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專題一 第一講 思想方法概述 應(yīng)用角度例析 通法歸納領(lǐng)悟 專題專項訓(xùn)練 角度一 角度二 角度三 角度四 角度五 1 函數(shù)與方程思想的含義 1 函數(shù)的思想 函數(shù)的思想 是用運動和變化的觀點 分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系 是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識 建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù) 運用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題 轉(zhuǎn)化問題 從而使問題獲得解決 經(jīng)常利用的性質(zhì)是單調(diào)性 奇偶性 周期性 最大值和最小值 圖像變換等 2 方程的思想 方程的思想 就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系 建立方程或方程組 或者構(gòu)造方程 通過解方程或方程組 或者運用方程的性質(zhì)去分析 轉(zhuǎn)化問題 使問題得以解決 方程的教學(xué)是對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識 用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題 方程思想是動中求靜 研究運動中的等量關(guān)系 2 函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)系函數(shù)思想與方程思想是密切相關(guān)的 如函數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為方程問題來解決 方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題加以解決 如解方程f x 0 就是求函數(shù)y f x 的零點 解不等式f x 0 或f x 0 就是求函數(shù)y f x 的正 或負(fù) 區(qū)間 再如方程f x g x 的解的問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y f x 與y g x 的交點問題 也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y f x g x 與x軸的交點問題 方程f x a有解 當(dāng)且僅當(dāng)a屬于函數(shù)f x 的值域 函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要 函數(shù)與方程思想在求最值及參數(shù)范圍中的應(yīng)用 答案 D 1 求字母 式子 的值的問題往往要根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建以待求字母 式子 為元的方程 組 然后解方程 組 求得 2 求參數(shù)的取值范圍是函數(shù) 方程 不等式 數(shù)列 解析幾何等問題中的重要問題 解決這類問題一般有兩種途徑 其一 充分挖掘題設(shè)條件中的不等關(guān)系 構(gòu)建以待求字母為元的不等式 組 求解 其二 充分應(yīng)用題設(shè)中的等量關(guān)系 將待求參數(shù)表示成其他變量的函數(shù) 然后 應(yīng)用函數(shù)知識求值域 3 當(dāng)問題中出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時 是構(gòu)建一元二次方程的明顯信息 構(gòu)造方程后再利用方程知識可使問題巧妙解決 4 當(dāng)問題中出現(xiàn)多個變量時 往往要利用等量關(guān)系減少變量的個數(shù) 如果最后能把其中一個變量表示成關(guān)于另一個變量的表達(dá)式 那么就可用研究函數(shù)的方法將問題解決 函數(shù)與方程思想在解決函數(shù)圖像交點及方程根等問題中的應(yīng)用 答案 B 函數(shù)圖像的交點問題轉(zhuǎn)化為方程的根的問題是重要的方程思想 同時方程根的判斷問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題又是重要的函數(shù)思想 在解決此類問題時要注意靈活應(yīng)用 2 方程x3 6x2 9x 10 0的實根的個數(shù)為 A 0B 1C 2D 3解析 選令f x x3 6x2 9x 10 則f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 當(dāng)x 1 和 3 時 f x 0 f x 是增函數(shù) 當(dāng)x 1 3 時 f x 0 f x 是減函數(shù) 又f 1 6 f 3 10 f 5 10 故y f x 有且僅有一個零點 即原方程有且僅有一個實數(shù)根 B 答案 1 函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用 此類問題常根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù) 通過研究函數(shù)的單調(diào)性解決問題 在解決不等式恒成立問題時 一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù) 利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)解決問題 同時要注意在一個含多個變量的數(shù)學(xué)問題中 需要確定合適的變量和參數(shù) 從而揭示函數(shù)關(guān)系 使問題更明朗化 一般地 已知存在范圍的量為變量 而待求范圍的量為參數(shù) 5 已知不等式7x 2 x2 1 m對m 2 2 恒成立 求實數(shù)x的取值范圍 函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用 答案 C 1 等差 比 數(shù)列中各有5個基本量 建立方程組可 知三求二 2 數(shù)列的本質(zhì)是定義域為正整數(shù)集或其有限子集的函數(shù) 數(shù)列的通項公式即為相應(yīng)的解析式 因此在解決數(shù)列問題時 應(yīng)注意用函數(shù)的思想求解 6 已知 an 為等差數(shù)列 a1 a3 a5 105 a2 a4 a6 99 以Sn表示 an 的前n項和 則使得Sn達(dá)到最大值的n是 A 21B 20C 19D 18 B C 函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應(yīng)用 解析幾何是借用坐標(biāo)系用代數(shù)法研究幾何圖形的科學(xué)分支 用構(gòu)造方程的方法解決解析幾何問題非常簡便 本題中的第 2 問用方程思想解決問題是非常典型的 要熟練掌握 應(yīng)用函數(shù)與方程思想解決問題時應(yīng)注意以下幾個方面的思考和切入 1 函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化 對函數(shù)y f x 當(dāng)y 0時 就化為不等式f x 0 借助于函數(shù)的圖像和性質(zhì)可解決有關(guān)問題 而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式 2 數(shù)列的通項與前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù) 用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題十分重要 3 在三角函數(shù)求值中 把所求的量看作未知量 其余的量通過三角函數(shù)關(guān)系化為未知量的表達(dá)式 那么問題就能化為未知量的方程來解 4 解析幾何中的許多問題 例如直線與二次曲線的位置關(guān)系問題 需要通過解二元方程組才能解決 這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論 5 立體幾何中有關(guān)線段的長 面積 體積的計算 經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決 點擊下列圖片進(jìn)入 專題專項訓(xùn)練