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1、 【章節(jié)訓(xùn)練】第18章 勾股定理-4 　 一、選擇題（共16小題） 1．如圖，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的頂點在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為2，l2，l3之間的距離為3，則AC的長是（　?。? 　 A B． C． 5 D． 10 　2．如圖：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，連接BD，DE，BE，則下列結(jié)論：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；④=1．其中正確的是（　　） 　 A． ①②③ B． ①②④ C．

2、 ①③④ D． ①②③④ 　 3．如圖，P為等腰Rt△ABC外一點，∠BAC=90°，連PB、PC、PA，PA交BC于E點，且∠APC=45°，下列結(jié)論： ①∠BPA=45°．②．③PB+PC=PA． 其中正確的是（　?。? 　 A． ① B． ①② C． ② D． ①②③ 　 4．已知：a、b是正數(shù)，且a+b=2，則的最小值是（　　） 　 A． B． C． D． 　 5．如圖，正方形ABCD邊長為2，從各邊往外作等邊三角形ABE、BCF、CDG、DAH，則四邊形AFGD的周長為（　?。? 　 A． 4+2+2 B．

3、 2+2+2 C． 4+2+4 D． 4+2+4 　 6．一副三角板如圖擺放，點F是45°角三角板ABC的斜邊的中點，AC=4．當(dāng)30°角三角板DEF的直角頂點繞著點F旋轉(zhuǎn)時，直角邊DF，EF分別與AC，BC相交于點M，N．在旋轉(zhuǎn)過程中有以下結(jié)論：①MF=NF：②四邊形CMFN有可能為正方形；③MN長度的最小值為2；④四邊形CMFN的面積保持不變；⑤△CMN面積的最大值為2．其中正確的個數(shù)是（　　） 　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 　 7．如圖，D為等腰Rt△ABC的斜邊AB的中點，E為BC邊上一點，連接ED并延長交CA的延長線于點F，過D作D

4、H⊥EF交AC于G，交BC的延長線于H，則以下結(jié)論：①DE=DG；②BE=CG；③DF=DH；④BH=CF．其中正確的是（　?。? 　 A． ②③ B． ③④ C． ①④ D． ①②③④ 　 8．一個三角形三邊的長是6，8，10，同時平分這個三角形周長和面積的直線有（　?。l． 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 　 9．設(shè)直角三角形的三邊長分別為a、b、c，若c﹣b=b﹣a＞0，則=（　　） 　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 　 10．如圖，小方格的面積是1，則圖中以格點為端點且長度為5的線段有（　?。?

5、 　 A． 4條 B． 3條 C． 2條 D． 1條 　 11．如圖△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，點D在BC邊上，且BD＜DC，以AD為邊作正三角形ADE，當(dāng)△ABC的面積是25，△ADE的面積是7時，BD與DC的比值是（　?。? 　 A． 3：4 B． 3：5 C． 1：2 D． 2：3 　 12．現(xiàn)有兩根木棒的長度分別為40厘米和50厘米，若要釘成一個直角三角形框架，那么所需木棒的長一定為（　?。? 　 A． 30厘米 B． 40厘米 C． 50厘米 D． 以上都不對 　

6、13．如圖，在2×3矩形方格紙上，各個小正方形的頂點稱為格點，則以格點為頂點的等腰直角三角形的個數(shù)為（　?。? 　 A． 24 B． 38 C． 46 D． 50 　 14．如圖是一個長4m，寬3m，高2m的有蓋倉庫，在其內(nèi)壁的A處（長的四等分）有一只壁虎，B處（寬的三等分）有一只蚊子，則壁虎爬到蚊子處最短距離為（　?。? 　 A． 4.8 B． C． 5 D． 　 15．直角三角形有一條直角邊的長是11，另外兩邊的長都是自然數(shù)，那么它的周長是（　?。? 　 A． 132 B． 121 C． 120 D． 以上答案都不對 　

7、 16．小明將一張正方形包裝紙，剪成圖1所示形狀，用它包在一個棱長為10的正方體的表面（不考慮接縫），如圖2所示．小明所用正方形包裝紙的邊長至少為（　?。? 　 A． 40 B． 30+2 C． 20 D． 10+10 　 二、填空題（共10小題）（除非特別說明，請?zhí)顪蚀_值） 17．《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有開門去閫（kun）一尺，不合二寸，問門廣幾何．”大意是說：今推開雙門，門框距離門檻1尺，雙門間的縫隙為2寸，那么門的寬度（兩扇門的和）為　_________　尺． 　 18．已知點A（0，2），B（4，0）．點C，D分別在直線x=1與x=2上，且C

