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2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第十一章選修內(nèi)容 11-2 參數(shù)方程《教案》 1．參數(shù)方程和普通方程的互化 (1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式．一般地，可以通過消去參數(shù)從參數(shù)方程得到普通方程． (2)如果知道變數(shù)x，y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g(t)，那么就是曲線的參數(shù)方程． 2．常見曲線的參數(shù)方程和普通方程 點(diǎn)的軌跡 普通方程 參數(shù)方程 直線 y－y0＝tan α(x－x0) (t為參數(shù)) 圓 x2＋y2＝r2 (θ為參數(shù)) 橢圓 ＋＝1(a>b>0) (φ為參數(shù)) 雙曲線 －＝1 ，(a>0，b>0) (φ為參數(shù)) 拋物線 y2＝2px (p>0) (t為參數(shù)) 1．直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，求直線l的斜率． 解　將直線l的參數(shù)方程化為普通方程為 y－2＝－3(x－1)，因此直線l的斜率為－3. 2．已知直線l1：(t為參數(shù))與直線l2：(s為參數(shù))垂直，求k的值． 解　直線l1的方程為y＝－x＋，斜率為－； 直線l2的方程為y＝－2x＋1，斜率為－2. ∵l1與l2垂直， ∴(－)(－2)＝－1?k＝－1. 3．已知點(diǎn)P(3，m)在以點(diǎn)F為焦點(diǎn)的拋物線(t為參數(shù))上，求PF的值． 解　將拋物線的參數(shù)方程化為普通方程為y2＝4x，則焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，又P(3，m)在拋物線上，由拋物線的定義知PF＝3－(－1)＝4. 4．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ＝1，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，求直線l與曲線C相交所截的弦長． 解　曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝1， 直線l的普通方程為3x－4y＋3＝0. 圓心到直線的距離d＝＝. ∴直線l與曲線C相交所截的弦長為2＝. 題型一　參數(shù)方程與普通方程的互化 例1　(1)如圖，以過原點(diǎn)的直線的傾斜角θ為參數(shù)，求圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程． (2)在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l的參數(shù)方程為(s為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若l與C相交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長． 解　(1)圓的半徑為，記圓心為C(，0)，連結(jié)CP，則∠PCx＝2θ，故xP＝＋cos 2θ＝cos2θ， yP＝sin 2θ＝sin θcos θ(θ為參數(shù))． 所以圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (2)直線l的普通方程為x＋y＝2，曲線C的普通方程為y＝(x－2)2(y≥0)，聯(lián)立兩方程得x2－3x＋2＝0，求得兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，(2,0)，所以AB＝. 思維升華　消去參數(shù)的方法一般有三種： (1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表示式，然后代入消去參數(shù)； (2)利用三角恒等式消去參數(shù)； (3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，靈活的選用一些方法從整體上消去參數(shù)． 將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意防止變量x和y取值范圍的擴(kuò)大或縮小，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范圍． 　(1)求直線(t為參數(shù))與曲線(α為參數(shù))的交點(diǎn)個(gè)數(shù)． (2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過橢圓C：(φ為參數(shù))的右頂點(diǎn)，求常數(shù)a的值． 解　(1)將消去參數(shù)t得直線x＋y－1＝0； 將消去參數(shù)α得圓x2＋y2＝9. 又圓心(0,0)到直線x＋y－1＝0的距離d＝<3. 因此直線與圓相交，故直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)． (2)直線l的普通方程為x－y－a＝0， 橢圓C的普通方程為＋＝1， ∴橢圓C的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，若直線l過(3,0)， 則3－a＝0，∴a＝3. 題型二　參數(shù)方程的應(yīng)用 例2　已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (1)求直線l和圓C的普通方程； (2)若直線l與圓C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)直線l的普通方程為2x－y－2a＝0， 圓C的普通方程為x2＋y2＝16. (2)因?yàn)橹本€l與圓C有公共點(diǎn)， 故圓C的圓心到直線l的距離d＝≤4， 解得－2≤a≤2. 