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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第4講　冪函數(shù)與二次函數(shù) 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、填空題 1．冪函數(shù)的圖象過點，則它的單調(diào)遞增區(qū)間是______　　　　　　　　　　　　　　　　　 解析　設(shè)冪函數(shù)y＝xα，則2α＝，解得α＝－2，所以y＝x－2，故函數(shù)y＝x－2的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0)． 答案　(－∞，0) 2．(2013·浙江七校模擬)二次函數(shù)y＝－x2＋4x＋t圖象的頂點在x軸上，則t的值是________． 解析　二次函數(shù)圖象的頂點在x軸上，所以Δ＝42－4×(－1)×t＝0，解得t＝－4. 答案　－4 3．(2014·揚州檢測)若函數(shù)f(x)＝x2＋ax

2、＋b的圖象與x軸的交點為(1,0)和(3,0)，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為________． 解析　由已知可得該函數(shù)的圖象的對稱軸為x＝2，又二次項系數(shù)為1＞0，所以f(x)在(－∞，2]上是遞減的，在[2，＋∞)上是遞增的． 答案　[2，＋∞) 4．若a＜0，則0.5a,5a,5－a的大小關(guān)系是________． 解析　5－a＝a，因為a＜0時，函數(shù)y＝xa單調(diào)遞減，且＜0.5＜5，所以5a＜0.5a＜5－a. 答案　5a＜0.5a＜5－a 5．(2014·南陽一中月考)函數(shù)f(x)＝loga (6－ax)在[0,2]上為減函數(shù)，則a的取值范圍是________． 解析　若

3、0＜a＜1，則f(x)不可能為減函數(shù)，當a＞1時，由函數(shù)(f)x＝loga(6－ax)在[0,2]上為減函數(shù)，知6－ax＞0在[0,2]恒成立，等價于(6－ax)min＞0，即6－2a＞0，得a＜3，所以a的取值范圍是(1,3)． 答案　(1,3) 6．二次函數(shù)y＝f(x)滿足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)，且f(x)＝0有兩個實根x1，x2，則x1＋x2＝________. 解析　由f(3＋x)＝f(3－x)，知函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝3對稱，應(yīng)有＝3?x1＋x2＝6. 答案　6 7．(2014·蘇州檢測)已知函數(shù)y＝－x2＋4ax在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞減，則實數(shù)

4、a的取值范圍是________． 解析　根據(jù)題意，得對稱軸x＝2a≤1，所以a≤. 答案　 8．已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是________． 解析　將方程有兩個不同的實根轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象有兩個不同的交點． 作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，由圖象可知，當0

5、解　設(shè)f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3) (a＜0)， 則f(x)＝ax2－4ax＋3a－2x， f(x)＋6a＝ax2－(4a＋2)x＋9a， Δ＝[－(4a＋2)]2－36a2＝0，即(5a＋1)(a－1)＝0， 解得a＝－或a＝1(舍去)． 因此f(x)的解析式為f(x)＝－x2－x－. 10．設(shè)函數(shù)y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函數(shù)的最小值g(a)． 解　∵函數(shù)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴對稱軸為直線x＝1，而x＝1不一定在區(qū)間[－2，a]內(nèi)，應(yīng)進行討論． 當－2

6、時，函數(shù)在[－2,1]上單調(diào)遞減，在[1，a]上單調(diào)遞增，則當x＝1時，ymin＝－1. 綜上，g(a)＝ 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、填空題 1．(2014·江門、佛山模擬)已知冪函數(shù)f(x)＝xα，當x＞1時，恒有f(x)＜x，則α的取值范圍是________． 解析　當x＞1時，恒有f(x)＜x，即當x＞1時，函數(shù)f(x)＝xα的圖象在y＝x的圖象的下方，作出冪函數(shù)f(x)＝xα在第一象限的圖象，由圖象可知α＜1時滿足題意． 答案　(－∞，1) 2．(2014·衡水中學(xué)二調(diào))設(shè)集合 A＝，集合B＝.若A∩B中恰含有一個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是___

7、_____． 解析　A＝＝，因為函數(shù)y＝f(x)＝x2－2ax－1的對稱軸為x＝a＞0，f(0)＝－1＜0，根據(jù)對稱性可知要使A∩B中恰含有一個整數(shù)，則這個整數(shù)解為2，所以有f(2)≤0且f(3)＞0，即所以即≤a＜. 答案　[，) 3．已知函數(shù)f(x)＝x，給出下列四個命題： ①若x＞1，則f(x)＞1； ②若0＜x1＜x2，則f(x2)－f(x1)＞x2－x1； ③若0＜x1＜x2，則x2f(x1)＜x1f(x2)； ④若0＜x1＜x2，則＜f . 其中，所有正確命題的序號是________． 解析　對于①：∵y＝x在(0，＋∞)上為增函數(shù)， ∴當x＞1時，f(x)＞f

8、(1)＝1，①正確；對于②：取x1＝，x2＝4，此時f(x1)＝，f(x2)＝2，但f(x2)－f(x1)＜x2－x1，②錯誤；對于③：構(gòu)造函數(shù)g(x)＝＝，則g′(x)＝＝－＜0，所以g(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，當x2＞x1＞0時，有＜，即x1f(x2)＜x2f(x1)，③錯誤；對于④：畫出f(x)＝x在(0，＋∞)的圖象，可知＜f，④正確． 答案　①④ 二、解答題 4．(2014·遼寧五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≤0時，f(x)＝x2＋2x.現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請根據(jù)圖象： (1)寫出函數(shù)f(x)(x∈R)的增區(qū)間；

9、 (2)寫出函數(shù)f(x)(x∈R)的解析式； (3)若函數(shù)g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1,2])，求函數(shù)g(x)的最小值． 解　(1)f(x)在區(qū)間(－1,0)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增． (2)設(shè)x＞0，則－x＜0，函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≤0時，f(x)＝x2＋2x， ∴f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x＞0)， ∴f(x)＝ (3)g(x)＝x2－2x－2ax＋2，對稱軸方程為x＝a＋1， 當a＋1≤1，即a≤0時，g(1)＝1－2a為最小值； 當1＜a＋1≤2，即0＜a≤1時，g(a＋1)＝－a2－2a＋1為最小值；當a＋1＞2，即a＞1時， g(2)＝2－4a為最小值． 綜上，g(x)min＝