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2019-2020年新人教b版高中數(shù)學必修二2.2.4《點到直線的距離》word教案 【情景導入】 （多媒體投影） 某供電局計劃年底解決本地區(qū)最后一個村莊的用電問題，經(jīng)過測量，若按部門內(nèi)部設計好的坐標圖（即：以供電局為原點，正東方向為軸的正半軸，正北方向為軸的正半軸，長度單位為千米），得知這村莊的坐標是，離它最近的只有一條線路通過，其方程為，問要完成任務，至少需要多長的電線？ 【引導】 師：你能否通過幾何的方法找到在線路上哪一點架線才能使電線最短？ 生：由村莊對應的點向線路所在的直線作垂線，垂足即為所求的點。 師：對上述問題實際上是一個求點到直線的距離的問題，顯然如果通過實地測量費時費力，而通過這一節(jié)我們所學的知識就可以利用點的坐標和直線的方程直接確定此最短距離，這就是這一節(jié)我們將要學習的（書寫課題）：點 到直線的距離 【引導】 師：上幾節(jié)我們通過直線的方程和點的坐標采用代數(shù)的方法解決了兩直線的交點及兩點間的距離等幾何問題，我們知道點到直線的距離就是由點向相應的直線作垂線，垂足到該點的距離即為點到直線的距離，它是直線上各點和該點連線的最短距離。那么如圖如何由已知點P0（x0,y0）,直線L：Ax+BY+C=0確定點P0直線L的距離呢？ （師生互動） 師：如圖點P0到直線的距離即為線段P0Q的長度，我們能否利用上一節(jié)兩點間的距離來解決呢？如何解決？請同學們說出你的解題思路（只說解法，不要求學生具體解答） 生：思考并討論。 師：巡視指導，并點拔“求解兩點間的距離關(guān)鍵是確定點Q的坐標，點Q的坐標可由我們學過的什么知識解決？”“如何寫出直線P0Q的方程？” 生：由P0Q，故直線的斜率為，從而直線P0Q的方程可求，而點Q為直線P0Q和直線的交點，利用兩直線的方程通過解方程組的方法可解出點Q的坐標，再利用兩點間的距離公式即可確定P0Q的長度即為點到直線的距離。 師:回答的很好，思路很清晰，但顯然具體的求解過程非常復雜，解析幾何在解題過程中往往就有這樣的特點，看似可行，但具體操作太過繁雜，只有換種思維才能順利解答。 【引導】 師：我們知道線段的長要利用三角形來求解．如何構(gòu)造一個含所求線段又易于求解的三角形是解決這個問題的關(guān)鍵，如圖當直線與x軸和y軸都相交時，過點P0分別作x軸和y軸的平行線，交直線于點R和S，那么P0Q即可在直角三角形P0RS中求得。請同學們根據(jù)這種思路完成此題。 生：動手解答。 師：（多媒體投影）當A0，B0，則直線L與x軸y軸都相交，過點P0分別作x軸和y軸的平行線，交直線于點R和S，則直線P0R的方程為：y=y0,R的坐標為 【師生互動】 師：上述求解過程還有沒有問題？如何加以補充？ 生：討論。 師：點拔“平面上任一直線的位置關(guān)系可分為哪幾類”“求解過程中點到直線的距離公式是在什么條件求解的？”“當A＝0或B＝0時是否符合上述公式？” 生：計算并驗證。 【點拔】 師：（1）當A＝0或B＝0即直線平行于x軸或y軸時，此時點P0（x0,y0）到直線距離d=,到直線的距離，顯然這兩種特殊情況均符合公式 因此我們把叫做平面上點到直線的距離公式。 （2）1．公式的結(jié)構(gòu)特征：分子是將點的坐標代入直線方程一般式的左邊得到的代數(shù)式加絕對值，分母是。 　　2．公式的適用范圍：①該公式對于任何位置的點P（包括直線上的點）及任意直線都適合。②當A=0或B=0時，公式仍成立，但計算時常用圖形直接求解。 　　3．使用公式時應注意的問題：使用點到直線距離的公式時，應先將直線方程化為一般式。 　　4．用方程的觀點理解公式：該公式是含有6個量的方程，知道其中5個量可以求第6個量。 師：下面通過具體例題來熟悉公式的應用。 （多媒體投影） 例1 點A(a，6)到直線3x-4y=2的距離等于4，求a的值． 【學生思考并解答】 解 應用點到直線的距離公式，解關(guān)于a的方程： 【點拔】 兩側(cè)，如圖(1-31)．由解的過程可知；當3a-26＞0時，所求點在已知直線的下方，當3a-26＜0時，所求點在已知直線的上方． （多媒體投影） 已知點A（1,3）、B（3,1）、C（－1,0）求三角形ABC的面積。 （師生互動） 師：要確定三角形ABC的面積根據(jù)面積公式，需確定三角形一邊邊長及此邊上的高，如何根據(jù)條件確定這兩個量？ 生：分析條件并回答，可由A、B兩點的坐標根據(jù)兩點間的距離公式確定AB的長，AB邊上的高可轉(zhuǎn)化為點C到直線AB的距離。 師：好！請同學們根據(jù)這種思路解答。 （學生解完后教師用多媒體投影） 解：如圖： 設AB邊上的高為h，則，AB邊上的高即為點C到直線AB的距離。由直線方程的兩點式AB所在直線的方程為：，即x+y-4=0，點C（－1,0）到直線x+y-4=0的距離，因此。 【點拔】師：求點P（x,y）到直線Ax+By+C=0的距離的步驟是： （1） 給點的坐標賦值：x1=?,y1=?