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2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第十一章選修內(nèi)容 11-1 坐標(biāo)系《教案》 1．平面直角坐標(biāo)系 設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮變換． 2．極坐標(biāo)系 (1)極坐標(biāo)與極坐標(biāo)系的概念 在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O，自點(diǎn)O引一條射線Ox，同時(shí)確定一個(gè)長(zhǎng)度單位和計(jì)算角度的正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系．點(diǎn)O稱為極點(diǎn)，射線Ox稱為極軸．平面內(nèi)任一點(diǎn)M的位置可以由線段OM的長(zhǎng)度ρ和從射線Ox到射線OM的角度θ來(lái)刻畫(huà)(如圖所示)．這兩個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)對(duì)(ρ，θ)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo)．ρ稱為點(diǎn)M的極徑，θ稱為點(diǎn)M的極角．由極徑的意義可知ρ≥0.當(dāng)極角θ的取值范圍是[0,2π)時(shí)，平面上的點(diǎn)(除去極點(diǎn))就與極坐標(biāo)(ρ，θ) (ρ≠0)建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．我們?cè)O(shè)定，極點(diǎn)的極坐標(biāo)中，極徑ρ＝0，極角θ可取任意角． (2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 設(shè)M為平面內(nèi)的一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)為(x，y)，極坐標(biāo)為(ρ，θ)．由圖可知下面關(guān)系式成立： 或. 這就是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式． 3．常見(jiàn)曲線的極坐標(biāo)方程 曲線 圖形 極坐標(biāo)方程 圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓 ρ＝r(0≤θ<2π) 圓心為(r,0)，半徑為r的圓 ρ＝2rcos_θ(－≤θ<) 圓心為(r，)，半徑為r的圓 ρ＝2rsin_θ(0≤θ<π) 過(guò)極點(diǎn)，傾斜角為α的直線 θ＝α(ρ∈R) 或θ＝π＋α(ρ∈R) 過(guò)點(diǎn)(a,0)，與極軸垂直的直線 ρcos θ＝a(－<θ<) 過(guò)點(diǎn)(a，)，與極軸平行的直線 ρsin_θ＝a(0<θ<π) 1．求在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)(2，)且與極軸平行的直線方程． 解　點(diǎn)(2，)在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(2cos ，2sin )，即(0,2)． ∴過(guò)點(diǎn)(0,2)且與x軸平行的直線方程為y＝2. 即為ρsin θ＝2. 2．在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)分別為(3，)、(4，)，求△AOB(其中O為極點(diǎn))的面積． 解　由題意知A、B的極坐標(biāo)分別為(3，)、(4，)，則△AOB的面積S△AOB＝OAOBsin∠AOB＝34sin ＝3. 3．在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓ρ＝4sin θ和直線ρsin θ＝a相交于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)△AOB是等邊三角形時(shí)，求a的值． 解　由ρ＝4sin θ可得x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4. 由ρsin θ＝a可得y＝a. 設(shè)圓的圓心為O′，y＝a與x2＋(y－2)2＝4的兩交點(diǎn)A，B與O構(gòu)成等邊三角形，如圖所示． 由對(duì)稱性知∠O′OB＝30，OD＝a. 在Rt△DOB中，易求DB＝a， ∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，a)． 又∵B在x2＋y2－4y＝0上，∴(a)2＋a2－4a＝0， 即a2－4a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝3. 題型一　極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 例1　(1)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求線段y＝1－x(0≤x≤1)的極坐標(biāo)方程． (2)在極坐標(biāo)系中，曲線C1和C2的方程分別為ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線C1和C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)． 解　(1)∵ ∴y＝1－x化成極坐標(biāo)方程為ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρ＝. ∵0≤x≤1，∴線段在第一象限內(nèi)(含端點(diǎn))， ∴0≤θ≤. (2)因?yàn)閤＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由ρsin2θ＝cos θ，得ρ2sin2θ＝ρcos θ，所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程為y2＝x.由ρsin θ＝1，得曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y＝1.由得故曲線C1與曲線C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,1)． 思維升華　(1)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的前提條件：①極點(diǎn)與原點(diǎn)重合；②極軸與x軸的正半軸重合；③取相同的單位長(zhǎng)度．