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2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修二教案：2-3-2 平面與平面垂直的判定 項(xiàng)目 內(nèi)容 課題 2.3.2 平面與平面垂直的判定 （1課時(shí)） 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標(biāo) 1.探究平面與平面垂直的判定定理，二面角的定義及應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力. 2.掌握平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力. 3.引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)求二面角的方法,培養(yǎng)學(xué)生歸納問(wèn)題的能力. 教學(xué)重、 難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):平面與平面垂直判定. 教學(xué)難點(diǎn):平面與平面垂直判定和求二面角. 教學(xué) 準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí) 兩平面的位置關(guān)系： （1）如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則兩平面平行若α∩β=,則α∥β. （2）如果兩個(gè)平面有一條公共直線，則兩平面相交若α∩β=AB,則α與β相交. 兩平面平行與相交的圖形表示如圖1. 圖1 導(dǎo)入新課 前邊舉過(guò)門和墻所在平面的關(guān)系，隨著門的開(kāi)啟，其所在平面與墻所在平面的相交程度在變，怎樣描述這種變化呢？今天我們一起來(lái)探究?jī)蓚€(gè)平面所成角問(wèn)題. 提出問(wèn)題 ①二面角的有關(guān)概念、畫法及表示方法. ②二面角的平面角的概念. ③兩個(gè)平面垂直的定義. ④用三種語(yǔ)言描述平面與平面垂直的判定定理，并給出證明. ⑤應(yīng)用面面垂直的判定定理難點(diǎn)在哪里？ 討論結(jié)果：①二面角的有關(guān)概念. 二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫二面角的面. 二面角常用直立式和平臥式兩種畫法：如圖2（教師和學(xué)生共同動(dòng)手）. 直立式： 平臥式： (1) (2) 圖2 二面角的表示方法：如圖3中，棱為AB，面為α、β的二面角，記作二面角α-AB-β.有時(shí)為了方便也可在α、β內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點(diǎn)P、Q，將這個(gè)二面角記作二面角P-AB-Q. 圖3 如果棱為l，則這個(gè)二面角記作αlβ或PlQ. ②二面角的平面角的概念. 如圖4,在二面角αlβ的棱上任取點(diǎn)O，以O(shè)為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB組成∠AOB. 圖4 再取棱上另一點(diǎn)O′，在α和β內(nèi)分別作l的垂線O′A′和O′B′，則它們組成角∠A′O′B′. 因?yàn)镺A∥O′A′,OB∥O′B′，所以∠AOB及∠A′O′B′的兩邊分別平行且方向相同, 即∠AOB=∠A′O′B′. 從上述結(jié)論說(shuō)明了：按照上述方法作出的角的大小，與角的頂點(diǎn)在棱上的位置無(wú)關(guān). 由此結(jié)果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角. 圖中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角αlβ的平面角. ③直二面角的定義. 二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 教室的墻面與地面，一個(gè)正方體中每相鄰的兩個(gè)面、課桌的側(cè)面與地面都是互相垂直的. 兩個(gè)平面互相垂直的概念和平面幾何里兩條直線互相垂直的概念相類似，也是用它們所成的角為直角來(lái)定義，二面角既可以為銳角，也可以為鈍角，特殊情形又可以為直角. 兩個(gè)平面互相垂直的定義可表述為： 如果兩個(gè)相交平面所成的二面角為直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直. 直二面角的畫法：如圖5. 圖5 ④兩個(gè)平面垂直的判定定理. 如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直. 兩個(gè)平面垂直的判定定理符號(hào)表述為：α⊥β. 兩個(gè)平面垂直的判定定理圖形表述為：如圖6. 圖6 證明如下： 已知AB⊥β，AB∩β=B，ABα. 