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2019-2020年人教A版高中數(shù)學 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-2 兩直線的位置關(guān)系 《教案》 【教學目標】 1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直． 　2.能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標． 　3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式， 會求兩條平行直線間的距離． 【重點難點】 1.教學重點：掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式， 會求兩條平行直線間的距離; 2.教學難點：學會對知識進行整理達到系統(tǒng)化，提高分析問題和解決問題的能力； 【教學策略與方法】 自主學習、小組討論法、師生互動法 【教學過程】 教學流程 教師活動 學生活動 設計意圖 環(huán)節(jié)二： 考綱傳真: 1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直．2.能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標． 3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式， 會求兩條平行直線間的距離． 真題再現(xiàn); 1．(xx天津高考)已知過點P(2,2)的直線與圓(x－1)2＋y2＝5相切，且與直線ax－y＋1＝0垂直，則a＝(　　) A．－　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D. 【解析】　由題意知圓心為(1,0)，由圓的切線與直線ax－y＋1＝0垂直，可設圓的切線方程為x＋ay＋c＝0，由切線x＋ay＋c＝0過點P(2,2)，∴c＝－2－2a，∴＝，解得a＝2.【答案】　C 1．(xx湖北卷)直線l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b將單位圓C：x2＋y2＝1分成長度相等的四段弧，則a2＋b2＝2． 【解析】：依題意，圓心C(0，0)到兩直線l1：y＝x＋a，l2：y＝x＋b的距離相等，且每段弧長等于圓周的，即＝＝1sin 45＝，得|a|＝|b|＝1，故a2＋b2＝2. 知識梳理： 知識點1、直線與直線的位置關(guān)系 1．平行與垂直． (1)若直線l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則 ①直線l1∥l2的充要條件是k1＝k2且b1≠b2． ②直線l1⊥l2的充要條件是k1k2＝－1． (2)若l1和l2都沒有斜率，則l1與l2平行或重合． (3)若l1和l2中有一條沒有斜率而另一條斜率為0，則(3)l1⊥l2． 知識點2　兩直線的交點 知識點3　三種距離 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點之間的距離 |P1P2|＝ 點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離 d＝ 平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離 d＝ 1．必會結(jié)論;(1)直線A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0過定點P，則定點P即為直線A1x＋B1y＋C1＝0 與A2x＋B2y＋C2＝0的交點． (2)點P(x0，y0)關(guān)于A(a，b)的對稱點為P′(2a－x0,2b－y0)． (3)設點P(x0，y0)關(guān)于直線y＝kx＋b的對稱點為P′(x′，y′)，則有可求出x′，y′. 2．必清誤區(qū);在運用兩平行直線間的距離公式d＝時，一定要注意將兩方程中x，y的系數(shù)化為相同的形式． 考點分項突破 考點一：直線的交點 (1)當00.即x<0，y>0，從而兩直線的交點在第二象限．【答案】　B (2)設直線l與l1的交點為A(x0，y0)，則直線l與l2的交點B(6－x0，－y0) 由題意知解得即A，從而直線l的斜率k＝＝8， 直線l的方程為y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0. 跟蹤訓練： 1.經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程為________． 【解析】　由方程組得l1，l2的交點坐標為(－1,2)，∵l3的斜率為，∴l(xiāng)的斜率為－，則直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.【答案】　5x＋3y－1＝0 歸納；1．兩直線交點的求法;求兩直線的交點坐標，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為坐標的點即為交點． 2．求過兩直線交點的直線方程的方法;求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結(jié)合其他條件寫出直線方程． 考點二: 三種距離公式的應用 ●命題角度1　兩點間距離公式及應用 1．已知點P在x軸上，且點P與點A(5,12)的距離為13，則點P的坐標為(　　) A．(0,0)或(0,10) B．(0,0)或(5,0) C．(0,0)或(10,0) D．(0,0)或(0,5) 【解析】　設P(x,0)，則|PA|＝＝13. 解得x＝0，或x＝10，故選C.【答案】　C 2．在直角三角形ABC中，C(0,0)，A(0，a)，B(b,0)，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則＝(　　) A．2 B．4 C．5 D．10 【解析】　由題意知，D，P，則|PA|2＝＋，|PB|2＝＋，|PC|2＝＋.所以|PA|2＋|PB|2＝(a2＋b2)，從而＝10，故選D. 【答案】　D ●命題角度2　點到直線的距離公式及應用 3．已知直線l在兩坐標軸上的截距相等，且點A(1,3)到直線l的距離為，則直線l的方程為________． 【解析】　當直線l過原點時，設其方程為y＝kx，由＝，解得k＝－7或k＝1，直線l的方程為y＝－7x或y＝x，當直線l不過原點時，由題意，設其方程為＋＝1，即x＋y－a＝0，由＝得a＝6或a＝2.此時直線l的方程為x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.【答案】　y＝x或y＝－7x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0 4．經(jīng)過點P(1,2)引直線，使A(2,3)，B(0，－5)到它的距離相等，則直線方程為________． 【解析】　法一　若直線斜率不存在，則直線方程為x＝1，符合要求．若直線斜率存在，設其方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0.由題意知＝，即|k－1|＝|k－7|，解得k＝4，此時直線方程為4x－y－2＝0. 法二　由題意，所求直線經(jīng)過點(2,3)和(0，－5)的中點或與點(2,3)和(0，－5)所在直線平行． (1)當直線經(jīng)過點A(2,3)和B(0，－5)的中點(1，－1)時，所求直線方程為x＝1. (2)當所求直線與直線AB平行時，由kAB＝4得所求直線的方程y－2＝4(x－1)即4x－y－2＝0. 