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2019-2020年人教B版高中數(shù)學選修1-2 2-2-1 綜合法和分析法 教案 一、教學目標 1、知識目標： （1）結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法； （2）通過本節(jié)內(nèi)容的學習了解分析法和綜合法的思考過程、特點； 2、能力目標： 學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，提高嚴謹?shù)膽B(tài)度能力。 3、情感、態(tài)度與價值觀目標： （3）增強學生的數(shù)學應用意識，提高學生數(shù)學思維的情趣，給學生成功的體驗，形成學習數(shù)學知識、了解數(shù)學文化的積極態(tài)度。 二、教學重點.難點 教學重點：分析法和綜合法的思考過程； 教學難點：分析法和綜合法的思考過程、特點． 三、學情分析 合情推理分歸納推理和類比推理，所得的結(jié)論的正確性是要證明的。數(shù)學結(jié)論的正確性必須通過邏輯推理的方式加以證明。本節(jié)我們將學習兩類基本的證明方法：直接證明與間接證明。 四、教學方法 啟發(fā)發(fā)現(xiàn)法、課堂討論法。 教具：多媒體、黑板、圓規(guī)、三角板。 五、教學過程 教學過程： 探究一：在數(shù)學證明中，我們經(jīng)常從已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等出發(fā)，通過推理推導出所要的結(jié)論。例如： 已知a,b>0,求證 教師活動：給出以上問題，讓學生思考應該如何證明，引導學生應用不等式證明。教師最后歸結(jié)證明方法。 學生活動：充分討論，思考，找出以上問題的證明方法 證明:因為， 所以。 因為， 所以。 因此 。 一般地，利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結(jié)論成立，這種方法叫做綜合法。 探究二：證明數(shù)學命題時，還經(jīng)常從要證的結(jié)論 Q 出發(fā)，反推回去，尋求保證 Q 成立的條件，即使Q成立的充分條件P1，為了證明P1成立，再去尋求P1成立的充分條件P2，為了證明P2成立，再去尋求P2成立的充分條件P3，…… 直到找到一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止。 例如：基本不等式 （a>0，b>0）的證明就用了上述方法。 要證 ， 只需證 ， 只需證 ， 只需證 由于顯然成立，因此原不等式成立。 一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止。這種方法叫做分析法。 （三）、分析歸納，抽象概括 用P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示要證明的結(jié)論，則綜合法可表示為： 綜合法的特點是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法。 分析法可表示為： 分析法的特點是：執(zhí)果索因 知識應用，深化理解 例1、在△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為,且A,B,C成等差數(shù)列, 成等比數(shù)列,求證△ABC為等邊三角形. 分析：將 A , B , C 成等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號語言就是2B =A + C; A , B , C為△ABC的內(nèi)角，這是一個隱含條件，明確表示出來是A + B + C =； a , b，c成等比數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號語言就是．此時，如果能把角和邊統(tǒng)一起來，那么就可以進一步尋找角和邊之間的關(guān)系，進而判斷三角形的形狀，余弦定理正好滿足要求．于是，可以用余弦定理為工具進行證明． 證明：由 A, B, C成等差數(shù)列，有 2B=A + C ． ① 因為A,B,C為△ABC的內(nèi)角，所以 A + B + C=． ② 由①② ，得 B=． ③ 由a, b，c成等比數(shù)列，有 ． ④ 由余弦定理及③，可得 ． 再由④，得 ． 即 ， 因此 ． 從而 A=C． 由②③⑤，得 A=B=C=． 所以△ABC為等邊三角形． 注：解決數(shù)學問題時，往往要先作語言的轉(zhuǎn)換，如把文字語言轉(zhuǎn)換成符號語言，或把符號語言轉(zhuǎn)換成圖形語言等．還要通過細致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來． 例2、求證。 分析：從待證不等式不易發(fā)現(xiàn)證明的出發(fā)點，因此我們直接從待證不等式出發(fā)，分析其成立的充分條件。 證明：因為都是正數(shù)，所以為了證明 ， 只需明 ， 展開得 ， 只需證 ， 因為成立，所以 成立。 在本例中，如果我們從“21〈25”出發(fā)，逐步倒推回去，就可以用綜合法證出結(jié)論。但由于我們很難想到從“21<25”入手，所以用綜合法比較困難。 事實上，在解決問題時，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q‘；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論 P‘．若由P‘可以推出Q‘成立，就可以證明結(jié)論成立．下面來看一個例子． 例3 、已知，且 ① ② 求證：。 分析：比較已知條件和結(jié)論，發(fā)現(xiàn)結(jié)論中沒有出現(xiàn)角，因此第一步工作可以從已知條件中消去。觀察已知條件的結(jié)構(gòu)特點，發(fā)現(xiàn)其中蘊含數(shù)量關(guān)系，于是，由 ①2一2② 得．把與結(jié)論相比較，發(fā)現(xiàn)角相同，但函數(shù)名稱不同，于是嘗試轉(zhuǎn)化結(jié)論：統(tǒng)一函數(shù)名稱，即把正切函數(shù)化為正（余）弦函數(shù)．把結(jié)論轉(zhuǎn)化為 ,再與比較，發(fā)現(xiàn)只要把 中的角的余弦轉(zhuǎn)化為正弦，就能達到目的． 證明：因為，所以將 ① ② 代入，可得 . ③ 另一方面，要證 ， 即證 ， 即證 ， 即證 ， 即證 。 由于上式與③相同，于是問題得證。 六、當堂檢測 1、已知，則 ( ) A．P是q的充分而不必要條件 B．P是q的必要而不充分條件 C．P是q的充要條件 D．P是q的既不充分也不必要條件 2、命題：函數(shù)在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)“的證明過程”對函數(shù)求導得當x∈（0，1）時，故函數(shù)在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)：應用了 的證明方法. 3、在平面外，=P,,.求證：P,Q,R三點共線. 4、求證：. 設(shè)計意圖：目的是讓學生學會用數(shù)學的眼光去看待物理模型，建立各學科之間的聯(lián)系，更深刻地把握事物變化的規(guī)律。 七、課堂小結(jié) 1.知識建構(gòu) 2.能力提高 3.課堂體驗 八、課時練與測 九、教學反思