《新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第5章 數(shù)列 第1節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示法學(xué)案 理 北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第5章 數(shù)列 第1節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示法學(xué)案 理 北師大版(7頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第一節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示法
[考綱傳真] (教師用書獨(dú)具)1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).
(對應(yīng)學(xué)生用書第79頁)
[基礎(chǔ)知識填充]
1.?dāng)?shù)列的概念
(1)數(shù)列的定義:按照一定次序排列的一列數(shù)叫作數(shù)列,數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).
(2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系:從函數(shù)觀點(diǎn)看,數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N+(或它的有限子集)為定義域的函數(shù)an=f(n),當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對應(yīng)的一列函數(shù)值.
(3)函數(shù)有三種表示示,它們分別是列表法、圖像法和通項(xiàng)公式法.
2.?dāng)?shù)列
2、的分類
分類原則
類型
滿足條件
按項(xiàng)數(shù)分類
有窮數(shù)列
項(xiàng)數(shù)有限
無窮數(shù)列
項(xiàng)數(shù)無限
按項(xiàng)與項(xiàng)間
的大小關(guān)系
分類
遞增數(shù)列
an+1>an
其中
n∈N+
遞減數(shù)列
an+1<an
常數(shù)列
an+1=an
按其他
標(biāo)準(zhǔn)分類
有界數(shù)列
存在正數(shù)M,使|an|≤M
擺動數(shù)列
從第二項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列
3.數(shù)列的兩種常用的表示方法
(1)通項(xiàng)公式:如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子an=f(n)來表示,那么這個(gè)式子叫作這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式,數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)的函數(shù)解析式.
(2)
3、遞推公式:如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示,那么這個(gè)公式就叫作這個(gè)數(shù)列的遞推公式.
[知識拓展]
1.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,通項(xiàng)公式為an,
則an=
2.在數(shù)列{an}中,項(xiàng)an最大,則
若an最小,則
3.?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系
數(shù)列是一種特殊的函數(shù),即數(shù)列是一個(gè)定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù),當(dāng)自變量依次從小到大取值時(shí)所對應(yīng)的一列函數(shù)值,就是數(shù)列.
[基本能力自測]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)相同的一
4、組數(shù)按不同順序排列時(shí)都表示同一個(gè)數(shù)列.( )
(2)一個(gè)數(shù)列中的數(shù)是不可以重復(fù)的.( )
(3)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá).( )
(4)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出的數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè).( )
(5)如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則對任意n∈N+,都有an+1=Sn+1-Sn.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-8n+15,則3( )
A.不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)
B.只是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng)
C.只是數(shù)列{an}中的第6項(xiàng)
D.是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng)
D [令
5、an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,
故3是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng).]
3.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2,則a8的值為( )
A.15 B.16 C.49 D.64
A [當(dāng)n=8時(shí),a8=S8-S7=82-72=15.]
4.在數(shù)列{an}中,a1=1,an=1+(n≥2),則a5等于( )
A. B.
C. D.
D [a2=1+=2,a3=1+=,
a4=1+=3,a5=1+=.]
5.(教材改編)數(shù)列1,,,,,…的一個(gè)通項(xiàng)公式an是__________.
[由已知得,數(shù)列可寫成,,,…,故通項(xiàng)為.]
6、(對應(yīng)學(xué)生用書第80頁)
由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式
寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:
(1)3,5,7,9,…;
(2)-,,-,,…;
(3),2,,8,,…;
(4)5,55,555,5 555,….
[解] (1)各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù),所以an=2n+1.
(2)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù),且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=(-1)n×,n∈N+.
(3)數(shù)列的各項(xiàng),有的是分?jǐn)?shù),有的是整數(shù),可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察.即,,,,,…,分子為項(xiàng)數(shù)的平方,從而可得數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=.
(4)
7、將原數(shù)列改寫為×9,×99,×999,…,易知數(shù)列9,99,999,…的通項(xiàng)為10n-1,故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(10n-1).
[規(guī)律方法] 1.求數(shù)列通項(xiàng)時(shí),要抓住以下幾個(gè)特征:
(1)分式中分子、分母的特征.
(2)相鄰項(xiàng)的變化特征.
(3)拆項(xiàng)后變化的部分和不變的部分的特征.
(4)各項(xiàng)符號特征等,并對此進(jìn)行歸納、化歸、聯(lián)想.
