《新版浙江高考數學理二輪專題訓練：第1部分 專題三 第2講 高考中的數列解答題型》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《新版浙江高考數學理二輪專題訓練：第1部分 專題三 第2講 高考中的數列解答題型（11頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 1

2、 1 考 點 考 情 等差、等比數列的判定與證明 1.數列求和問題，多以考查公式法、錯位相減法和裂項相消法為主，且考查頻率較高，是高考命題的熱點，如浙江T18等．[來源:學§科§網] 2．數列與函數、不等式的綜合問題也是高考考查的重點，主要考查利用函數的觀點解決數列問題以及用不等式的方法研究數列的性質，多為中檔題，如天津T19等． 3．數列與解析幾何交匯主

3、要涉及點列問題，難度中等及以上． 4．數列應用題主要以等差數列、等比數列及遞推數列為模型進行考查，難度中等及以上.[來源:Z_xx_k.Com][來源:學#科#網Z#X#X#K][來源:Z+xx+k.Com] 數列求和問題[來源:學,科,網Z,X,X,K] 數列與函數、不等式的綜合問題 數列與解析幾何的綜合問題 數列的實際應用問題 新情境、新定義問題 1．(20xx·浙江高考)在公差為d的等差數列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比數列． (1)求d，an； (2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|. 解：(1)由題意

4、得5a3·a1＝(2a2＋2)2，a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d且a1＝10. 整理得d2－3d－4＝0. 故d＝－1或d＝4. 所以an＝－n＋11(n∈N*)或an＝4n＋6(n∈N*)． (2)設數列{an}的前n項和為Sn. 因為d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11. 則當n≤11時，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n. 當n≥12時，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110. 綜上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝ 2．(20xx·天津高考)已知首項為的等比數列{an}不是遞減

5、數列，其前n項和為Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數列． (1)求數列{an}的通項公式； (2)設Tn＝Sn－(n∈N*)，求數列{Tn}的最大項的值與最小項的值． 解：(1)設等比數列{an}的公比為q，因為S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝＝.又{an}不是遞減數列且a1＝，所以q＝－.故等比數列{an}的通項公式為an＝×n－1＝(－1)n－1·. (2)由(1)得Sn＝1－n＝ 當n為奇數時，Sn隨n的增大而減小，所以1

6、－＝. 當n為偶數時，Sn隨n的增大而增大，所以＝S2≤Sn<1，故0>Sn－≥S2－＝－＝－. 綜上，對于n∈N*，總有－≤Sn－≤. 所以數列{Tn}的最大項的值為，最小項的值為－. 一、遞推公式求通項常用的方法和技巧 1．an＋1＝an＋f(n)，把原遞推公式轉化為an＋1－an＝f(n)，再利用累加法求解． 2．an＋1＝f(n)an，把原遞推公式轉化為＝f(n)，再利用累乘法求解． 3．an＋1＝pan＋q(其中p，q均為常數，pq(p－1)≠0)先用待定系數法把原遞推公式轉化為an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝，再利用換元法轉化為等比數列求解． 二、數列求和

7、常用的方法 1．分組求和法：分組求和法是解決通項公式可以寫成cn＝an＋bn形式的數列求和問題的方法，其中{an}與{bn}是等差(比)數列或一些可以直接求和的數列． 2．裂項相消法：將數列的通項分成兩個代數式子的差，即an＝f(n＋1)－f(n)的形式，然后通過累加抵消中間若干項的求和方法．形如(其中{an}是各項均不為0的等差數列，c為常數)的數列等． 3．錯位相減法：形如{an·bn}(其中{an}為等差數列，{bn}為等比數列)的數列求和，一般分三步：①巧拆分；②構差式；③求和． 4．倒序求和法：距首尾兩端等距離的兩項和相等，可以用此法，一般步驟：①求通項公式；②定和值；③倒序