(2)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程比較容易，只要運(yùn)用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化簡(jiǎn)即可；而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程則相對(duì)困難一些，解此類問(wèn)題常通過(guò)變形，構(gòu)造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，進(jìn)行整體代換． 　(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線C的極坐標(biāo)方程． (2)求在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝2cos θ垂直于極軸的兩條切線方程． 解　(1)將x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入x2＋y2－2x＝0，得ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ. (2)由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于x軸的兩條切線方程為x＝0和x＝2，相應(yīng)的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2. 題型二　求曲線的極坐標(biāo)方程 例2　將圓x2＋y2＝1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得曲線C. (1)寫(xiě)出曲線C的方程； (2)設(shè)直線l：2x＋y－2＝0與C的交點(diǎn)為P1，P2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過(guò)線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程． 解　(1)設(shè)(x1，y1)為圓上的點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(diǎn)(x，y)，依題意，得 由x＋y＝1得x2＋()2＝1， 即曲線C的方程為x2＋＝1. (2)由解得或 不妨設(shè)P1(1,0)，P2(0,2)，則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，1)，所求直線斜率為k＝， 于是所求直線方程為y－1＝(x－)， 化為極坐標(biāo)方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝. 思維升華　求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P(ρ，θ)是曲線上任意一點(diǎn)；(2)由曲線上的點(diǎn)所適合的條件，列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑ρ和極角θ之間的關(guān)系式；(3)將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡(jiǎn)，得出曲線的極坐標(biāo)方程． 　在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(，)，圓心為直線ρsin＝－與極軸的交點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程． 解　在ρsin＝－中， 令θ＝0，得ρ＝1， 所以圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)． 如圖所示，因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)點(diǎn) P， 所以圓C的半徑 PC＝ ＝1， 于是圓C過(guò)極點(diǎn)，所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ. 題型三　極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 例3　(xx課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程； (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求△C2MN的面積． 解　(1)因?yàn)閤＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝－2， C2的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)將θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0， 得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝. 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝. 由于C2的半徑為1，所以△C2MN為等腰直角三角形， 所以△C2MN的面積為. 思維升華　(1)已知極坐標(biāo)系方程討論位置關(guān)系時(shí)，可以先化為直角坐標(biāo)方程；(2)在曲線的方程進(jìn)行互化時(shí)，一定要注意變量的范圍，注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性． 　(xx廣州調(diào)研)在極坐標(biāo)系中，求直線ρsin(θ＋)＝2被圓ρ＝4截得的弦長(zhǎng)． 解　由ρsin(θ＋)＝2，得(ρsin θ＋ρcos θ)＝2可化為x＋y－2＝0.圓ρ＝4可化為x2＋y2＝16，由圓中的弦長(zhǎng)公式得：2＝2＝4.故所求弦長(zhǎng)為4. 在用方程解決直線、圓和圓錐曲線的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，有助于對(duì)方程所表示的曲線的認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到化陌生為熟悉的目的，這是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用． A組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：50分鐘) 1．