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2019-2020年蘇教版必修5高中數(shù)學3.3.3《簡單的線性規(guī)劃問題》word教學設計1 教學目標： 1．讓學生了解線性規(guī)劃的意義，以及線性約束條件、線性目標函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等概念． 2．讓學生掌握線性規(guī)劃的圖解法，并會用圖解法求線性目標函數(shù)的最大值與最小值． 教學重點： 用圖解法求線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解． 教學難點： 對用圖解法求解簡單線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解這一方法的理解和掌握． 教學方法： 1．在學生的獨立探究和師生的雙邊活動中完成簡單的線性規(guī)劃的數(shù)學理論的構建，在實踐中掌握求解簡單的線性規(guī)劃問題的方法——圖解法． 2．滲透數(shù)形結合的思想，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力． 教學過程： 一、問題情境 1．情境：我們先考察生產(chǎn)中遇到的一個問題：（投影） 某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)1t甲種產(chǎn)品需要A種原料4t、B種原料12t，產(chǎn)生的利潤為2萬元；生產(chǎn)1t乙種產(chǎn)品需要A種原料1t、B種原料9t，產(chǎn)生的利潤為1萬元．現(xiàn)有庫存A種原料10t，B種原料60t，問如何安排才能使利潤最大？ 為理解題意，可以將已知數(shù)據(jù)整理成下表：（投影） A種原料（t） B種原料（t） 利潤（萬元） 甲種產(chǎn)品（1t） 4 12 2 乙種產(chǎn)品（1t） 1 9 1 現(xiàn)有庫存（t） 10 60 ① ② 設計劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的噸數(shù)分別為x、y，根據(jù)題意，A、B兩種原料分別不得超過10t和60t，即，即． 這是一個二元一次不等式組，此外，產(chǎn)量不可能是負數(shù),所以 ③ 于是上述問題轉化為如下的一個數(shù)學問題：在約束條件④下，求出x，y，使利潤（萬元）達到最大． 2．問題：上述問題如何解決？ 二、學生活動 ①讓學生探究解決這個問題分幾個步驟； ②讓學生分組討論：如何在不等式組確定的區(qū)域中找到取得最大值的數(shù)對（x，y）； ③由學生整理解決這個問題的思路． （投影）首先，作出約束條件所表示的區(qū)域．其次，考慮的幾何意義，將變形為，它表示斜率為－2，在y軸上截距為P的一條直線．平移直線，當它經(jīng)過兩直線與的交點A（1.25，5）時，直線在y軸上的截距P最大． 因此，當時，取得最大值，即甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)1.25t和5t時，可獲得最大利潤7.5萬元． 三、數(shù)學建構（投影） 1．目標函數(shù)，線性目標函數(shù)線性規(guī)劃問題，可行解，可行域，最優(yōu)解． 諸如上述問題中，不等式組是一組對變量x，y的約束條件，由于這組約束條件都是關于x，y的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件．是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x，y的解析式，我們把它稱為目標函數(shù)．由于又是關于x，y的一次解析式，所以又可叫做線性目標函數(shù)． 另外注意：線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示． 一般地，求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題．例如：我們剛才研究的就是求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值和最小值的問題，即為線性規(guī)劃問題． 那么，滿足線性約束條件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域．在問題中，可行域就是陰影部分表示的區(qū)域．其中可行解（一般是區(qū)域的頂點）分別使目標函數(shù)取得最大值和最小值，它們都叫做這個問題的最優(yōu)解． 2．用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟： （1）列出線性約束條件及寫出目標函數(shù)； （2）畫出線性約束條件所表示的平面區(qū)域； （3）通過平面區(qū)域求出滿足線性條件下的可行解； （4）用圖形的直觀性求最值； （5）檢驗由（4）求出的解是否為最優(yōu)解或符合問題的實際意義． 3．應用線性規(guī)劃的圖解方法，一般必須具備下列條件： （1）能夠將目標函數(shù)表示為最大化或最小化的要求； （2）要有不同選擇的可能性存在，即所有可行解不止一個； （3）所求的目標函數(shù)是受條件約束的； （4）約束條件應明確地表示為線性不等式或等式； （5）約束條件中所涉及的變量不超過3個． 四、數(shù)學運用 例1　若已知滿足求的最大值和最小值． 解　約束條件，是關于的一個二元一次不等式組； 目標函數(shù)：是關于的一個二元一次函數(shù)； 可行域：是指由直線和所圍成的一個三角形區(qū)域（包括邊界）（如圖）； 可行解　所有滿足［即三角形區(qū)域內(nèi)（包括邊界）的點的坐標的實數(shù)都是可行解； 最優(yōu)解　，即可行域內(nèi)一點，使得一組平行線為參數(shù)）中的z取得最大值和最小值時，所對應的點的坐標就是線性規(guī)劃的最優(yōu)解．當直線，即過三角形區(qū)域，且縱截距取最值時，z有最值，即目標函數(shù)z有最值．由圖知，當l過B（1,1）點和A（5,2）時，z有最小值和最大值． ， ． 例2　已知滿足不等式組求使取最大值的整數(shù)的值． 解　不等式組的解集為三直線： 所圍成的三角形內(nèi)部（不含邊界），設與，與，與交點分別為A，B，C，則A，B，C坐標分別為． 作一組平行線平行于， 當l往l0右上方移動時，t隨之增大， ∴當l過C點時最大為，但不是整數(shù)解． 又由知x可取1，2，3， 當x＝1時，代入原不等式組得y＝－2，∴ x＋y＝－1； 當x＝2時，得y＝0或－1， x＋y＝2或1； 當x＝3時，y＝－1， x＋y＝2． 故x＋y的最大整數(shù)解為或． 練習： 設，式中x，y滿足條件求z的最大值或最小值． 五、回顧反思 本節(jié)課的主要內(nèi)容為： 1．目標函數(shù)，線性目標函數(shù)線性規(guī)劃問題、可行解、可行域、最優(yōu)解； 2．用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟； 3．應用線性規(guī)劃的圖解方法，必須具備的條件．