思維升華　已知圓、圓錐曲線的參數(shù)方程解決有關(guān)問題時(shí)，一般是把參數(shù)方程化為普通方程，通過互化解決與圓、圓錐曲線上動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的問題，如最值、范圍等． 　在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為和(t為參數(shù))，求曲線C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)． 解　曲線C1的普通方程為x2＋y2＝5(x≥0，y≥0)． 曲線C2的普通方程為x－y－1＝0. 解方程組得 ∴曲線C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)． 題型三　極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 例3　(xx課標(biāo)全國Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝2sin θ，曲線C3：ρ＝2cos θ. (1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)； (2)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求AB的最大值． 解　(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0. 聯(lián)立解得或 所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和. (2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A的極坐標(biāo)為(2sin α，α)，B的極坐標(biāo)為(2cos α，α)． 所以AB＝|2sin α－2cos α|＝4. 當(dāng)α＝時(shí)，AB取得最大值，最大值為4. 思維升華　在對(duì)坐標(biāo)系與參數(shù)方程的考查中，最能體現(xiàn)坐標(biāo)法的解題優(yōu)勢(shì)，靈活地利用坐標(biāo)法可以使問題得到簡(jiǎn)捷的解答．例如，將題設(shè)條件中涉及的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程等價(jià)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后在直角坐標(biāo)系下對(duì)問題進(jìn)行求解就是一種常見的解題方法，對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)問題求解的“化生為熟”原則，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想． 　在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos(θ＋)，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l和圓C交于A，B兩點(diǎn)，P是圓C上不同于A，B的任意一點(diǎn)． (1)求圓心的極坐標(biāo)； (2)求△PAB面積的最大值． 解　(1)由圓C的極坐標(biāo)方程為 ρ＝2cos(θ＋)，得 ρ2＝2(ρcos θ－ρsin θ)， 把代入可得圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＋2y＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝2. ∴圓心坐標(biāo)為(1，－1)， ∴圓心的極坐標(biāo)為(，)． (2)由題意，得直線l的直角坐標(biāo)方程為2x－y－1＝0. ∴圓心(1，－1)到直線l的距離d＝＝，∴AB＝2＝2＝. 點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為r＋d＝＋＝， ∴Smax＝＝. 1．將參數(shù)方程化為普通方程是解決問題的一般思路，體現(xiàn)了化歸思想． 2．將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意兩種方程的等價(jià)性，不要增解；確定曲線的參數(shù)方程時(shí)，一定要根據(jù)實(shí)際問題的要求確定參數(shù)的取值范圍，必要時(shí)通過限制參數(shù)的范圍去掉多余的解. A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：50分鐘) 1．求直線(t為參數(shù))被曲線(θ為參數(shù))所截得的弦長． 解　直線方程可化為x＋y－＝0， 曲線方程可化為x2＋＝1. 由得x2－x＝0， ∴x＝0或x＝1. 可得交點(diǎn)為A(0，)，B(1,0)． ∴AB＝＝2. ∴所截得的弦長為2. 2．直線(t為參數(shù))與圓(θ為參數(shù))相切，求切線的傾斜角． 解　直線的普通方程為bx－ay－4b＝0，圓的普通方程為(x－2)2＋y2＝3，直線與圓相切，則圓心(2,0)到直線的距離為，從而有＝，即3a2＋3b2＝4b2，∴b＝a，而直線的傾斜角的正切值為tan α＝，∴tan α＝，因此切線的傾斜角為或. 3．已知直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程：(t為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求以極點(diǎn)為圓心且與直線l相切的圓的極坐標(biāo)方程． 解　∵直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋＝0. ∴原點(diǎn)到直線的距離r＝＝1. ∴以極點(diǎn)為圓心且與直線l相切的圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝1. 4．(xx湖北)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，l與C相交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長． 