8、相加；④求和；⑤回顧反思． 熱點一 等差、等比數列的判定與證明 [例1]　(20xx·北京高考)已知{an}是由非負整數組成的無窮數列．該數列前n項的最大值記為An，第n項之后各項an＋1，an＋2，…的最小值記為Bn，dn＝An－Bn. (1)若{an}為2,1,4,3,2,1,4,3，…，是一個周期為4的數列(即對任意n∈N*，an＋4＝an)，寫出d1，d2，d3，d4的值； (2)設d是非負整數．證明：dn＝－d(n＝1,2,3，…)的充分必要條件為{an}是公差為d的等差數列； (3)證明：若a1＝2，dn＝1(n＝1,2,3，…)，則{an}的項只能是1或者2，

9、且有無窮多項為1. [自主解答]　(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3. (2)證明：(充分性)因為{an}是公差為d的等差數列，且d≥0，所以a1≤a2≤…≤an≤…， 因此An＝an，Bn＝an＋1，dn＝an－an＋1＝－d(n＝1,2,3，…)． (必要性)因為dn＝－d≤0(n＝1,2,3，…)，所以An＝Bn＋dn≤Bn，又an≤An，an＋1≥Bn， 所以an≤an＋1， 于是，An＝an，Bn＝an＋1， 因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d， 即{an}是公差為d的等差數列． (3)證明：因為a1＝2，d1＝1， 所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1

10、＝1. 故對任意n≥1，an≥B1＝1. 假設{an}(n≥2)中存在大于2的項． 設m為滿足am>2的最小正整數， 則m≥2，并且對任意1≤k2. 于是，Bm＝Am－dm>2－1＝1，Bm－1＝min{am，Bm}≥2. 故dm－1＝Am－1－Bm－1≤2－2＝0，與dm－1＝1矛盾． 所以對于任意n≥1，有an≤2，即非負整數列{an}的各項只能為1或2. 因為對任意n≥1，an≤2＝a1， 所以An＝2. 故Bn＝An－dn＝2－1＝1. 因此對于任意正整數n，存在m滿足m>n，且am＝1，即數列{an

11、}有無窮多項為1. 證明(或判斷)數列是等差(比)數列的四種基本方法 (1)定義法：an＋1－an＝d(常數)(n∈N*)?{an}是等差數列；＝q(q是非零常數)?{an}是等比數列； (2)等差(比)中項法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數列；a＝an·an＋2(n∈N*，an≠0)?{an}是等比數列； (3)通項公式法：an＝pn＋q(p，q為常數)?{an}是等差數列；an＝a1·qn－1(其中a1，q為非零常數，n∈N*)?{an}是等比數列． (4)前n項和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數)?{an}是等差數列；Sn＝Aqn－A(

12、A為非零常數，q≠0,1)?{an}是等比數列． 1．已知數列{an}，{bn}滿足：a1＝0，b1＝2 013，且對任意的正整數n，an，an＋1，bn和an＋1，bn＋1，bn均成等差數列． (1)求a2，b2的值； (2)證明：{an－bn}和{an＋2bn}均成等比數列； (3)是否存在唯一的正整數c，使得an

13、， 又a1＋2b1＝4 026≠0，所以，{an＋2bn}是首項為4 026，公比為1的等比數列． (3)由(2)得 解得n∈N*. 顯然，{an}是單調遞增數列，{bn}是單調遞減數列，且an<1 3421 342. 而210＝1 024，212＝4 096， 所以2n－2≥12，n≥7. 即對任意的n∈N*當n≥7時，1 341

