.] (對應(yīng)學生用書第68頁) 由數(shù)列的前幾項歸納數(shù)列的通項公式  寫出下面各數(shù)列的一個通項公式: (1)3,5,7,9,…; (2),-,,-,,…

6、; (3)3,33,333,3 333,…. (4)-1,1,-2,2,-3,3… [解] (1)各項減去1后為正偶數(shù),所以an=2n+1. (2)數(shù)列中各項的符號可通過(-1)n+1表示.每一項絕對值的分子比分母少1,而分母組成數(shù)列21,22,23,24,…, 所以an=. (3)將數(shù)列各項改寫為,,,,…,分母都是3,而分子分別是10-1,102-1,103-1,104-1,…, 所以an=(10n-1). (4)數(shù)列的奇數(shù)項為-1,-2,-3,…可用-表示 數(shù)列的偶數(shù)項為1,2,3,…可用表示. 因此an= [規(guī)律方法] 1.求數(shù)列通項時,要抓

7、住以下幾個特征: (1)分式中分子、分母的特征; (2)相鄰項的變化特征; (3)拆項后變化的部分和不變的部分的特征; (4)各項符號特征等,并對此進行歸納、化歸、聯(lián)想. 2.若關(guān)系不明顯時,應(yīng)將部分項作適當?shù)淖冃?,統(tǒng)一成相同的形式,讓規(guī)律凸現(xiàn)出來.對于正負符號變化,可用(-1)n或(-1)n+1來調(diào)整,可代入驗證歸納的正確性. [變式訓練1] (1)數(shù)列0,,,,…的一個通項公式為(  ) 【導學號:00090154】 A.a(chǎn)n=(n∈N*) B.a(chǎn)n=(n∈N*) C.a(chǎn)n=(n∈N*) D.a(chǎn)n=(n∈N*) (2)數(shù)列{an}的前4項是,1,,

8、,則這個數(shù)列的一個通項公式是an=__________. (1)C (2) [(1)注意到分子0,2,4,6都是偶數(shù),對照選項排除即可. (2)數(shù)列{an}的前4項可變形為,,,,故an=.] 由an與Sn的關(guān)系求通項an  (1)若數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n2-2n+1,則數(shù)列{an}的通項公式an=________. (2)若數(shù)列{an}的前n項和Sn=an+,則{an}的通項公式an=________. (1) (2)(-2)n-1 [(1)當n=1時,a1=S1=3×12-2×1+1=2; 當n≥2時, an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3

9、(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,顯然當n=1時,不滿足上式. 故數(shù)列的通項公式為an= (2)由Sn=an+,得當n≥2時,Sn-1=an-1+, 兩式相減,得an=an-an-1, ∴當n≥2時,an=-2an-1,即=-2. 又n=1時,S1=a1=a1+,a1=1, ∴an=(-2)n-1.] [規(guī)律方法] 由Sn求an的步驟 (1)先利用a1=S1求出a1; (2)用n-1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式; (3)對n=1時的結(jié)果進行檢驗,看是否符合n≥2時an的表達式,

10、如果符合,則可以把數(shù)列的通項公式合寫;如果不符合,則應(yīng)寫成分段函數(shù)的形式. 易錯警示:利用an=Sn-Sn-1求通項時,應(yīng)注意n≥2這一前提條件,易忽視驗證n=1致誤. [變式訓練2] (1)(20xx·河南八校聯(lián)考)在數(shù)列{an}中,Sn是其前n項和,且Sn=2an+1,則數(shù)列的通項公式an=________. (2)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n+1,則數(shù)列的通項公式an=________. 【導學號:00090156】 (1)-2n-1 (2) [(1)依題意得Sn+1=2an+1+1,Sn=2an+1,兩式相減得Sn+1-Sn=2an+1-2an,即an+1=2

11、an,又S1=2a1+1=a1,因此a1=-1,所以數(shù)列{an}是以a1=-1為首項、2為公比的等比數(shù)列,an=-2n-1. (2)當n=1時,a1=S1=3+1=4, 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n+1-3n-1-1=2·3n-1. 顯然當n=1時,不滿足上式. ∴an=] 由遞推公式求數(shù)列的通項公式  根據(jù)下列條件,確定數(shù)列{an}的通項公式: (1)a1=2,an+1=an+3n+2; (2)a1=1,an+1=2nan; (3)a1=1,an+1=3an+2. 【導學號:00090157】 [解] (1)∵an+1-an=3n+2,

12、 ∴an-an-1=3n-1(n≥2), ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =(n≥2). 當n=1時,a1=×(3×1+1)=2符合公式, ∴an=n2+. (2)∵an+1=2nan,∴=2n-1(n≥2), ∴an=··…··a1 =2n-1·2n-2·…·2·1=21+2+3+…+(n-1) =2. 又a1=1適合上式,故an=2. (3)∵an+1=3an+2, ∴an+1+1=3(an+1), 又a1=1,∴a1+1=2, 故數(shù)列{an+1}是首項為2,公比為3的等比數(shù)列, ∴a

13、n+1=2·3n-1,因此an=2·3n-1-1. [規(guī)律方法] 1.已知a1,且an-an-1=f(n),可用“累加法”求an;已知a1(a1≠0),且=f(n),可用“累乘法”求an. 2.已知a1,且an+1=qan+b,則an+1+k=q(an+k)(其中k可由待定系數(shù)法確定),可轉(zhuǎn)化為{an+k}為等比數(shù)列. 易錯警示:本題(1),(2)中常見的錯誤是忽視驗證a1是否適合所求式,(3)中常見錯誤是忽視判定首項是否為零. [變式訓練3] 根據(jù)下列條件,求數(shù)列{an}的通項公式. (1)a1=1,an+1=an+2n; (2)a1=,an=an-1(n≥2).

14、(3)a1=1,an+1=2an+3. [解] (1)由題意知an+1-an=2n, an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =2n-1+2n-2+…+2+1==2n-1. (2)因為an=an-1(n≥2), 所以當n≥2時,=, 所以=,=,…,=,=, 以上n-1個式子相乘得··…··=··…··, 即=××2×1,所以an=. 當n=1時,a1==,也與已知a1=相符, 所以數(shù)列{an}的通項公式為an=. (3)由an+1=2an+3得an+1+3=2(an+3) 又a1=1,∴a1+3=4. 故數(shù)列{an+3}是首項為4,公比為2的等比數(shù)列 ∴an+3=4·2n-1=2n+1,∴an=2n+1-3.

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