8、D∥x軸，則AC+CD+DB的最小值為　_________?。? 　 19．在直角坐標系內(nèi)有兩點A（﹣1，1）、B（2，3），若M為x軸上一點，且MA+MB最小，則M的坐標是　_________　，MA+MB=　_________?。? 　 20．如圖，在長方形ABCD中，DC=5cm，在DC上存在一點E，沿直線AE把三角形AED折疊，使點D恰好落在BC邊上，設(shè)此點為F，若三角形ABF的面積為30cm2，那么折疊三角形AED的面積為　_________　cm2． 　 21．如圖，要將樓梯鋪上地毯，則需要　_________　米的地毯． 22．如圖，∠MON=3

9、0°，A在OM上，OA=2，D在ON上，OD=4，C是OM上任意一點，B是ON上任意一點，則折線ABCD的最短長度為　_________?。? 　 23．在一個長為2米，寬為1米的矩形草地上，如圖堆放著一根長方體的木塊，它的棱長和場地寬AD平行且＞AD，木塊的正視圖是邊長為0.2米的正方形，一只螞蟻從點A處，到達C處需要走的最短路程是　_________　米．（精確到0.01米） 　 24．如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為7寸、5寸和3寸，A和B是這個臺階的兩個相對端點，A點上有一只螞蟻想到B點去吃可口的食物，則它所走的最短路線長度是　______

10、___　寸． 25．已知△ABC是軸對稱圖形，且三條高的交點恰好是C點，則△ABC的形狀是　_________?。? 26．有一棵9米高的大樹，樹下有一個1米高的小孩，如果大樹在距地面4米處折斷（未完全折斷），則小孩至少離開大樹　_________　米之外才是安全的． 　 三、解答題（共5小題）（選答題，不自動判卷） 27．一個直角三角形的邊長都是整數(shù)，它的面積和周長的數(shù)值相等，這樣的直角三角形是否存在？若存在，確定它三邊的長，若不存在，說明理由． 　 28．三角形ABC中，BC=6，AB=2AC，P為BC延長線上一點，且CP=2， （1）當(dāng)AB=8時，求三角形ABC的面積；

11、（2）當(dāng)AB變化時，求證：AP的值為定值，并求出這個定值． 　 29．如圖△ABC三邊長分別是BC=17，CA=18，AB=19，過△ABC內(nèi)的點P向△ABC三邊分別作垂線PD，PE，PF，且BD+CE+AF=27，求BD+BF的長度． 　 30．如圖所示．求證：任意四邊形四條邊的平方和等于對角線的平方和加對角線中點連線平方的4倍． 　 31．已知△ABC中三邊長分別為a，b，c，相應(yīng)邊上的中線長為ma，mb，mc． 求證：． 　  【章節(jié)訓(xùn)練】第18章 勾股定理-4 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共16小題） 1．如圖，已知△ABC中，∠ABC

12、=90°，AB=BC，三角形的頂點在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為2，l2，l3之間的距離為3，則AC的長是（　?。? 　 A． B． C． 5 D． 10 考點： 勾股定理；平行線之間的距離；等腰三角形的性質(zhì)．1822892 分析： 過A、C點作l3的垂線構(gòu)造出直角三角形，根據(jù)三角形全等和勾股定理求出BC的長，再利用勾股定理即可求出． 解答： 解：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABD+∠CBE=90° 又∠DAB+∠ABD=90° ∴∠BAD=∠CBE 又AB=BC，∠ADB=

13、∠BEC ∴△ABD≌△BCE ∴BE=AD=3 在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理，得BC==， 在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AC=×=； 故選A． 點評： 此題要作出平行線間的距離，構(gòu)造直角三角形．運用全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理進行計算． 　 2．如圖：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，連接BD，DE，BE，則下列結(jié)論：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；④=1．其中正確的是（　?。? 　 A． ①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ①②③④ 考點： 等腰

14、直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形．1822892 分析： ①根據(jù)：∠CAD=30°，AC=BC=AD，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出∠ECA=165°，從而得證結(jié)論正確； ②根據(jù)CE⊥CD，∠ECA=165°，利用SAS求證△ACD≌△BCE即可得出結(jié)論； ③根據(jù)∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC，利用等腰三角形的性質(zhì)和△ACD≌△BCE，求出∠CBE=30°，然后即可得出結(jié)論； ④過D作DM⊥AC于M，過D作DN⊥BC于N．由∠CAD=30°，可得CM=AC，求證△CMD≌△CND，可得CN=CM=AC=

15、BC，從而得出CN=BN．然后即可得出結(jié)論． 解答： 解：①∵∠CAD=30°，AC=BC=AD，∴∠ACD=∠ADC=（180°﹣30°）=75°， ∵CE⊥CD，∴∠DCE=90°， ∴∠ECA=165°∴①正確； ②∵CE⊥CD，∠ECA=165°（已證）， ∴∠BAE=∠ECA﹣∠ACB=165﹣90=75°， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=BC，∴②正確； ③∵∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC， ∴∠CAB=∠ACB=45° ∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=45﹣30=15°， ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CBE=30°， ∴∠A

