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2019-2020年人教A版高中數(shù)學必修五第三章3-1《不等關系與不等式》（第2課時）《教案》 一、教學目標： 1．知識與技能：通過具體情景，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量不等關系，理解不等式（組）的實際背景，掌握不等式的基本性質(zhì)，會用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式． 2．過程與方法：通過解決具體問題，學會依據(jù)具體問題的實際背景分析問題、解決問題的方法． 3．情感、態(tài)度與價值觀：通過解決具體問題，體會數(shù)學在生活中的重要作用，培養(yǎng)嚴謹?shù)乃季S習慣． 二、重難點： 重點：掌握不等式的性質(zhì)和利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式． 難點：利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式 三、教學模式與教法、學法 教學模式 ：本課采用“探究——發(fā)現(xiàn)”教學模式． 教師的教法：利用多媒體輔助教學，突出活動的組織設計與方法的引導． “抓三線”，即(一)知識技能線（二）過程與方法線（三）能力線. “抓兩點”,即一抓學生情感和思維的興奮點，二抓知識的切入點. 學法：突出探究、發(fā)現(xiàn)與交流． 四、教學過程 教學環(huán)節(jié) 教學內(nèi)容 師生活動 設計意圖 復習舊知識，引入新知 歸納抽象形成概念 比較分析，深化認識 一、溫故知新， 1．同向不等式、異向不等式的概念： 同向不等式：如：與；與． 異向不等式：如：與． 2．數(shù)運算性質(zhì)與大小順序之間的關系： ； ； ． 問題1.我們已學習過等式、不等式，同學們還記得等式的性質(zhì)嗎？ 回顧知識，提出問題，激發(fā)學生學習的興趣。 學生；等式有這樣的性質(zhì)：等式兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以（除數(shù)不為零）同一個數(shù)，所得到的仍是等式. 由復習引入，通過數(shù)學知識的內(nèi)部發(fā)現(xiàn)問題。 二、知識探究： 性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或都減去）同一個數(shù)，不等號的方向_________. 性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個正數(shù)，不等號的方向________.（ 性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個負數(shù)，不等號的方向________. 師 不等式的這三條基本性質(zhì)，都可以用數(shù)學的符號語言表達出來.（讓三位同學板演） 性質(zhì)1：a＜ba+c＜b+c（或a-c＜b-c）；a＞ba+c＞b+c（或a-c＞b-c）. 性質(zhì)2：a＜b且c＞0ac＜bc(或)；a＞b且c＞0ac＞bc(或). 性質(zhì)3：a＜b且c＜0ac＞bc(或)；a＞b且c＜0ac＜bc(或). （用數(shù)學符號表達不等式的性質(zhì)，目的是為下面用符號進行不等式性質(zhì)與證明打基礎，給學生也有一適應過程.老師對學生的板演作點評） 師 性質(zhì)2、性質(zhì)3兩條性質(zhì)中，對a、b、c有什么要求？ 教師精講；師 若點Ａ對應的實數(shù)為a，點Ｂ對應的實數(shù)為b，因為點Ａ在點Ｂ的左邊，所以可得a＞b.a＞b表示a減去b所得的差是一個大于０的數(shù)即正數(shù)，即a＞ba-b＞0.它的逆命題是否正確？ 師 類似地，如果a＜b，則a減去b是負數(shù)，如果a=b，則a減去b等于０，它們的逆命題也正確.一般地, a＞ba-b＞0;a=ba-b=0;a＜ba-b＜0. 師 這就是實數(shù)的基本性質(zhì)的一部分，還有任意兩個正數(shù)的和與積都是正數(shù)等.等價符號左邊不等式反映的是實數(shù)的大小順序，右邊不等式反映的則是實數(shù)的運算性質(zhì)，合起來就成為實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序之間的關系，它是不等式這一章的理論基礎，是證明不等式以及解不等式的主要依據(jù). 讓學生主動觀察、思考、討論的氛圍.在教師的指導下，一方面讓學生經(jīng)歷從特殊到一般，從已知到未知，步步深入的過程，讓學生自己感受生活中的不等關系，體會數(shù)學化的過程。 生 對a、b沒什么要求，特別要注意c是正數(shù)還是負數(shù). 培養(yǎng)學生分析，抽象能力、感受等比數(shù)列發(fā)現(xiàn)和推導過程。 