解　直線l的極坐標(biāo)方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化為直角坐標(biāo)方程為3x－y＝0，曲線C的參數(shù)方程兩式經(jīng)過平方相減，化為普通方程為y2－x2＝4，聯(lián)立解得或 所以A，B. 所以AB＝ ＝2. 5．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以O(shè)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2的方程為ρsin(θ＋)＝2，求曲線C1與曲線C2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)． 解　曲線C1，C2化為普通方程和直角坐標(biāo)方程分別為x2＝2y，x＋y－4＝0，聯(lián)立消去y得x2＋2x－8＝0，因?yàn)榕袆e式Δ>0，所以方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．故曲線C1與曲線C2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2. 6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長． 解　將直線l的參數(shù)方程 代入拋物線方程y2＝4x， 得2＝4， 解得t1＝0，t2＝－8. 所以AB＝|t1－t2|＝8. B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：30分鐘) 7．(xx陜西)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，⊙C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ. (1)寫出⊙C的直角坐標(biāo)方程； (2)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí)，求P的直角坐標(biāo)． 解　(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 從而有x2＋y2＝2y，所以x2＋(y－)2＝3. (2)設(shè)P，又C(0，)， 則PC＝ ＝， 故當(dāng)t＝0時(shí)，PC取得最小值， 此時(shí)，P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(3,0)． 8．已知直線C1：(t為參數(shù))，曲線C2：(θ為參數(shù))． (1)當(dāng)α＝時(shí)，求C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)； (2)過坐標(biāo)原點(diǎn)O作C1的垂線，垂足為A，P為OA的中點(diǎn)，當(dāng)α變化時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線． 解　(1)當(dāng)α＝時(shí)，C1的普通方程為y＝(x－1)， C2的普通方程為x2＋y2＝1， 聯(lián)立方程得解得C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,0)，(，－)． (2)依題意，C1的普通方程為xsin α－ycos α－sin α＝0， 則A點(diǎn)的坐標(biāo)為(sin2α，－sin αcos α)， 故當(dāng)α變化時(shí)， P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù))， ∴P點(diǎn)軌跡的普通方程為(x－)2＋y2＝. 故P點(diǎn)的軌跡是圓心為(，0)，半徑為的圓． 9．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin(θ－)． (1)求圓C的直角坐標(biāo)方程； (2)點(diǎn)P(x，y)是直線l與圓面ρ≤4sin(θ－)的公共點(diǎn)，求x＋y的取值范圍． 解　(1)因?yàn)閳AC的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin(θ－)， 所以ρ2＝4ρsin(θ－)＝4ρ(sin θ－cos θ)． 又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以x2＋y2＝2y－2x， 所以圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＋2x－2y＝0. (2)設(shè)z＝x＋y， 由圓C的方程x2＋y2＋2x－2y＝0，得 (x＋1)2＋(y－)2＝4， 所以圓C的圓心是(－1，)，半徑是2. 將代入z＝x＋y，得z＝－t. 又直線l過C(－1，)，圓C的半徑是2， 所以－2≤t≤2， 所以－2≤－t≤2， 即x＋y的取值范圍是[－2,2]． 10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)圓x2＋y2－4xcos θ－4ysin θ＋7cos2θ－8＝0 (θ∈R，θ為參數(shù))的圓心軌跡為曲線C，點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcos＝3，求點(diǎn)P到直線l的最大距離． 解　將動(dòng)圓的方程配方，得 (x－2cos θ)2＋(y－2sin θ)2＝9＋3sin2θ， 設(shè)圓心(x，y)，則 (θ∈R，θ為參數(shù))， 即曲線C的參數(shù)方程為 (θ∈R，θ為參數(shù))， 直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y－3＝0， 設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)，則(θ∈R，θ為參數(shù))，點(diǎn)P到直線l的距離d＝＝， 其中tan φ＝－. ∴當(dāng)sin(θ＋φ)＝－1，點(diǎn)P到直線l的距離d取得最大值.