(xx廣東)已知直線l的極坐標(biāo)方程為2ρsin＝，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，求點(diǎn)A到直線l的距離． 解　依題可知直線l：2ρsin＝和點(diǎn)A可化為l：x－y＋1＝0和A(2，－2)，所以點(diǎn)A到直線l的距離為d＝＝. 2．在極坐標(biāo)系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲線ρ(cos θ＋sin θ)＝1與ρ(sin θ－cos θ)＝1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)． 解　曲線ρ(cos θ＋sin θ)＝1化為直角坐標(biāo)方程為x＋y＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1化為直角坐標(biāo)方程為y－x＝1.聯(lián)立方程組得則交點(diǎn)為(0,1)，對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為. 3．在極坐標(biāo)系中，已知圓ρ＝3cos θ與直線2ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求實(shí)數(shù)a的值． 解　圓ρ＝3cos θ的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝3x， 即2＋y2＝， 直線2ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0的直角坐標(biāo)方程為2x＋4y＋a＝0. 因?yàn)閳A與直線相切，所以＝， 解得a＝－33. 4．在極坐標(biāo)系中，求曲線ρ＝2cos θ關(guān)于直線θ＝對(duì)稱的曲線的極坐標(biāo)方程． 解　以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸建立直角坐標(biāo)系， 則曲線ρ＝2cos θ的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1， 且圓心為(1,0)． 直線θ＝的直角坐標(biāo)方程為y＝x， 因?yàn)閳A心(1,0)關(guān)于y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(0,1)， 所以圓(x－1)2＋y2＝1關(guān)于y＝x的對(duì)稱曲線為x2＋(y－1)2＝1. 所以曲線ρ＝2cos θ關(guān)于直線θ＝對(duì)稱的曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ. 5．在極坐標(biāo)系中，P是曲線C1：ρ＝12sin θ上的動(dòng)點(diǎn)，Q是曲線C2：ρ＝12cos(θ－)上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ的最大值． 解　對(duì)曲線C1的極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化： ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x2＋y2－12y＝0， 即x2＋(y－6)2＝36. 對(duì)曲線C2的極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化： ∵ρ＝12cos(θ－)， ∴ρ2＝12ρ(cos θcos＋sin θsin)， ∴x2＋y2－6x－6y＝0， ∴(x－3)2＋(y－3)2＝36， ∴PQmax＝6＋6＋＝18. 6．在極坐標(biāo)系中，O是極點(diǎn)，設(shè)A(4，)，B(5，－)，求△AOB的面積． 解　如圖所示，∠AOB＝2π－－＝， OA＝4，OB＝5， 故S△AOB＝45sin ＝5. B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：30分鐘) 7．已知P(5，)，O為極點(diǎn)，求使△POP′為正三角形的點(diǎn)P′的坐標(biāo)． 解　設(shè)P′點(diǎn)的極坐標(biāo)為(ρ，θ)． ∵△POP′為正三角形，如圖所示， ∴∠POP′＝. ∴θ＝－＝或θ＝＋＝π. 又ρ＝5，∴P′點(diǎn)的極坐標(biāo)為(5，)或(5，π)． 8．在極坐標(biāo)系中，判斷直線ρcos θ－ρsin θ＋1＝0與圓ρ＝2sin θ的位置關(guān)系． 解　直線ρcos θ－ρsin θ＋1＝0可化成x－y＋1＝0，圓ρ＝2sin θ可化為x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1.圓心(0,1)到直線x－y＋1＝0的距離d＝＝0<1.故直線與圓相交． 9．在極坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)M、N(2,0)、P. (1)將M、N、P三點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)； (2)判斷M、N、P三點(diǎn)是否在一條直線上． 解　(1)由公式得M的直角坐標(biāo)為(1，－)； N的直角坐標(biāo)為(2,0)；P的直角坐標(biāo)為(3，)． (2)∵kMN＝＝，kNP＝＝. ∴kMN＝kNP，∴M、N、P三點(diǎn)在一條直線上． 10．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ－)＝1，M，N分別為C與x軸、y軸的交點(diǎn)． (1)寫(xiě)出C的直角坐標(biāo)方程，并求M、N的極坐標(biāo)； (2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程． 解　(1)由ρcos(θ－)＝1 得ρ(cos θ＋sin θ)＝1. 從而C的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝1， 即x＋y＝2. 當(dāng)θ＝0時(shí)，ρ＝2，所以M(2,0)． 當(dāng)θ＝時(shí)，ρ＝，所以N(，)． (2)M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,0)． N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0，)． 所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1，)． 則P點(diǎn)的極坐標(biāo)為(，)， 所以直線OP的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)．