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2019-2020年人教A版高一數(shù)學(xué)必修二 1-2-3 空間幾何體的直觀圖 教案 三維目標 通過用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形和空間幾何體的直觀圖，提高學(xué)生識圖和畫圖的能力，培養(yǎng)探究精神和意識，以及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法. 重點難點 教學(xué)重點：用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖. 教學(xué)難點：直觀圖和三視圖的互化. 教學(xué)過程 一、復(fù)習： （1）什么叫中心投影、平行投影、斜投影、正投影？ （2）三視圖采用何種投影？三視圖指哪三種視圖？畫三視圖要注意什么？ 說明：三視圖在工程制圖中被廣泛采用，但其直觀性較差，因此，在繪制物體的直觀圖時，一般采用斜投影或中心投影。 2、 合作探究 提出問題 ①如何用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖？ ②上述畫直觀圖的方法稱為斜二測畫法，請總結(jié)其步驟. ③探求空間幾何體的直觀圖的畫法.用斜二測畫法畫長、寬、高分別是4 cm、3 cm、2 cm的長方體ABCD—A′B′C′D′的直觀圖. ④用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形和幾何體的直觀圖有什么不同？并總結(jié)畫幾何體的直觀圖的步驟. 活動：①和③教師首先示范畫法，并讓學(xué)生思考斜二測畫法的關(guān)鍵步驟,讓學(xué)生發(fā)表自己的見解，教師及時給予點評. ②根據(jù)上述畫法來歸納. ③讓學(xué)生比較兩種畫法的步驟. 討論結(jié)果：①畫法：1如圖1（1），在正六邊形ABCDEF中，取AD所在直線為x軸，對稱軸MN所在直線為y軸，兩軸相交于點O.在圖1(2)中，畫相應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸相交于點O′，使∠x′O′y′=45. 2在圖1(2)中，以O(shè)′為中點，在x′軸上取A′D′=AD，在y′軸上取M′N′=MN.以點N′為中點畫B′C′平行于x′軸，并且等于BC；再以M′為中點畫E′F′平行于x′軸，并且等于EF. 3連接A′B′，C′D′，D′E′，F(xiàn)′A′，并擦去輔助線x′軸和y′軸，便獲得正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖A′B′C′D′E′F′〔圖1(3)〕. 圖1 ②步驟是：1在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O.畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸交于點O′，且使∠x′O′y′=45(或135)，它們確定的平面表示水平面. 2已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段. 3已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半. ③畫法：1畫軸.如圖2，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使∠xOy=45，∠xOz=90. 圖2 2畫底面.以點O為中點，在x軸上取線段MN，使MN=4 cm;在y軸上取線段PQ，使PQ=cm.分別過點M和N作y軸的平行線，過點P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點分別為A、B、C、D，四邊形ABCD就是長方體的底面ABCD. 3畫側(cè)棱.過A、B、C、D各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2 cm長的線段AA′、BB′、CC′、DD′. 4成圖.順次連接A′、B′、C′、D′，并加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線），就得到長方體的直觀圖. 點評：畫幾何體的直觀圖時，如果不作嚴格要求，圖形尺寸可以適當選取，用斜二測畫法畫圖的角度也可以自定，但是要求圖形具有一定的立體感. ④畫幾何體的直觀圖時還要建立三條軸，實際是建立了空間直角坐標系，而畫水平放置平面圖形的直觀圖實際上建立的是平面直角坐標系.畫幾何體的直觀圖的步驟是： 1在已知圖形所在的空間中取水平平面，作互相垂直的軸Ox、Oy，再作Oz軸，使∠xOy=90,∠yOz=90. 2畫出與Ox、Oy、Oz對應(yīng)的軸O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′=45，∠y′O′z′=90,x′O′y′所確定的平面表示水平平面. 3已知圖形中，平行于x軸、y軸和z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸和z′軸的線段，并使它們在所畫坐標軸中的位置關(guān)系與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標軸的位置關(guān)系相同. 4已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半. 5擦除作為輔助線的坐標軸，就得到了空間圖形的直觀圖. 斜二測畫法的作圖技巧: 1在已知圖中建立直角坐標系，理論上在任何位置建立坐標系都行，但實際作圖時，一般建立特殊的直角坐標系，盡量運用原有直線為坐標軸或圖形的對稱直線為坐標軸或圖形的對稱點為原點或利用原有垂直正交的直線為坐標軸等. 2在原圖中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中依然與x′軸或y′軸平行，原圖中不與坐標軸平行的線段可以先畫出線段的端點再連線，畫端點時作坐標軸的平行線為輔助線.原圖中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點，利用上述方法作出直觀圖中的相應(yīng)點后，用平滑的曲線連接而畫出. 3在畫一個水平放置的平面時，由于平面是無限延展的，通常我們只畫出它的一部分表示平面，一般地，用平行四邊形表示空間一個水平平面的直觀圖. 