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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第十一章 計(jì)數(shù)原理 第1講 兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理 一、填空題 1．5名運(yùn)動(dòng)員爭(zhēng)奪三個(gè)項(xiàng)目的冠軍(不能并列)，所有可能的結(jié)果共有_______種． 解析 第n個(gè)項(xiàng)目的冠軍可由5名運(yùn)動(dòng)員中的任一人取得，共5種方法(n＝1，2，3)，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，所有可能的結(jié)果共有5×5×5＝53(種)． 答案 53 2．現(xiàn)有4名教師參加說(shuō)題比賽，共有4道備選題目，若每位選手從中有放回地隨機(jī)選出一道題進(jìn)行說(shuō)題，其中恰有一道題沒(méi)有被這4位選中的情況有________種． 解析　首先選擇題目，從4道題目中選出3道，選法為C，而后再將獲得同一道題目的2位老師選出，選法為C，最

2、后將3道題目，分配給3組老師，分配方式為A，即滿足題意的情況共有CCA＝144(種)． 答案　144 3．某次活動(dòng)中，有30人排成6行5列，現(xiàn)要從中選出3人進(jìn)行禮儀表演，要求這3人中的任意2人不同行也不同列，則不同的選法種數(shù)為_(kāi)_______(用數(shù)字作答)． 解析　其中最先選出的一個(gè)人有30種方法，此時(shí)不能再?gòu)倪@個(gè)人所在的行和列共9個(gè)位置上選人，還剩一個(gè)5行4列的隊(duì)形，故選第二個(gè)人有20種方法，此時(shí)不能再?gòu)脑撊怂诘男泻土猩线x人，還剩一個(gè)4行3列的隊(duì)形，此時(shí)第三個(gè)人的選法有12種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，總的選法種數(shù)是30×20×12＝7 200. 答案　7 200 4．如圖所示的陰影

3、部分由方格紙上3個(gè)小方格組成，我們稱這樣的圖案為L(zhǎng)型(每次旋轉(zhuǎn)90°仍為L(zhǎng)型圖案)，那么在由4×5個(gè)小方格組成的方格紙上可以畫(huà)出不同位置的L型圖案的個(gè)數(shù)是________． 答案 48 5．如圖所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè)． 答案 40 6．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6，7}，C＝{8，9}，現(xiàn)在從這三個(gè)集合中取出兩個(gè)集合，再?gòu)倪@兩個(gè)集合中各取出的一個(gè)元素，組成一個(gè)含有兩個(gè)元素的集合，則一共可組成集合________個(gè)． 解析 分三類(lèi)：第一類(lèi)：若取出的集合是A，B，則可組成4×3＝12個(gè)集合；第二類(lèi)

4、：若取出的集合是A，C，則可組成4×2＝8個(gè)集合；第三類(lèi)：若取出的集合是B，C，則可組成3×2＝6個(gè)集合，故一共可組成12＋8＋6＝26個(gè)集合． 答案 26 7．將數(shù)字1,2,3,4,5,6按第一行1個(gè)數(shù)，第二行2個(gè)數(shù)，第三行3個(gè)數(shù)的形式隨機(jī)排列，設(shè)Ni(i＝1,2,3)表示第i行中最大的數(shù)，則滿足N1＜N2＜N3的所有排列的個(gè)數(shù)是________(用數(shù)字作答)． 解析　由已知數(shù)字6一定在第三行，第三行的排法種數(shù)為AA＝60；剩余的三個(gè)數(shù)字中最大的一定排在第二行，第二行的排法種數(shù)為AA＝4，由分步計(jì)數(shù)原理滿足條件的排列個(gè)數(shù)是240. 答案　240 8. 數(shù)字1,2,3，…，9這九個(gè)

5、數(shù)字填寫(xiě)在如圖的9個(gè)空格中，要求每一行從左到右依次增大，每列從上到下也依次增大，當(dāng)數(shù)字4固定在中心位置時(shí)，則所有填寫(xiě)空格的方法共有________種． 解析　必有1、4、9在主對(duì)角線上，2、3只有兩種不同的填法，對(duì)于它們的每一種填法，5只有兩種填法．對(duì)于5的每一種填法，6、7、8只有3種不同的填法，由分步計(jì)數(shù)原理知共有22×3＝12(種)填法． 答案　12 9．從集合U＝{a，b，c，d}的子集中選出4個(gè)不同的子集，需同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件： (1)?，U都要選出； (2)對(duì)選出的任意兩個(gè)子集A和B，必有A?B或A?B.那么，共有________種不同的選法． 解析　將選法分成兩類(lèi)．

