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高一數(shù)學(xué) SX-14-01-501 2019-2020年高一數(shù)學(xué)《正弦定理》優(yōu)質(zhì)課導(dǎo)學(xué)案 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)其邊長(zhǎng)與角度之間的一種數(shù)量關(guān)系——正弦定理。 2． 掌握正弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形問(wèn)題。 【重點(diǎn)難點(diǎn)】 正弦定理的猜想與證明；正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。 【學(xué)法指導(dǎo)】 在問(wèn)題情景中學(xué)習(xí)，將自己所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探究中，運(yùn)用“觀察—類比—猜想—證明—應(yīng)用”的模式，培養(yǎng)自己由特殊到一般和獨(dú)立解決問(wèn)題的能力。 【知識(shí)鏈接】 1． 在任意三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系. 2． 在直角三角形中，若C=90，則有 ① ② A+B=90 ③ = = , = = . 【學(xué)習(xí)過(guò)程】 一、 知識(shí)體系梳理 問(wèn)題1:在Rt△ABC中，若C=90，則c=____=____.(用邊和角的正弦表示) 問(wèn)題2:對(duì)于任意三角形，這個(gè)結(jié)論還成立嗎？ 問(wèn)題3:可以猜想這個(gè)結(jié)論對(duì)任意三角形是成立的。不妨設(shè)角C是最 大角，如何證明在銳角三角形、鈍角三角形中結(jié)論也成立？ 問(wèn)題4:正弦定理 在一個(gè)三角形中___________________________，即__________________________。 二、 基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流 正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對(duì)應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式。一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個(gè)元素求其它元素的過(guò)程叫做解三角形。 問(wèn)題1:已知△ABC中，c=10，A=45，C=30，解三角形. 問(wèn)題2:（1）在△ABC中，已知a=,b=,B=45,解三角形. （2）在△ABC中，b=10,c=5,C=60,解三角形. 【歸納小結(jié)】 1．正弦定理內(nèi)容 2．如果已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，由三角形內(nèi)角和定理，可以計(jì)算出三角形的另一角，并由正弦定理計(jì)算出三角形的另兩邊。 3．如果已知三角形的任意兩邊與一邊的對(duì)角，應(yīng)用正弦定理，可以計(jì)算出另一邊的對(duì)角的正弦值，進(jìn)而確定這個(gè)角和三角形其他的邊和角。 【當(dāng)堂檢測(cè)】 1. 在△ABC中,若,則B的值為( ) A.30 B.45 C.60 D.90 2. 在△ABC中,若A=30,a=,則等于( ) A.2 B. C. D. 3. 在△ABC中,已知b=,c=150,B=30,則C=__________. 4. 在△ABC中,B=45,C=60,c=1,則最短邊的邊長(zhǎng)等于________. 5．在△ABC中,已知a=18,b=22,A=35,則B的解的情況是( ) A.無(wú)解 B.一解 C.兩解 D.三解 【學(xué)習(xí)反思】 【知識(shí)延伸】 1．利用正弦定理證明三角形的面積公式 = ab = bc= ac. 2．在正弦定理的證明中，我們將任意三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊角關(guān)系得出結(jié)論，能否利用其它方法證明結(jié)論？（提示：向量法、外接圓法） 3. 由外接圓法證明正弦定理，可以得到下面幾個(gè)變形公式：(R為外接圓半徑) (2) a=, b=, c= (3) :: = a:b:c