【答案】　4x－y－2＝0或x＝1 ●命題角度3　兩平行線間的距離公式及應用 5．若動點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分別在直線l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移動，則P1P2的中點P到原點的距離的最小值是(　　) A. B．5 C. D．15 【解析】　由題意知l1∥l2，則P1P2的中點P在與直線l1，l2平行，且到l1，l2的距離相等的直線l上． 設直線l的方程為x－y＋C＝0，則＝， 解得C＝－10，則直線l的方程為x－y－10＝0. P1P2的中點P到原點的距離的最小值就是原點到直線l的距離，且d＝＝5，故選B. 【答案】　B 歸納：距離的求法 1．點到直線的距離;可直接利用點到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程必須為一般式． 2．兩平行直線間的距離;(1)利用“化歸”法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離； (2)利用兩平行線間的距離公式．在應用兩條平行線間的距離公式時，應把直線方程化為一般形式，且使x，y的系數(shù)分別相等． 考點三: 對稱問題 1.已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求： (1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標； (2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程； (3)直線l關(guān)于點A(－1，－2)對稱的直線l′的方程． 【解】　(1)設A′(x，y)，由已知得解得∴A′. (2)在直線m上取一點，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點必在m′上．設對稱點為M′(a，b)，則 解得M′.設m與l的交點為N，則由得N(4,3)．又∵m′經(jīng)過點N(4,3)， ∴由兩點式得直線方程為9x－46y＋102＝0. (3)由題意知，l′∥l，設直線l′的方程為2x－3y＋C＝0(C≠1)， 則點A(－1，－2)到兩平行線的距離相等． 所以 ＝即＝，解得C＝－9.因此直線l′的方程為2x－3y－9＝0. 跟蹤訓練：1．平面直角坐標系中，直線y＝2x＋1關(guān)于點(1,1)對稱的直線l的方程是(　　) A．y＝2x－1　　　　　　B．y＝－2x＋1 C．y＝－2x＋3 D．y＝2x－3 【解析】　由題意，l與直線y＝2x＋1平行，設l的方程為2x－y＋C＝0(C≠1)，則點(1,1)到兩平行線的距離相等．∴＝，解得C＝－3. 因此所求直線l的方程為y＝2x－3.【答案】　D 2．如圖，已知A(4,0)，B(0,4)，從點P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點，則光線所經(jīng)過的路程是(　　) A．3 B．6 C．2 D．2 【解析】　直線AB的方程為x＋y＝4，點P(2,0)關(guān)于直線AB的對稱點為D(4,2)，關(guān)于y軸的對稱點為C(－2,0)．則光線經(jīng)過的路程為|CD|＝＝2. 【答案】　C 歸納：1．中心對稱問題的兩個類型及求解方法 (1)點關(guān)于點對稱：若點M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對稱，則由中點坐標公式得進而求解． (2)直線關(guān)于點的對稱，主要求解方法是： ①在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程； ②求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程． 2．軸對稱問題的兩個類型及求解方法 (1)點關(guān)于直線的對稱若兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱，由方程組可得到點P1關(guān)于l對稱的點P2的坐標(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)． (2)直線關(guān)于直線的對稱 一般轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱來解決，有兩種情況：一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行． 易錯辨析 求直線方程時忽視斜率不存在的情況致誤 1.已知直線l過點P(5,10)，且原點到它的距離為5，則直線l的方程為__________________________． [錯誤解法]　設直線l的方程為y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0，由已知得＝5，解得k＝，故直線l的方程為x－y＋10－＝0，即3x－4y＋25＝0. [錯解分析]　分析上面解題過程，你知道錯在哪里嗎？提示：上面解題過程沒有討論直線l斜率不存在的情況，導致漏解． [自我糾正]　當直線l的斜率不存在時，直線方程是x＝5，滿足條件．當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y－10＝k(x－5)，即kx－y－5k＋10＝0. 由已知得＝5，解得k＝，故直線l的方程為x－y－＋10＝0，即3x－4y＋25＝0.綜上知，直線l的方程為x＝5或3x－4y＋25＝0. 【答案】　x＝5或3x－4y＋25＝0 。 學生通過對高考真題的解決，發(fā)現(xiàn)自己對知識的掌握情況。 學生通過對高考真題的解決，感受高考題的考察視角。 教師引導學生及時總結(jié)，以幫助學生形成完整的認知結(jié)構(gòu)。 引導學生通過對基礎(chǔ)知識的逐點掃描，來澄清概念，加強理解。從而為后面的練習奠定基礎(chǔ). 在解題中注意引導學生自主分析和解決問題，教師及時點撥從而提高學生的解題能力和興趣。 教師引導學生及時總結(jié)，以幫助學生形成完整的認知結(jié)構(gòu)。 通過對考綱的解讀和分析。讓學生明確考試要求，做到有的放矢 由常見問題的解決和總結(jié)，使學生形成解題模塊，提高模式識別能力和解題效率。 教師引導學生及時總結(jié)，以幫助學生形成完整的認知結(jié)構(gòu)。 引導學生對所學的知識進行小結(jié)，由利于學生對已有的知識結(jié)構(gòu)進行編碼處理，加強理解記憶，提高解題技能。 環(huán)節(jié)三： 課堂小結(jié)： 1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直． 2.能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標． 3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式， 會求兩條平行直線間的距離． 學生回顧，總結(jié). 引導學生對學習過程進行反思，為在今后的學習中，進行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。 環(huán)節(jié)四： 課后作業(yè)：學生版練與測 學生通過作業(yè)進行課外反思，通過思考發(fā)散鞏固所學的知識。