培養(yǎng)學生善于聯(lián)想，體會知識間的內(nèi)在聯(lián)系，從而加深對等差數(shù)列及其性質(zhì)的理解。 三、典例分析： 【例1】 比較下列各組數(shù)的大?。╝≠b）. (1)與 (a＞0,b＞0); （2）a4－b4與4a3（a－b）. 師 比較兩個實數(shù)的大小，常根據(jù)實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關系，歸結為判斷它們的差的符號來確定. 師 同學們完成得很好，證明不等式時，應注意有理有據(jù)、嚴謹細致，還應條理清晰.比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”，也可兩者并用. 【問題2】 求證：（1）a＞b且c＞0ac＞bc； （2）a＞ba+c＞b+c. 師 請同學們思考第一小問該如何證明？ 師 這位同學證明的思路很好，很嚴密.同學們還有其他的證明思路嗎？ （按照教材對不等式的證明要求，此處對不等式證明的分析法與綜合法沒有點明，只是讓學生通過具體的問題了解不等式證明的分析法與綜合法的證題思路） 【問題3】已知a＞b＞0,c＜0，求證：. 師 前面我們已經(jīng)利用不等式及實數(shù)的基本性質(zhì)證明了一些簡單的不等式.請同學思考此該如何證明？ 引導學生共同分析解決問題，熟悉并強化理解。 解：（1）， ∵a＞0,b＞0且a≠b,∴a+b＞0,(a-b)2＞0. ∴.（2）a4-b4-4a3(a-b) =(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b) =(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3) =(a-b)［(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)］ =-(a-b)2(3a2+2ab+b2) =-(a-b)2［2a2+(a+b)2］, ∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號), 又a≠b,∴(a-b)2＞0,2a2+(a+b)2＞0. ∴-(a-b)2［2a2+(a+b)2］＜0. ∴a4-b4＜4a3(a-b). 例題2. 生 可用實數(shù)的基本性質(zhì)，∵a＞b,∴a-b＞0.又∵c＞0，由任意兩個正數(shù)的積都是正數(shù)可得(a-b)c＞0，即ac＞bc. 例題3.生 可由條件到結論.∵a＞b＞0，兩邊同乘以正數(shù)，得＞，即＜b.又∵c＜0，∴. 課堂練習 1.已知x＞y＞z＞0，求證：. 分析：證明簡單不等式常依據(jù)實數(shù)的基本性質(zhì)及直接運用不等式的基本性質(zhì)及推論，也可作差比較. 證明：∵x＞y,∴x-y＞0.∴. 又y＞z,∴.① ∵y＞z,∴-y＜-z.∴x-y＜x-z. ∴0＜x-y＜x-z.∴. 又z＞0,∴.② 由①②得. 2.試判斷下列各對整式的大?。?1)m2-2m+5和－2m+5；(2)a2-4a+3和－4a+1. 點撥：根據(jù)不等式的性質(zhì)1，我們可以得到另一種比較兩個數(shù)(或代數(shù)式)的大小的方法： 若A－B＞0，則A＞B；若A－B=0，則A=B；若A－B＜0，則A＜B. 這種比較大小的方法，稱為“作差比較法”，簡稱“比差法”.本例就可以用這種方法. 學生分組討論自主探究，教師巡視指導，作出評價。 1.小結：運用性質(zhì)證明不等式時，應注意有理有據(jù)，嚴謹細致，還應條理清晰.上述的證明方法采用的證明思路是由條件到結論，也可采用由結論到條件的證明思路去證明，請同學們不妨嘗試一下. 2.解：(1)∵（m2-2m+5）-(-2m+5)=m2-2m+5+2m-5 =m2，∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0. ∴m2-2m+5≥-2m+5. (2)∵(a2-4a+3)-(-4a+1) =a2-4a+3+4a-1=a2+2, ∵a2≥0，∴a2+2≥2＞0. ∴a2-4a+3＞-4a+1. 引導學生通過自主分析思考、合作交流解決問題，培養(yǎng)良好的學習習慣和能力。 五、課堂小結： 常用的不等式的基本性質(zhì)及證明： （1）a＞b,b＞c a＞c; a＞b,b＞c a-b＞0,b-c＞0 (a-b)+(b-c)＞0a-c＞0a＞c. （2）a＞ba+c＞b+c; a＞ba-b＞0 (a-b)+(c-c)＞0 (a+c)-(b+c)＞0a+c＞b+c. （3）a＞b,c＞0ac＞bc; a＞b,c＞0a-b＞0,c＞0 (a-b)c＞0ac-bc＞0ac＞bc. （4）a＞b,c＜0ac＜bc. a＞b,c＜0a-b＞0,c＜0 (a-b)c＜0ac-bc＜0ac＜bc. 引導學生學會自己總結，讓學生進一步體會知識的形成、發(fā)展、完善的過程. 課后作業(yè) 1.課本P75 習題3.1 B組 第1\、2、3、4題 2. 配套練習 學生課后完成. 進一步對所學知識鞏固深化。 .