16、BF=45+30=75°， ∴∠AFB=180﹣15﹣75=90°， ∴AD⊥BE． ④證明：如圖， 過D作DM⊥AC于M，過D作DN⊥BC于N． ∵∠CAD=30°，且DM=AC， ∵AC=AD，∠CAD=30°，∴∠ACD=75°， ∴∠NCD=90°﹣∠ACD=15°，∠MDC=∠DMC﹣∠ACD=15°， ∴△CMD≌△CND， ∴CN=CM=AC=BC， ∴CN=BN． ∵DN⊥BC， ∴BD=CD．∴④正確． 所以4個結(jié)論都正確． 故選D． 點評： 此題主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三

17、角形等知識點的理解和掌握，此題有一定的拔高難度，屬于難題． 　 3．如圖，P為等腰Rt△ABC外一點，∠BAC=90°，連PB、PC、PA，PA交BC于E點，且∠APC=45°，下列結(jié)論： ①∠BPA=45°．②．③PB+PC=PA． 其中正確的是（　?。? 　 A． ① B． ①② C． ② D． ①②③ 考點： 全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰直角三角形．1822892 分析： 求出∠ABC=∠APC，即推出A、B、P、C四點共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補即可求出∠APB的度數(shù)；求出△BAE∽△PAB，推出=，證△CAE∽△PAC，推出

18、=，推出=，根據(jù)三角形的面積公式即可求出②正確；過A作AD⊥PA，AD交PB的延長線于D，證△ADB≌△APC，推出PC=BD，AD=AP，得出△DAP是等腰直角三角形，由勾股定理求出DP=AP，即可推出③正確． 解答： 解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵∠APC=45°， ∴∠ABC=∠APC， 即A、B、P、C四點共圓， ∴∠APB=∠ACB=45°， ∴①正確； ∵∠APB=∠ABC=45°，∠BAE=∠PAB， ∴△BAE∽△PAB， ∴=， 同理可證△CAE∽△PAC， ∴=， ∵AB=AC， ∴=， 即=， ∵△A

19、BE的邊BE上的高和△ACE的邊CE上的高相同，設(shè)高為h， ∴===， ∴②正確； 過A作AD⊥PA，AD交PB的延長線于D， ∵∠BAC=90°，AD⊥PA， ∴∠DAP=90°=∠BAC， ∴∠1+∠2=∠2+∠3， ∴∠1=∠3， ∵A、B、P、C四點共圓， ∴∠4=∠ACP， 在△ADB和△APC中 ， ∴△ADB≌△APC（ASA）， ∴PC=BD，AD=AP， ∴△DAP是等腰直角三角形， 由勾股定理得：DP==AP， ∵DP=BP+BD=BP+PC， 即PB+PC=PA， ∴③正確； 故選D． 點評： 本題考查了圓內(nèi)接四邊形，相似

20、三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，等腰直角三角形等知識點的綜合運用，題目綜合性比較強，難度偏大． 　 4．已知：a、b是正數(shù)，且a+b=2，則的最小值是（　?。? 　 A． B． C． D． 考點： 軸對稱-最短路線問題；勾股定理．1822892 專題： 計算題． 分析： 得出b=2﹣a，代入求出W，得出表示X軸上一點C（a，0）到A（0，2），B（2，﹣1）的距離之和，根據(jù)勾股定理求出最小值A(chǔ)B長即可． 解答： 解：∵a，b均為正數(shù)，a+b=2，b=2﹣a， 設(shè)W=+=+， 從上式可以看出：W表示x軸上一點C（

21、a，0）到A（0，2），B（2，﹣1）的距離之和， 最小值為AB=（注意取值范圍：0＜a＜2）， ∴W最小值=， 故選A． 點評： 本題主要考查對軸對稱﹣最短路線問題，勾股定理等知識點的理解和掌握，能得出結(jié)論W表示X軸上一點C（a，0）到A（0，2），B（2，﹣1）的距離之和和最小值為AB是解此題的關(guān)鍵． 　 5．如圖，正方形ABCD邊長為2，從各邊往外作等邊三角形ABE、BCF、CDG、DAH，則四邊形AFGD的周長為（　?。? 　 A． 4+2+2 B． 2+2+2 C． 4+2+4 D． 4+2+4 考點： 勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；

22、等邊三角形的性質(zhì)．1822892 專題： 計算題． 分析： 連接AG，分別求出∠ABF和∠FCG的度數(shù)，再根據(jù)AB=BC=FC，求證△ABF≌△FCG，可得AF=FG，同理AF=AG，設(shè)AB中點為K，連GK，可得△AKG為直角三角形，再利用由勾股定理求得AG，然后即可求得四邊形AFGD的周長． 解答： 解：連接AG，那么等腰三角形ABF頂角∠ABF=90°+60°=150°， 等腰三角形FCG頂角∠FCG=360°﹣90°﹣2×60°=150° 又AB=BC=FC，所以△ABF≌△FCG， ∴AF=FG． 同理AF=AG，設(shè)AB中點為K，連GK，可得△AKG為直角三角形，