求證：α⊥β. 分析：要證α⊥β,需證α和β構(gòu)成的二面角是直二面角，而要證明一個(gè)二面角是直二面角，需找到其中一個(gè)平面角，并證明這個(gè)二面角的平面角是直角. 證明：設(shè)α∩β=CD，則由ABα,知AB、CD共面. ∵AB⊥β，CDβ,∴AB⊥CD，垂足為點(diǎn)B. 在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作直線BE⊥CD, 則∠ABE是二面角αCDβ的平面角. 又AB⊥BE，即二面角αCDβ是直二面角, ∴α⊥β. ⑤應(yīng)用面面垂直的判定定理難點(diǎn)在于：在一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的垂線,即要證面面垂直轉(zhuǎn)化為證線線垂直. 應(yīng)用示例 例1 如圖7,⊙O在平面α內(nèi)，AB是⊙O的直徑，PA⊥α，C為圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn). 圖7 求證：平面PAC⊥平面PBC. 證明：設(shè)⊙O所在平面為α,由已知條件，PA⊥α,BCα,∴PA⊥BC. ∵C為圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn),AB是⊙O的直徑, ∴BC⊥AC. 又∵PA與AC是△PAC所在平面內(nèi)的兩條相交直線， ∴BC⊥平面PAC. ∵BC平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC. 變式訓(xùn)練 如圖8，把等腰Rt△ABC沿斜邊AB旋轉(zhuǎn)至△ABD的位置，使CD=AC， 圖8 （1）求證：平面ABD⊥平面ABC； （2）求二面角CBDA的余弦值. （1）證明：由題設(shè),知AD=CD=BD, 作DO⊥平面ABC，O為垂足，則OA=OB=OC. ∴O是△ABC的外心，即AB的中點(diǎn). ∴O∈AB，即O∈平面ABD. ∴OD平面ABD. ∴平面ABD⊥平面ABC. （2）解:取BD的中點(diǎn)E，連接CE、OE、OC, ∵△BCD為正三角形，∴CE⊥BD. 又△BOD為等腰直角三角形,∴OE⊥BD. ∴∠OEC為二面角CBDA的平面角. 同（1）可證OC⊥平面ABD. ∴OC⊥OE.∴△COE為直角三角形. 設(shè)BC=a，則CE=，OE=，∴cos∠OEC=. 點(diǎn)評(píng)：欲證面面垂直關(guān)鍵在于在一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的垂線. 例2 如圖9所示，河堤斜面與水平面所成二面角為60，堤面上有一條直道CD，它與堤角的水平線AB的夾角為30，沿這條直道從堤腳向上行走到10 m時(shí)人升高了多少？（精確到0.1 m） 圖9 解：取CD上一點(diǎn)E，設(shè)CE=10 m，過(guò)點(diǎn)E作直線AB所在的水平面的垂線EG，垂足為G，則線段EG的長(zhǎng)就是所求的高度. 在河堤斜面內(nèi)，作EF⊥AB，垂足為F，并連接FG, 則FG⊥AB,即∠EFG就是河堤斜面與水平面ABG所成二面角的平面角, ∠EFG=60,由此,得EG=EFsin60=CEsin30sin60=10≈4.3（m）. 答：沿直道行走到10 m時(shí)人升高約4.3 m. 變式訓(xùn)練 已知二面角αABβ等于45，CDα，D∈AB，∠CDB=45. 求CD與平面β所成的角. 解：如圖10，作CO⊥β交β于點(diǎn)O，連接DO，則∠CDO為DC與β所成的角. 圖10 過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于E，連接CE，則CE⊥AB. ∴∠CEO為二面角αABβ的平面角， 即∠CEO=45.設(shè)CD=a,則CE=,∵CO⊥OE，OC=OE， ∴CO=.∵CO⊥DO,∴sin∠CDO=. ∴∠CDO=30,即DC與β成30角. 點(diǎn)評(píng)：二面角是本節(jié)的另一個(gè)重點(diǎn)，作二面角的平面角最常用的方法是：在一個(gè)半平面α內(nèi)找一點(diǎn)C，作另一個(gè)半平面β的垂線，垂足為O,然后通過(guò)垂足O作棱AB的垂線，垂足為E,連接AE,則∠CEO為二面角α-AB-β的平面角.這一過(guò)程要求學(xué)生熟記. 課堂小結(jié) 知識(shí)總結(jié)：利用面面垂直的判定定理找出平面的垂線，然后解決證明垂直問(wèn)題、平行問(wèn)題、求角問(wèn)題、求距離問(wèn)題等. 思想方法總結(jié)：轉(zhuǎn)化思想，即把面面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面關(guān)系，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題. 作業(yè) 課本習(xí)題2.3 A組1、2、3. 板書設(shè)計(jì) 教學(xué)反思