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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第8講　拋物線 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、填空題 1．點(diǎn)M(5,3)到拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的方程是________． 解析　分兩類a>0，a<0可得y＝x2，y＝－x2. 答案　y＝x2或y＝－x2 2．若點(diǎn)P到直線y＝－1的距離比它到點(diǎn)(0,3)的距離小2，則點(diǎn)P的軌跡方程是________． 解析　由題意可知點(diǎn)P到直線y＝－3的距離等于它到點(diǎn)(0,3)的距離，故點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(0,3)為焦點(diǎn)，以y＝－3為準(zhǔn)線的拋物線，且p＝6，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝12y. 答案　x2＝12y 3．(2014·濟(jì)寧模

2、擬)已知圓x2＋y2－6x－7＝0與拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線相切，則p的值為________． 解析　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝16，圓心為(3,0)，半徑為4.圓心到準(zhǔn)線的距離為3－＝4，解得p＝2. 答案　2 4．(2013·四川卷改編)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)到直線x－y＝0的距離是________． 解析　由拋物線方程知2p＝8?p＝4，故焦點(diǎn)F(2,0)，由點(diǎn)到直線的距離公式知，F(xiàn)到直線x－y＝0的距離d＝＝1. 答案　1 5．(2014·濰坊一模)已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F與雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在拋物

3、線上且|AK|＝|AF|，則A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為________． 解析　拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為x＝－.雙曲線的右焦點(diǎn)為(3,0)，所以＝3，即p＝6，即y2＝12x.過A做準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，則|AK|＝|AF|＝|AM|，即|KM|＝|AM|，設(shè)A(x，y)，則y＝x＋3，代入y2＝12x，解得x＝3. 答案　3 6．已知拋物線y2＝4x上一點(diǎn)M與該拋物線的焦點(diǎn)F的距離|MF|＝4，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x0＝________. 解析　拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線為x＝－1. 根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為4，則M的橫坐標(biāo)為3. 答案　3 7．(2013·新課標(biāo)全國Ⅱ

4、卷改編)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線l過F且與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＝3|BF|，則l的方程為________． 解析　法一　由|AF|＝3|BF|，得＝3，而F點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，設(shè)B(x0，y0)，則從而可解得A的坐標(biāo)為(4－3x0，－3y0)，因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在拋物線上，所以解得x0＝，y0＝±，所以kl＝＝±. 則過點(diǎn)F的直線方程為y＝(x－1)或y＝－(x－1)． 法二　結(jié)合焦點(diǎn)弦公式|AB|＝及＋＝求解，設(shè)直線AB的傾斜角為θ，由題意知p＝2，F(xiàn)(1,0)，＝3，又＋＝，∴＋＝1， ∴|BF|＝，|AF|＝4，∴|AB|＝. 又由拋物線焦點(diǎn)弦公式：|AB|＝

5、，∴＝， ∴sin2θ＝，∴sin θ＝，∴k＝tan θ＝±. 答案　y＝(x－1)或y＝－(x－1) 8．(2012·陜西卷)如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬________米． 解析　如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)．由題意A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.設(shè)B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面寬為2米． 答案　2 二、解答題 9．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)M(－3，m)到焦點(diǎn)的距離為5，求拋物線的方程和m的值． 解　法一

6、　根據(jù)已知條件，拋物線方程可設(shè)為 y2＝－2px(p＞0)，則焦點(diǎn)F. ∵點(diǎn)M(－3，m)在拋物線上，且|MF|＝5， 故 解得 或 ∴拋物線方程為y2＝－8x，m＝±2. 法二　設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p>0)，則準(zhǔn)線方程為x＝，由拋物線定義，M點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于M點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以有－(－3)＝5，∴p＝4. ∴所求拋物線方程為y2＝－8x， 又∵點(diǎn)M(－3，m)在拋物線上， 故m2＝(－8)×(－3)， ∴m＝±2. 10．設(shè)拋物線C：y2＝4x，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，過F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)． (1)設(shè)l的斜率為1，求|AB|的大小； (2)求證：·是

7、一個(gè)定值． (1)解　∵由題意可知拋物線的焦點(diǎn)F為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，∴直線l的方程為y＝x－1， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6， 由直線l過焦點(diǎn)，則|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8. (2)證明　設(shè)直線l的方程為x＝ky＋1， 由得y2－4ky－4＝0，∴y＝4k＋2 ∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4， ＝(x1，y1)，＝(x2，y2)． ∵·＝x1x2＋y1y2 ＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2 ＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2

8、 ＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3. ∴·是一個(gè)定值． 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、填空題 1．已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為________． 解析　∵－＝1的離心率為2， ∴＝2，即＝＝4，∴＝. x2＝2py的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，－＝1的漸近線方程為y＝±x，即y＝±x.由題意，得＝2， ∴p＝8.故C2：x2＝16y. 答案　x2＝16y 2．(2014·洛陽統(tǒng)考)已知P是拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：2x－y＋3＝

9、0和y軸的距離之和的最小值是________． 解析　由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)．設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d，由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為|PF|－1，所以點(diǎn)P到直線l的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，故d＋|PF|的最小值為＝，所以d＋|PF|－1的最小值為－1. 答案?。? 3．(2014·泰州二模)已知橢圓C：＋＝1的右焦點(diǎn)為F，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的傾斜角為120°，那么|PF|＝________. 解析　拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，

10、準(zhǔn)線方程為x＝－1.因?yàn)橹本€AF的傾斜角為120°，所以tan 120°＝，所以yA＝2.因?yàn)镻A⊥l，所以yP＝y(tǒng)A＝2，代入y2＝4x，得xA＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4. 答案　4 二、解答題 4．(2014·臺州質(zhì)量評估)已知拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)K(0，－1)的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為D. (1)證明：點(diǎn)F在直線BD上； (2)設(shè)·＝，求∠DBK的平分線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)． (1)證明　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(－x1，y1)，l的方程為y＝kx－1，由得x2－4kx＋4＝0， x＝2k±2 從而

11、x1＋x2＝4k，x1x2＝4. 直線BD的方程為y－y1＝(x＋x1)， 即y－＝(x＋x1)， 令x＝0，得y＝＝1，所以點(diǎn)F在直線BD上． (2)解　因?yàn)椤ぃ?x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝8－4k2， 故8－4k2＝，解得k＝±， 所以l的方程為4x－3y－3＝0,4x＋3y＋3＝0. 又由(1)得x2－x1＝±＝±， 故直線BD的斜率為＝±， 因而直線BD的方程為x－3y＋3＝0，x＋3y－3＝0. 設(shè)∠DBK的平分線與y軸的交點(diǎn)為M(0，t)， 則M(0，t)到l及BD的距離分別為，， 由＝，得t＝或t＝9(舍去)， 所以∠DBK的平分線與y軸的交點(diǎn)為M.