23、 ∴AK=1，KG=2+，由勾股定理得AG====+． 四邊形AFGD的周長為：AF+FG+GD+DA=2（+）+2×2=4+2+2． 故選A． 點評： 此題主要考查勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識點，此題有一定難度，屬于難題． 　 6．一副三角板如圖擺放，點F是45°角三角板ABC的斜邊的中點，AC=4．當(dāng)30°角三角板DEF的直角頂點繞著點F旋轉(zhuǎn)時，直角邊DF，EF分別與AC，BC相交于點M，N．在旋轉(zhuǎn)過程中有以下結(jié)論：①MF=NF：②四邊形CMFN有可能為正方形；③MN長度的最小值為2；④四邊形CMFN的面積保持不變；⑤△CMN面積的最大值為2．其

24、中正確的個數(shù)是（　　） 　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 考點： 直角三角形的性質(zhì)；兩點間的距離；三角形的面積；全等三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形．1822892 專題： 幾何綜合題． 分析： 利用兩直角三角形的特殊角、性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別判斷每一個結(jié)論，找到正確的即可． 解答： 解：①∵F為AB中點 ∴AF=BF（1分） ∵∠AFM=45°，∠DFE=90° ∴∠BFN=180﹣∠AFM﹣∠DFE =180﹣45°﹣90°=45° ∴∠AFM=∠BFN（2分） 在△AFM和△FBN中 ∴△AFM≌△BFN（AS

25、A） ∴MF=NF（3分） 故①正確； ②當(dāng)MF⊥AC時，四邊形MFNC是矩形，此時MA=MF=MC，根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形可知②正確； ③連接MN，當(dāng)M為AC的中點時，CM=CN，根據(jù)邊長為4知CM=CN=2，此時MN最小，最小值為2，故③錯誤； ④當(dāng)M、N分別為AC、BC中點時，四邊形CDFE是正方形． ∵△ADF≌△CEF， ∴S△CEF=S△AMF ∴S四邊形CDFE=S△AFC． 故④正確； ⑤由于△MNF是等腰直角三角形，因此當(dāng)DM最小時，DN也最??； 即當(dāng)DF⊥AC時，DM最小，此時DN=BC=2． ∴DN=DN=2 ； 當(dāng)△CEF面積最大時，此時△

26、DEF的面積最?。? 此時S△CEF=S四邊形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=4﹣2=2， 故⑤正確． 故選C． 點評： 此題考查的知識點有等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，綜合性強，難度較大，是一道難題． 　 7．如圖，D為等腰Rt△ABC的斜邊AB的中點，E為BC邊上一點，連接ED并延長交CA的延長線于點F，過D作DH⊥EF交AC于G，交BC的延長線于H，則以下結(jié)論：①DE=DG；②BE=CG；③DF=DH；④BH=CF．其中正確的是（　?。? 　 A． ②③ B． ③④ C． ①④ D． ①②③④ 考點： 全等三角形的判

27、定與性質(zhì)；等腰直角三角形．1822892 分析： 連接CD．欲證線段相等，就證它們所在的三角形全等．證明△DBE≌△DCG，△DCH≌△DAF． 解答： 解：根據(jù)已知條件， ∵△ABC是等腰直角三角形，CD是中線． ∴BD=DC，∠B=∠DCA=45°． 又∵∠BDC=∠EDH=90°，即∠BDE+∠EDC=∠EDC+∠CDH ∴∠BDE=∠CDH ∴△DBE≌△DCG（ASA） ∴DE=DG；BE=CG． 同理可證：△DCH≌△DAF，可得：DF=DH；AF=CH． ∵BC=AC，CH=AF，∴BH=CF． 故選D． 點評： 本題重點考查了三角形全等的判定定

28、理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS． 　 8．一個三角形三邊的長是6，8，10，同時平分這個三角形周長和面積的直線有（　?。l． 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考點： 直角三角形的性質(zhì)．1822892 分析： 根據(jù)勾股定理的逆定理知此三角形是直角三角形．應(yīng)分情況討論： （1）若直線過△ABC的某個頂點； （2）若直線交△ABC的某兩條邊． 解答： 解：（1）若直線過△ABC的某個頂點．如圖， 假設(shè)直線過點A．如果直線平分△ABC的面積，則有BN=NC，此時，AC＞AB， 所以周長相等不可能．同理直線過

29、B、C也不存在； （2）若直線交AB、BC于點M、N．如圖， 設(shè)BN=x，則BM=12﹣x，作MD⊥BC， 由Rt△MBD∽Rt△ABC，可得MD=； 根據(jù)S△MBN=MD?BN=S△ABC， 得BN=6+，BM=6﹣，即這樣的直線存在，且只有一條， 綜上，同時平分這個三角形周長和面積的直線有1條． 故選A． 點評： 此題主要分情況考慮．分析的時候，首先保證符合其中一個條件，再進一步看是否滿足另一個條件． 　 9．設(shè)直角三角形的三邊長分別為a、b、c，若c﹣b=b﹣a＞0，則=（　?。? 　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 考