2.若關(guān)系不明顯時(shí),應(yīng)將部分項(xiàng)作適當(dāng)?shù)淖冃危y(tǒng)一成相同的形式,讓規(guī)律凸顯出來.對于正負(fù)符號變化,可用(-1)n或(-1)n+1來調(diào)整,可代入驗(yàn)證歸納的正確性.
[跟蹤訓(xùn)練] (1)已知n∈N+,給出4個(gè)表達(dá)式:
①an=
②an=
8、;
③an=;
④an=.其中能作為數(shù)列:0,1,0,1,0,1,0,1,…的通項(xiàng)公式的是( )
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①③④
(2)數(shù)列{an}的前4項(xiàng)是,1,,,則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=__________.
(1)A (2) [(1)檢驗(yàn)知①②③都是所給數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)數(shù)列{an}的前4項(xiàng)可變形為,,,,故an=.]
由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an
已知下面數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,求{an}的通項(xiàng)公式:
(1)Sn=2n2-3n;
(2)Sn=3n+b.
[解] (1)a1=S1=2-3=-1,
當(dāng)n≥2時(shí),a
9、n=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5,
由于a1也適合此等式,∴an=4n-5.
(2)a1=S1=3+b,
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2·3n-1.
當(dāng)b=-1時(shí),a1適合此等式.
當(dāng)b≠-1時(shí),a1不適合此等式.
∴當(dāng)b=-1時(shí),an=2·3n-1;
當(dāng)b≠-1時(shí),an=
[規(guī)律方法] 已知Sn求an的三個(gè)步驟
(1)先利用a1=S1求出a1.
(2)用n-1替換Sn中的n得出Sn-1,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式.
(3)看a1是否符合n≥2時(shí)an
10、的表達(dá)式,如果符合,則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫;如果不符合,則應(yīng)寫成分段函數(shù)的形式.
易錯警示:利用an=Sn-Sn-1求通項(xiàng)時(shí),應(yīng)注意n≥2這一前提條件,易忽視驗(yàn)證n=1致誤.
[跟蹤訓(xùn)練] (1)(20xx·石家莊質(zhì)檢(二))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=2an-4(n∈N+),則an=( )
【導(dǎo)學(xué)號:79140166】
A.2n+1 B.2n
C.2n-1 D.2n-2
(2)(20xx·全國卷Ⅱ)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=________.
(1)A (2)- [(1)由Sn=2an-4可得Sn-1=2
11、an-1-4(n≥2),兩式相減可得an=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1(n≥2).又a1=2a1-4,a1=4,∴數(shù)列{an}是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,則an=4×2n-1=2n+1,故選A.
(2)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1,
∴Sn+1-Sn=SnSn+1.
∵Sn≠0,∴-=1,即-=-1.
又=-1,∴是首項(xiàng)為-1,公差為-1的等差數(shù)列.
∴=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴Sn=-.]
由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式
分別求出滿足下列條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(1)a1=2,an+1=an+3n+2(n
12、∈N+);
(2)a1=1,an=an-1(n≥2,n∈N+);
(3)a1=1,an+1=3an+2(n∈N+).
[解] (1)∵an+1-an=3n+2,
∴an-an-1=3n-1(n≥2),
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=(n≥2).
當(dāng)n=1時(shí),a1=×(3×1+1)=2符合公式,
∴an=n2+.
(2)當(dāng)n≥2,n∈N+時(shí),
an=a1×××…×
=1×××…×××=n,
當(dāng)n=1時(shí),也符合上式,
∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=n.
(3)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1),
又a1
13、=1,∴a1+1=2,
故數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列,
∴an+1=2·3n-1,因此an=2·3n-1-1.
[規(guī)律方法] 由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的常用方法
(1)已知a1,且an-an-1=f(n),可用“累加法”求an.
(2)已知a1(a1≠0),且=f(n),可用“累乘法”求an.
(3)已知a1,且an+1=qan+b,則an+1+k=q(an+k)(其中k可由待定系數(shù)法確定),可轉(zhuǎn)化為{an+k}為等比數(shù)列.
易錯警示:本題(1),(2)中常見的錯誤是忽視驗(yàn)證a1是否適合所求式.
[跟蹤訓(xùn)練] (1)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+,求an.
【導(dǎo)學(xué)號:79140167】
(2)在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2nan,求an.
[解] (1)an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=++…+++2=3-.
(2)由于=2n,
故=21,=22,…,=2n-1,
將這n-1個(gè)等式疊乘,
得=21+2+…+(n-1)=2,故an=2.