14、意的n∈N*，有an

15、自主解答]　(1)設各行依次組成的等差數列的公差是d，各列依次組成的等比數列的公比是q(q>0)， 則a2,3＝qa1,3＝q(1＋2d)?q(1＋2d)＝6， a3,2＝q2a1,2＝q2(1＋d)?q2(1＋d)＝8， 解得d＝1，q＝2.a1,2＝2?an,2＝2×2n－1＝2n. (2)bn＝，則Sn＝＋＋＋…＋， 則Sn＝＋＋＋…＋， 兩式相減得Sn＝＋＋＋…＋－＝1－， 所以Sn＝2－. 若本例(2)中bn＝＋(－1)na1，n，如何求Sn? 解：由例題可知bn＝＋(－1)nn， Sn＝＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]． 設Tn＝＋＋＋…＋， 則Tn

16、＝＋＋＋…＋ 兩式相減得Tn＝＋＋＋…＋－＝1－， 所以Tn＝2－.　　 又－1＋2－3＋…＋(－1)n·n＝ 故Sn＝　 六招解決數列求和問題 (1)轉化法：將數列的項進行分組重組，使之轉化為n個等差數列或等比數列，然后應用公式求和． (2)錯位相減法：(見要點歸納) (3)裂項相消法：(見要點歸納) (4)倒序相加法：(見要點歸納) (5)并項求和法：先將某些項放在一起求和，然后再求Sn. (6)歸納猜想法：通過對S1，S2，S3，…的計算進行歸納分析，尋求規(guī)律，猜想出Sn，然后用數學歸納法給出證明． 2．已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝3

17、，若數列{Sn＋1}是公比為4的等比數列． (1)求數列{an}的通項公式； (2)設bn＝，n∈N*，求數列{bn}的前n項和Tn. 解：(1)由題意知Sn＋1＝(S1＋1)·4n－1＝4n， 所以Sn＝4n－1. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3·4n－1，且a1＝3滿足上式， 所以數列{an}的通項公式為an＝3·4n－1. (2)bn＝＝ ＝， Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋·－＋…＋ ＝＝－. 熱點三 數列與函數、方程的綜合應用 [例3]　(20xx·成都模擬)設函數f(x)＝x2，過點C1(1,0)作x軸的垂線l1交函數f(x)圖像于點A1，以

18、A1為切點作函數f(x)圖像的切線交x軸于點C2，再過C2作x軸的垂線l2交函數f(x)圖像于點A2，…，以此類推得點An，記An的橫坐標為an，n∈N*. (1)證明數列{an}為等比數列，并求出通項公式； (2)設直線ln與函數g(x)＝logx的圖像相交于點Bn，記bn＝n·n(其中O為坐標原點)，求數列{bn}的前n項和Sn. [自主解答]　(1)以點An－1(an－1，a)(n≥2)為切點的切線方程為y－a＝2an－1(x－an－1)． 當y＝0時，得x＝an－1，即an＝an－1. 又∵a1＝1， ∴數列{an}是以1為首項，為公比的等比數列． ∴通項公式為an＝n－

19、1. (2)由題意，得Bn. ∴bn＝n·n＝n－1＋n－1·(n－1)＝nn－1. ∵Sn＝1×0＋2×1＋…＋n×n－1， Sn＝1×1＋2×2＋…＋n×n， 兩式相減，得Sn＝1×0＋1×1＋…＋n－1－n×n＝－n×n， 化簡，得Sn＝－×n＝－. 解決數列與函數、方程的綜合問題的三個轉化方向 (1)函數條件的轉化．直接利用函數與數列的對應關系，把函數解析式中的自變量x換為n即可； (2)方程條件的轉化．一般要根據方程解的有關條件進行轉化； (3)數列向函數的轉化．可將數列中的問題轉化為函數的相應問題求解，但要注意自變量取值范圍的限制．對于數列中的最值、范圍等問

20、題的求解，可轉化為相應函數的單調性或利用方程有解的條件來求解． 3．已知函數f(x)＝(x－1)2，g(x)＝4(x－1)．數列{an}是各項均不為0的等差數列，點(an＋1，S2n－1)在函數f(x)的圖像上；數列{bn}滿足b1＝2，bn≠1，且(bn－bn＋1)·g(bn)＝f(bn)(n∈N*)． (1)求數列{an}的通項公式，并證明數列{bn－1}是等比數列； (2)若數列{cn}滿足cn＝，證明：c1＋c2＋c3＋…＋cn<3. 解：(1)因為點(an＋1，S2n－1)在函數f(x)的圖像上，所以a＝S2n－1. 分別令n＝1，n＝2，得 即解得a1＝1，d＝2(