30、點： 勾股定理．1822892 分析： 根據(jù)已知條件判斷c是斜邊，并且得到c+a=2b，然后根據(jù)勾股定理得到c2﹣a2=b2，然后因式分解可以求出c﹣a，代入要求的式子可以求出結(jié)果了． 解答： 解：∵c﹣b=b﹣a＞0 ∴c＞b＞a，c+a=2b 根據(jù)勾股定理得，c2﹣a2=b2，（c+a）（c﹣a）=b2， ∴c﹣a=b ∴=4 故選C． 點評： 此題主要利用了勾股定理和因式分解解題，題目式子的值不能直接求出，把它的分子分母分別用b表示才能求出． 　 10．如圖，小方格的面積是1，則圖中以格點為端點且長度為5的線段有（　?。? 　 A． 4條 B． 3

31、條 C． 2條 D． 1條 考點： 勾股定理；勾股數(shù)．1822892 專題： 網(wǎng)格型． 分析： 此題只需根據(jù)常見的勾股數(shù)3、4、5，構(gòu)造以3、4為直角邊的直角三角形即可． 解答： 解：如圖所示，共4條． 故選A． 點評： 考查了勾股數(shù)的運用． 　 11．如圖△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，點D在BC邊上，且BD＜DC，以AD為邊作正三角形ADE，當(dāng)△ABC的面積是25，△ADE的面積是7時，BD與DC的比值是（　?。? 　 A． 3：4 B． 3：5 C． 1：2 D． 2：3 考點： 勾股定理；等腰三

32、角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．1822892 專題： 計算題． 分析： 根據(jù)△ABC的面積，可以計算AF，BF，設(shè)DF=x，根據(jù)△ADE的面積計算x的值，根據(jù)BD=BF﹣DF，CD=CF+DF即可計算BD，CD長度，即可計算BD：CD． 解答： 解：作AF⊥BC， ∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，即AB=2AF．BF=AF=AF． △ABC的面積為×BC×AF=25，計算得：AF=5，BF=5． 設(shè)DF=x，則AD=， 根據(jù)正三角形面積計算公式S=AD×（）=AD2=7， 計算得：x=， ∴BD=BF﹣DF=4，CD=CF+FD=6， 故BD

33、：CD=2；3， 故選 D． 點評： 本題考查了勾股定理的運用，考查了三角形面積的計算，本題中根據(jù)正三角形ADE計算DF是解題的關(guān)鍵． 　 12．現(xiàn)有兩根木棒的長度分別為40厘米和50厘米，若要釘成一個直角三角形框架，那么所需木棒的長一定為（　　） 　 A． 30厘米 B． 40厘米 C． 50厘米 D． 以上都不對 考點： 勾股定理的應(yīng)用．1822892 分析： 由于不明確直角三角形的斜邊，故應(yīng)分兩種情況討論． 解答： 解：此題要分兩種情況： （1）當(dāng)50是直角邊時，所需木棒的長是=10； （2）當(dāng)50是斜邊時，所需木棒的長是30． 故選D．

34、 點評： 解答此題的關(guān)鍵是運用勾股定理解答，注意此題的兩種情況． 　 13．如圖，在2×3矩形方格紙上，各個小正方形的頂點稱為格點，則以格點為頂點的等腰直角三角形的個數(shù)為（　?。? 　 A． 24 B． 38 C． 46 D． 50 考點： 等腰直角三角形．1822892 專題： 網(wǎng)格型；規(guī)律型． 分析： 以格點為端點的線段長度可取8個數(shù)值：1，2，2，3．以這些線段組成的等腰直角三角形的斜邊有以下四種情況，2，2，；然后按斜邊長分四類來進行計數(shù)即可． 解答： 解：（1）當(dāng)斜邊長為時，斜邊一定是小正方形的對角線，這樣的線段有12條， 每條這樣的

35、線段對應(yīng)著兩個等腰直角三角形，共有2×12=24（個）． 同理（2）當(dāng)斜邊長為2時，共有6+2×4=14（個）． （3）當(dāng)斜邊長為2時，共有2×4=8（個）． （4）當(dāng)斜邊長為時，共有4（個）． 綜上所述，滿足要求的等腰直角三角形共有24+14+8+4=50（個）． 故選D． 點評： （1）利用分類討論的數(shù)學(xué)思想求解時，一定要做到分類既不重復(fù)，又不遺漏；（2）請讀者嘗試以下兩種思路解答本題：①以等腰直角三角形的直角邊的不同情況來分類討論求解；②利用軸對稱圖形的對稱性求解． 　 14．如圖是一個長4m，寬3m，高2m的有蓋倉庫，在其內(nèi)壁的A處（長的四等分）有一只壁虎，B