（2）給A、B、C賦值：A＝？B＝？C＝？ （3）計算（4）給出d的值。 （遷移應用一）（多媒體投影） 求過點，且與原點的距離等于的直線方程。 （師生互動） 師：如何根據(jù)條件設出直線的方程？在設直線方程時應注意什么問題？ 生：已知直線上一點，故可設點斜式方程，但應注意驗證直線的斜率不存在時是否符合條件。 師：請同學們給出此題的答案。 生：再根據(jù)點到直線的距離公式，即可求出直線方程為或。 （新知探究二） 【引導】 師：兩條平行線間的距離是指夾在兩平行線間的公垂線段的長，我們知道當兩直線平行時，兩平行線的距離處處相等，若已知兩平行線的方程為，你能否根據(jù)點到直線的距離推出任意兩條平行線間的距離？你能說出你的思路嗎？ 生：由平面幾何知識知，兩平行線的距離等于其中一平行線上任意一點到另一平行線的距離，故可在其中一直線上取一點利用點到直線的距離即可確定。 師：如何取點，使計算簡單？你能說出你的理由嗎？ 生：取直線與X軸或Y軸的交點，代入距離公式的分子時其中有一個為零。 師：好！請同學們自已動手推導兩平行線間的距離公式。 （多媒體投影）已知兩平行線的方程分別為，當A0、B0時在直線上取與X軸的交點P（，0），則點到P到直線的距離為.經(jīng)驗證知當A＝0或B＝0時，兩直線都平行于X軸或Y軸時也適合公式。 師：下面通過題目鞏固公式的應用。 （多媒體投影）已知直線L1：2x-7y-8=0,L2:6x-21y-1=0,L1和L2是否平行？若平行，求L1和L2間的距離。 （師生互動） 師：如何根據(jù)兩直線方程，來判斷兩直線的位置關(guān)系？ 生：一般根據(jù)直線的斜截式方程來判斷，若兩直線的斜率相等截距不等，兩直線一定平行。 師：你能用我們所學的知識用兩種方法解答該題嗎？ 【學生思考并解答】 解：L1的斜率 L2的斜率，故兩直線平行。 法一。易求直線L1與X軸的交點A的坐標為（4,0），點A到直線L2的距離為。 法二。直線L2的方程可化為2x-7y-=0,根據(jù)兩平行線間的距離公式。 【點撥】 師：注意兩平行線間距離公式的適用范圍是兩直線的方程為，即方程的系數(shù)A、B相等的前提下才能適用，不滿足條件的要化簡后才能使用。 （遷移應用二）（多媒體投影） 求直線關(guān)于點對稱的直線方程。 【師生互動】 師：中心對稱的兩直線的位置關(guān)系是怎樣的？它具備什么樣的幾何特征？ 生：中心對稱的兩直線是互相平行的，并且中心到這兩條直線的距離相等。 師：據(jù)此如何設出要求直線的方程的形式？ 生：根據(jù)平行的直線系方程可設直線方程為。 師：請同學們解答此題。 （多媒體投影）設所求直線方程為，則得(已知直線)或，∴所求的直線為。 【點拔】 師：解答此類題目，應緊緊把握對稱的幾何特征，利用對稱的幾何關(guān)系構(gòu)造條件。 【知能總結(jié)】 （學生總結(jié)教師點評） 本節(jié)課學習的主要內(nèi)容： 1、點到直線的距離公式及結(jié)構(gòu)特點，及公式的應用。 2、點到直線距離公式的推導。 3．兩平行線間的距離。 教學思想和方法 教學中體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生研究探索的能力。 作業(yè)：P116習題3.3第9第10兩題 附一板書設計： 課題：點到直線的距離 一.1．點到直線距離公式的推導。 2．公式應用 二．兩平行線間的距離 公式應用 三小結(jié) 1． 2． 3 作業(yè) 附二教學札記 設計說明 點到直線的距離公式是解決理論和實際問題的一個重要工具，教學中理應予以重視．但在以往的教學過程中遇到的最大困難是：思路自然的則運算很繁，而運算較簡單的解法則思路又很不自然．這樣就造成了教學中通常采用“滿堂灌”、“注入式”，學生的思維得不到應有的訓練，學生的主體作用也不能充分體現(xiàn)出來．為避免這個問題，有必要很好地探討一下，“點到直線的距離公式”的教學如何更合理，怎樣把教學過程變成師生共同探索、發(fā)現(xiàn)公式的過程，怎樣使推導過程自然而簡練． 本節(jié)課是“兩條直線的位置關(guān)系”的最后一個內(nèi)容，在復習引入時，有意識地涉及兩直線垂直、兩直線的交點等知識，既幫助學生整理、復習已學知識的結(jié)構(gòu)，也讓學生在復習過程中自己“發(fā)現(xiàn)”尚未解決的問題，使新授知識在原認知結(jié)構(gòu)中找到生長點，自然地引出新問題，符合學生的認知規(guī)律，有利于學生形成合理、完善的認知結(jié)構(gòu)．教學過程中，逐步逼近目標，在這過程中展示了數(shù)學知識產(chǎn)生的思維過程．學生能夠自覺地、主動地參與進來，教師的主導作用，學生的主體作用都得以充分體現(xiàn)，經(jīng)常這樣做，學生的數(shù)學思維能力必將逐步得到提高．通過對本節(jié)課教學的探討，力求打破照本宣科、滿堂灌、注入式的舊模式，希望達到較好的效果，使學生的思維得到有效訓練，并能充分發(fā)揮教師的主導作用和學生的主體作用．