21、d＝－1舍去)，則an＝2n－1. 由(bn－bn＋1)·g(bn)＝f(bn)，得4(bn－bn＋1)·(bn－1)＝(bn－1)2. 由題意bn≠1，所以4(bn－bn＋1)＝bn－1， 即3(bn－1)＝4(bn＋1－1)，所以＝. 又因為b1＝2，所以b1－1＝1. 所以數列{bn－1}是首項為1，公比為的等比數列． (2)證明：由(1)得bn－1＝n－1. cn＝＝＝. 令Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn， 則Tn＝＋＋＋…＋＋，① Tn＝＋＋＋…＋＋，② ①－②得，Tn＝＋＋＋…＋－＝1＋·－＝2－－＝2－. 所以Tn＝3－，所以c1＋c2＋c3＋…＋cn＝

22、3－<3. 熱點四 數列的實際應用 [例4]　為了加強環(huán)保建設，提高社會效益和經濟效益，長沙市計劃用若干年時間更換一萬輛燃油型公交車．每更換一輛新車，則淘汰一輛舊車，更換的新車為電力型車和混合動力型車．今年初投入了電力型公交車128輛，混合動力型公交車400輛，計劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加50%，混合動力型車每年比上一年多投入a輛． (1)求經過n年，該市被更換的公交車總數S(n)； (2)若該市計劃用7年的時間完成全部更換，求a的最小值． [自主解答]　(1)設an、bn分別為第n年投入的電力型公交車、混合動力型公交車的數量， 依題意知，數列{an}是首項為

23、128，公比為1＋50%＝的等比數列；數列{bn}是首項為400，公差為a的等差數列． 所以數列{an}的前n項和 Sn＝＝256， 數列{bn}的前n項和Tn＝400n＋a. 所以經過n年，該市更換的公交車總數 S(n)＝Sn＋Tn＝256＋400n＋a. (2)若用7年的時間完成全部更換，則S(7)≥10 000， 即256＋400×7＋a≥10 000， 即21a≥3 082， 所以a≥. 又a∈N*，所以a的最小值為147. 求解數列應用題必須明確三點 (1)該應用題屬于哪種數列模型，是等差數列還是等比數列； (2)是求通項問題還是求項數問題，或是求和問題

24、； (3)題目中涉及哪幾個量，這幾個量之間存在什么關系． 4．祖國大陸允許臺灣農民到大陸創(chuàng)業(yè)以來，在11個省區(qū)設立了海峽兩岸農業(yè)合作試驗區(qū)和臺灣農民創(chuàng)業(yè)園，臺灣農民在那里申辦個體工商戶可以享受“綠色通道”的申請、受理、審批一站式服務．某臺商到大陸一創(chuàng)業(yè)園投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經費12萬美元，以后每年增加4萬美元，每年銷售蔬菜收入50萬美元，設f(n)表示前n年的純收入．(f(n)＝前n年的總收入－前n年的總支出－投資額) (1)從第幾年開始該臺商獲利？ (2)若干年后，該臺商為開發(fā)新項目，有兩種處理方案：①年平均利潤最大時以48萬美元出售該廠；②純利潤總和

25、最大時，以16萬美元出售該廠，問哪種方案最合算？ 解：由題意知，每年的經費是以12為首項，4為公差的等差數列． 設純利潤與年數的關系為f(n)， 則f(n)＝50n－－72＝－2n2＋40n－72. (1)獲取純利潤就是要求f(n)>0，故有－2n2＋40n－72>0，解得2