36、處（寬的三等分）有一只蚊子，則壁虎爬到蚊子處最短距離為（　?。? 　 A． 4.8 B． C． 5 D． 考點： 平面展開-最短路徑問題．1822892 分析： 先將圖形展開，再根據(jù)兩點之間線段最短可知． 解答： 解：有兩種展開方法： ①將長方體展開成如圖所示，連接A、B， 根據(jù)兩點之間線段最短，AB==； ②將長方體展開成如圖所示，連接A、B，則AB==5＜； 故選C． 點評： 本題是一道趣味題，將長方體展開，根據(jù)兩點之間線段最短，運用勾股定理解答即可． 　 15．直角三角形有一條直角邊的長是11，另外兩邊的長都是自然數(shù)，那么它

37、的周長是（　?。? 　 A． 132 B． 121 C． 120 D． 以上答案都不對 考點： 勾股定理．1822892 分析： 假設(shè)另外兩邊后，根據(jù)勾股定理適當(dāng)變形，即可解答． 解答： 解：設(shè)另外兩邊是a、b（a＞b） 則根據(jù)勾股定理，得：a2﹣b2=121 ∵另外兩邊的長都是自然數(shù) ∴（a+b）（a﹣b）=121=121×1 即另外兩邊的和是121， 故三角形的周長是132． 故選A． 點評： 注意熟練進行因式分解和因數(shù)分解，根據(jù)另外兩邊的長都是自然數(shù)分析結(jié)論． 　 16．小明將一張正方形包裝紙，剪成圖1所示形狀，用它包在一個棱長為10的

38、正方體的表面（不考慮接縫），如圖2所示．小明所用正方形包裝紙的邊長至少為（　?。? 　 A． 40 B． 30+2 C． 20 D． 10+10 考點： 等腰直角三角形．1822892 分析： 所求正方形的邊長即為AB的長，在等腰Rt△ACF、△CDE中，已知了CE、DE、CF的長均為10，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，即可求得AC、CD的長，由AB=AC+CD+BD即可得解． 解答： 解：如圖；連接AB，則AB必過C、D； Rt△ACF中，AC=AF，CF=10； 則AC=AF=5； 同理可得BD=5； Rt△CDE中，DE=CE=10，則CD=10；

39、 所以AB=AC+CD+BD=20；故選C． 點評： 理清題意，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵． 　 二、填空題（共10小題）（除非特別說明，請?zhí)顪蚀_值） 17．《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有開門去閫（kun）一尺，不合二寸，問門廣幾何．”大意是說：今推開雙門，門框距離門檻1尺，雙門間的縫隙為2寸，那么門的寬度（兩扇門的和）為　10.1　尺． 考點： 勾股定理的應(yīng)用．1822892 專題： 閱讀型． 分析： 解答此題的關(guān)鍵是弄清題意，體會古代語言和現(xiàn)代語言的區(qū)別，將問題轉(zhuǎn)化為勾股定理來解答． 解答： 解：設(shè)單門的寬度是x米，根據(jù)勾股定理，得x

40、2=1+（x﹣0.1）2，x=5.5，則2x=10.1尺． 點評： 此題的難點在于理解題意，能夠找到直角三角形，根據(jù)勾股定理進行計算． 　 18．已知點A（0，2），B（4，0）．點C，D分別在直線x=1與x=2上，且CD∥x軸，則AC+CD+DB的最小值為　1+　． 考點： 軸對稱-最短路線問題；坐標與圖形性質(zhì)；勾股定理．1822892 分析： 可以把直線x=1，x=2形成的圖形理解為一條河，CD為一座橋，求AC+CD+DB的最小值，可轉(zhuǎn)化為“修橋問題”． 解答： 解：作法如圖，過A作直線x=1的垂線，垂足為M，連接BM交直線x=2于D點，過D點作直線x=1的垂線，垂

41、足為C點， 此時，AC+CD+DB的最小，AC+CD+DB=MD+CD+DB=BM+CD=+CD=+1． 點評： 本題要善于將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型“修橋問題”，結(jié)合圖形進行計算． 　 19．在直角坐標系內(nèi)有兩點A（﹣1，1）、B（2，3），若M為x軸上一點，且MA+MB最小，則M的坐標是?。ī仯。琈A+MB=　5?。? 考點： 軸對稱-最短路線問題；坐標與圖形性質(zhì)；勾股定理．1822892 分析： 取點A關(guān)于x軸的對稱點A′（﹣1，﹣1），連接A′B，已知兩點坐標，可用待定系數(shù)法求出直線A′B的解析式，從而確定出占M的坐標；再兩點間的距離公式求得A'B的值即為MA+MB