例1 用斜二測畫法畫水平放置的圓的直觀圖. 活動：學(xué)生回顧討論斜二測畫法的步驟，自己畫出來后再互相交流.教師適當點評. 解：（1）如圖3(1)，在⊙O上取互相垂直的直徑AB、CD，分別以它們所在的直線為x軸與y軸，將線段AB n等分.過各分點分別作y軸的平行線，交⊙O于E，F(xiàn)，G，H，…，畫對應(yīng)的x′軸和y′軸，使∠x′O′y′=45. 圖3 (2)如圖3(2)，以O(shè)′為中點，在x′軸上取A′B′=AB，在y′軸上取C′D′=CD，將A′B′ n等分，分別以這些分點為中點，畫與y′軸平行的線段E′F′，G′H′，…，使E′F′=,G′H′=，…. （3）用光滑曲線順次連接A′，D′，F(xiàn)′，H′，…，B′，G′，E′，C′，A′并擦去輔助線，得到圓的水平放置的直觀圖〔圖3(3)〕. 變式 關(guān)于“斜二測畫法”，下列說法不正確的是（ ） A.原圖形中平行于x軸的線段，其對應(yīng)線段平行于x′軸，長度不變 B.原圖形中平行于y軸的線段，其對應(yīng)線段平行于y′軸，長度變?yōu)樵瓉淼? C.在畫與直角坐標系xOy對應(yīng)的x′O′y′時，∠x′O′y′必須是45 D.在畫直觀圖時，由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同 分析：在畫與直角坐標系xOy對應(yīng)的x′O′y′時，∠x′O′y′也可以是135，所以C不正確. 答案：C 例2 如圖4，已知幾何體的三視圖，用斜二測畫法畫出它的直觀圖. 圖4 活動：讓學(xué)生由三視圖還原為實物圖，并判斷該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.教師分析： 由幾何體的三視圖知道，這個幾何體是一個簡單組合體，它的下部是一個圓柱，上部是一個圓錐，并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合.我們可以先畫出下部的圓柱，再畫出上部的圓錐. 解：畫法： （1）畫軸.如圖5（1），畫x軸、y軸、z軸，使∠xOy=45,∠xOz=90. (1) (2) 圖5 （2）畫圓柱的兩底面，仿照例2畫法，畫出底面⊙O.在z軸上截取O′，使OO′等于三視圖中相應(yīng)高度，過O′作Ox的平行線O′x′,Oy的平行線O′y′,利用O′x′與O′y′畫出底面⊙O′（與畫⊙O一樣）. （3）畫圓錐的頂點.在Oz上截取點P，使PO′等于三視圖中相應(yīng)的高度. （4）成圖.連接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖〔圖5(2)〕. 點評： 空間幾何體的三視圖與直觀圖有著密切的聯(lián)系，我們能夠由空間幾何體的三視圖得到它的直觀圖.同時，也能夠由空間幾何體的直觀圖得到它的三視圖. 變式 圖6所示是一個獎杯的三視圖，你能想象出它的幾何結(jié)構(gòu)，并畫出它的直觀圖嗎？ 圖6 答案：獎杯的幾何結(jié)構(gòu)是最上面是一個球，中間是一個四棱柱，最下面是一個棱臺拼接成的簡單組合體.其直觀圖略. 例1 如圖7所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4 cm，CD=2 cm，∠DAB=30，AD=3 cm，試畫出它的直觀圖. 圖7 活動：利用斜二測畫法作該梯形的直觀圖，要注意在斜二測畫法中，要有一些平行于原坐標軸的線段才好按部就班地作圖，所以先在原坐標系中過Ｄ作出該點在x軸的垂足，則對應(yīng)地可以作出線段ＤＥ的直觀圖，進而作出整個梯形的直觀圖. 解：步驟是：（1）如圖8所示，在梯形ABCD中，以邊AB所在的直線為x軸，點A為原點，建立平面直角坐標系xOy.如圖9所示，畫出對應(yīng)的x′軸，y′軸，使∠x′A′y′=45. （2）如圖8所示，過D點作DE⊥x軸，垂足為E.在x′軸上取A′B′=AB=4 cm，A′E′=AE=cm ≈2.598 cm；過E′作E′D′∥y′軸，使E′D′=，再過點D′作D′C′∥x′軸，且使D′C′=CD=2 cm. 圖8 圖9 圖10 （3）連接A′D′、B′C′、C′D′，并擦去x′軸與y′軸及其他一些輔助線，如圖10所示，則四邊形A′B′C′D′就是所求作的直觀圖. 三、遷移運用 1.利用斜二測畫法畫直觀圖時： ①三角形的直觀圖是三角形； ②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形； ③正方形的直觀圖是正方形； ④菱形的直觀圖是菱形. 以上結(jié)論中，正確的是___________. 分析：斜二測畫法保持平行性和相交性不變，即平行直線的直觀圖還是平行直線，相交直線的直觀圖還是相交直線，故①②正確；但是斜二測畫法中平行于y軸的線段，在直觀圖中長度為原來的一半，則正方形的直觀圖不是正方形，菱形的直觀圖不是菱形，所以③④錯. 答案：①② 2.一個三角形用斜二測畫法畫出來的直觀圖是邊長為2的正三角形，則原三角形的面積是（ ） A. B. C. D.都不對 分析：根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，正三角形的邊長是原三角形的底邊長，原三角形的高是正三角形高的倍，而正三角形的高是，所以原三角形的高為，于是其面積為2=. 答案：A 3.一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45，腰和上底長均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于（ ） A. B. C. D. 分析：平面圖形是上底長為1，下底長為，高為2的直角梯形.計算得面積為. 答案：D 4.斜二測畫法中，位于平面直角坐標系中的點M(4,4)在直觀圖中對應(yīng)點是M′,則點M′的找法是___________. 分析：在x′軸的正方向上取點M1，使O′M1=4，在y′軸上取點M2，使O′M2=2，過M1和M2分別作平行于y′軸和x′軸的直線的交點就是M′. 答案：在x′O′y′中，過點（4，0）和y′軸平行的直線與過（0，2）和x′軸平行的直線的交點即是. 5.根據(jù)圖14所示物體的三視圖（陰影部分為空洞）描繪出物體的大致形狀. 圖14 分析：根據(jù)該物體的三視圖可以判斷該物體的外輪廓是一個正方體，從正面和左面看是一個正方形中間有一個圓形的孔.從而知這兩個面應(yīng)該都有一個圓柱形的孔. 解：由此可以推測該物體大致形狀如圖15所示. 圖15