6、第一類(lèi)：其中一個(gè)是單元素集合，則另一集合為含兩個(gè)或三個(gè)元素且含有單元素集合中的元素，有C×6＝24(種)． 第二類(lèi)：其中一個(gè)是兩個(gè)元素集合，則另一個(gè)是含有這兩個(gè)元素的三元素集合，有C×2＝12(種)． 綜上共有24＋12＝36(種)． 答案　36 10．如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”，在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是________． 解析 正方體的一條棱對(duì)應(yīng)著2個(gè)“正交線面對(duì)”，12條棱共對(duì)應(yīng)著24個(gè)“正交線面對(duì)”；正方體的一條面對(duì)角線對(duì)應(yīng)著1個(gè)“正交線面對(duì)”，12條面對(duì)角線對(duì)應(yīng)著12上“

7、正交線面對(duì)”，共有36個(gè)． 答案 36 二、解答題 11．某外語(yǔ)組有9人，每人至少會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一門(mén)，其中7人會(huì)英語(yǔ)，3人會(huì)日語(yǔ)，從中選出會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)的各一人，有多少種不同的選法？ 解 由題意得有1人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)，6人只會(huì)英語(yǔ)，2人只會(huì)日語(yǔ)． 第一類(lèi)：從只會(huì)英語(yǔ)的6人中選1人說(shuō)英語(yǔ)，共有6種方法，則說(shuō)日語(yǔ)的有2＋1＝3(種)，此時(shí)共有6×3＝18(種)； 第二類(lèi)：不從只會(huì)英語(yǔ)的6人中選1人說(shuō)英語(yǔ)，則只有1種方法，則選會(huì)日語(yǔ)的有2種，此時(shí)共有1×2＝2(種)；[來(lái)源:] 所以根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知共有18＋2＝20(種)選法． 12. 如圖，用四種不同顏色給圖中的A，B，C

8、，D，E，F(xiàn)六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色．則不同的涂色方法共有多少種？ 解　先涂A、D、E三個(gè)點(diǎn)，共有4×3×2＝24(種)涂法，然后再按B、C、F的順序涂色，分為兩類(lèi)：一類(lèi)是B與E或D同色，共有2×(2×1＋1×2)＝8(種)涂法；另一類(lèi)是B與E或D不同色，共有1×(1×1＋1×2)＝3(種)涂法．所以涂色方法共有24×(8＋3)＝264(種)． 13．用n種不同的顏色為兩塊廣告牌著色(如圖甲、乙所示)．要求在①，②，③，④四個(gè)區(qū)域中相鄰(有公共邊界)的區(qū)域不用同一種顏色． (1)若n＝6，為甲著色時(shí)共有多少種不同的方法？ (2)若為乙著色

9、時(shí)共有120種不同的方法，求n的值． 解　完成著色這件事，共分為四個(gè)步驟，可以依次考慮為①，②，③，④這四個(gè)區(qū)域著色時(shí)各自的方法數(shù)，再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理確定出總的著色種數(shù)，因此有： (1)為①區(qū)域著色時(shí)有6種方法，為②區(qū)域著色時(shí)有5種方法，為③區(qū)域著色時(shí)有4種方法，為④區(qū)域著色時(shí)有4種方法，∴依據(jù)分步(乘法)計(jì)數(shù)原理，不同的著色方法為6×5×4×4＝480(種)． (2)由題意知，為①區(qū)域著色時(shí)有n種方法，為②區(qū)域著色時(shí)有(n－1)種方法，為③區(qū)域著色時(shí)有(n－2)種方法，為④區(qū)域著色時(shí)有(n－3)種方法，由分步計(jì)數(shù)原理得不同的著色數(shù)為n(n－1)(n－2)(n－3)．∴n(n－1)(

10、n－2)(n－3)＝120. 而120＝5×4×3×2，∴n＝5. 14．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是從A到B的映射． (1)若B中每一元素都有原象，這樣不同的f有多少個(gè)？ (2)若B中的元素0無(wú)原象，這樣的f有多少個(gè)？ (3)若f滿足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，這樣的f又有多少個(gè)？ 解　(1)顯然對(duì)應(yīng)是一一對(duì)應(yīng)的，即a1找象有4種方法，a2找象有3種方法，a3找象有2種方法，a4找象有1種方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(個(gè))． (2)0無(wú)原象，1,2,3有無(wú)原象不限，所以為A中每一元素找象時(shí)都有3種方法．所以不同的f共有34＝81(個(gè))． (3)分為如下四類(lèi)： 第一類(lèi)，A中每一元素都與1對(duì)應(yīng)，有1種方法； 第二類(lèi)，A中有兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)1，一個(gè)元素對(duì)應(yīng)2，另一個(gè)元素與0對(duì)應(yīng)，有C·C＝12(種)方法； 第三類(lèi)，A中有兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)2，另兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)0，有C·C＝6(種)方法； 第四類(lèi)，A中有一個(gè)元素對(duì)應(yīng)1，一個(gè)元素對(duì)應(yīng)3，另兩個(gè)元素與0對(duì)應(yīng)，有C·C＝12(種)方法． 所以不同的f共有1＋12＋6＋12＝31(個(gè)).