42、的值． 解答： 解：取點A關(guān)于x軸的對稱點A′（﹣1，﹣1），連接A′B， ∵A′（﹣1，﹣1），B（2，3）， 設(shè)直線A'B的解析式為y=kx+b， 由有：， 解得：k=，b=， ∴直線A′B的解析式為：y=x+， 當(dāng)y=0時，x=﹣， 即M（﹣，0）； A'B==5，此時MA+MB=A′B=5為最?。? 故本題答案為：（﹣，0）；5． 點評： 利用軸對稱找線段和的最小值，如果所求的點在x軸上，就取x軸的對稱點，如果所求的點在y軸上，就取y軸的對稱點，求直線解析式，確定直線與坐標軸的交點，即為所求． 　 20．如圖，在長方形ABCD中，DC=5cm，在DC上存在一

43、點E，沿直線AE把三角形AED折疊，使點D恰好落在BC邊上，設(shè)此點為F，若三角形ABF的面積為30cm2，那么折疊三角形AED的面積為　16.9　cm2． 考點： 勾股定理；翻折變換（折疊問題）．1822892 分析： 先根據(jù)直角三角形的面積求出其直角邊和斜邊的長，再根據(jù)折疊的性質(zhì)求出相等的邊長，用CE表示出EF的長，根據(jù)勾股定理求出EF的長，再根據(jù)三角形的面積公式即可解答． 解答： 解：∵三角形ABF的面積為30cm2，DC=AB=5cm， ∴BF=12， ∴在Rt△ABF中，AF==13， ∴BC=AD=AF=13， ∴CF=BC﹣BF=1， 又∵EF=DE=

44、5﹣CE， 在Rt△EFC中，（5﹣CE）2=12+CE2， ∴CE=2.4， ∴DE=5﹣CE=5﹣2.4=2.6， ∴S△AED=×13×2.6=16.9cm2． 點評： 本題綜合考查了勾股定理與一元二次方程，解這類題的關(guān)鍵是利用直角三角形，用勾股定理來尋求未知系數(shù)的等量關(guān)系． 　 21．如圖，要將樓梯鋪上地毯，則需要　7　米的地毯． 考點： 勾股定理．1822892 專題： 應(yīng)用題． 分析： 地毯的長顯然是兩條直角邊的和；根據(jù)勾股定理，得另一條直角邊的長． 解答： 解：根據(jù)勾股定理，另一直角邊==3， ∴3+4=7， 故應(yīng)填7． 點評： 考

45、查了學(xué)生的生活實踐能力，注意理解題意：地毯的長即兩條直角邊的和． 　 22．如圖，∠MON=30°，A在OM上，OA=2，D在ON上，OD=4，C是OM上任意一點，B是ON上任意一點，則折線ABCD的最短長度為　2　． 考點： 軸對稱-最短路線問題；勾股定理．1822892 分析： 首先根據(jù)兩點之間，線段最短確定C，B二點的位置，則折線ABCD的最短長度轉(zhuǎn)化為一條線段的長度．然后運用勾股定理求出其值． 解答： 解：作D關(guān)于OM的對稱點D′，作A作關(guān)于ON的對稱點A′，連接A′D′與OM，ON的交點就是C，B二點． 此時AB+BC+CD=A′B+BC+CD′=A′D′為

46、最短距離． 連接DD′，AA′，OA′，OD′． ∵OA=OA′，∠AOA′=60°， ∴∠OAA′=∠OA′A=60°， ∴△ODD′是等邊三角形． 同理△OAA′也是等邊三角形． ∴OD'=OD=4，OA′=OA=2， ∠D′OA′=90°． ∴A′D′==2． 點評： 此題考查了線路最短的問題，確定動點為何位置是關(guān)鍵．綜合運用了等邊三角形的知識． 　 23．在一個長為2米，寬為1米的矩形草地上，如圖堆放著一根長方體的木塊，它的棱長和場地寬AD平行且＞AD，木塊的正視圖是邊長為0.2米的正方形，一只螞蟻從點A處，到達C處需要走的最短路程是　2.60　米．（精確到

47、0.01米） 考點： 平面展開-最短路徑問題．1822892 分析： 解答此題要將木塊展開，然后根據(jù)兩點之間線段最短解答． 解答： 解：由題意可知，將木塊展開， 相當(dāng)于是AB+2個正方形的寬， ∴長為2+0.2×2=2.4米；寬為1米． 于是最短路徑為：=2.60米． 故答案為：2.60． 點評： 本題主要考查兩點之間線段最短，有一定的難度，是中檔題． 　 24．如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為7寸、5寸和3寸，A和B是這個臺階的兩個相對端點，A點上有一只螞蟻想到B點去吃可口的食物，則它所走的最短路線長度是　25　寸． 考點：

48、 平面展開-最短路徑問題．1822892 分析： 根據(jù)兩點之間線段最短，運用勾股定理解答． 解答： 解：將臺階展開矩形，線段AB恰好是直角三角形的斜邊，兩直角邊長分別為24寸，7寸， 由勾股定理得AB==25寸． 點評： 本題結(jié)合實際，運用兩點之間線段最短等知識來解答問題． 　 25．已知△ABC是軸對稱圖形，且三條高的交點恰好是C點，則△ABC的形狀是　等腰直角三角形?。? 考點： 等腰直角三角形．1822892 分析： 已知△ABC是軸對稱圖形，則△ABC是等腰三角形，且三條高的交點恰好是C點，故△ABC是直角三角形；故△ABC的形狀是等腰直角三角形． 解答：

49、 解：△ABC是軸對稱圖形，且三條高的交點恰好是C點，則△ABC的形狀是等腰直角三角形． 點評： 本題考查軸對稱的性質(zhì)．對應(yīng)點的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應(yīng)點之間的距離相等，對應(yīng)的角、線段都相等． 　 26．有一棵9米高的大樹，樹下有一個1米高的小孩，如果大樹在距地面4米處折斷（未完全折斷），則小孩至少離開大樹　4　米之外才是安全的． 考點： 勾股定理的應(yīng)用．1822892 專題： 應(yīng)用題． 分析： 根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形ABC，利用勾股定理解答． 解答： 解：如圖， BC即為大樹折斷處

50、4m減去小孩的高1m，則BC=4﹣1=3m，AB=9﹣4=5m， 在Rt△ABC中，AC===4． 點評： 此題考查直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，要根據(jù)題意畫出圖形即可解答． 　 三、解答題（共5小題）（選答題，不自動判卷） 27．一個直角三角形的邊長都是整數(shù)，它的面積和周長的數(shù)值相等，這樣的直角三角形是否存在？若存在，確定它三邊的長，若不存在，說明理由． 考點： 一元二次方程的整數(shù)根與有理根；勾股定理的逆定理．1822892 專題： 應(yīng)用題；分類討論． 分析： 假設(shè)存在符合條件的直角三角形，它的三邊長為a、b、c，其中c為斜邊，則，于是將存在性問題的討論轉(zhuǎn)化為

51、求方程組的解． 解答： 解：假設(shè)符合條件的直角三角形存在，它的三邊長為a、b、c，其中c為斜邊，則 ， ∵a、b、c均為正整數(shù)， ∴a≠b；不妨設(shè)a＞b，則有a+b+=， 兩邊平方，并整理得：﹣a2b﹣ab2+2ab=0， 消去ab得：﹣a﹣b+2=0，即（a﹣4）（b﹣4）=8， 又∵8=1×8=2×4， ∴①，解得，則c=13； ②，解得，則c=10； 綜上所述，符合條件的直角三角形存在，其邊長分別是5、12、13；6、8、10．共有2個這樣的直角三角形． 點評： 本題主要考查了一元二次方程的整數(shù)根及有理根、勾股定理的逆定理的應(yīng)用．在解題過程中，當(dāng)勾股定理不能直接

52、運用時，常需要通過等線段的代換、作輔助垂線等途徑，為勾股定理的運用創(chuàng)造必要的條件，有時又需要由線段的數(shù)量關(guān)系去判斷線段的位置關(guān)系，這就需要熟悉一些常用的勾股數(shù)組． 　 28．三角形ABC中，BC=6，AB=2AC，P為BC延長線上一點，且CP=2， （1）當(dāng)AB=8時，求三角形ABC的面積； （2）當(dāng)AB變化時，求證：AP的值為定值，并求出這個定值． 考點： 勾股定理．1822892 專題： 綜合題；方程思想． 分析： （1）過C作CD垂直于AB，交AB于D，求出CD的長，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積，設(shè)BD=x，則AD=8﹣x，在直角三角形BDC

53、和直角三角形ADC中，利用勾股定理列出兩關(guān)系式，分別記作①和②，①﹣②消去CD2得到關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，把求出的x的值代入①即可求出CD的長，得到三角形ABC的面積； （2）過A作AE垂直于CP，設(shè)CE=x，AE=y，AC=a，AB=2a，在直角三角形ACE中，利用勾股定理列出關(guān)系式，記作①，在直角三角形ABE中，根據(jù)勾股定理再列出關(guān)系式，記作②，①﹣②得到關(guān)系式③，然后在直角三角形APE中，利用勾股定理表示出AP2，將①和③代入即可求出AP的長，故為定值． 解答： 解：（1）過C作CD⊥AB，交AD于D， 設(shè)BD=x，則AD=8﹣x，又BC=6，AB=8，AC=

54、AB=4， 在Rt△BDC中，根據(jù)勾股定理得：x2+CD2=62①， 在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：（8﹣x）2+CD2=42②， 聯(lián)立①②，消去CD2得：x2﹣36=（8﹣x）2﹣16， 即16x=84，解得：x=， 把x=代入①得：CD==， 則S△ABC=AB?CD=×8×=3； （2）過A作AE⊥CP，交CP于E，如圖所示： 設(shè)CE=x，AE=y，AC=a，AB=2a， 在Rt△ACE中，根據(jù)勾股定理得：x2+y2=a2①， 在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得：（6+x）2+y2=（2a）2②， ①﹣②得：﹣4x=12﹣a2③， 在Rt△AEP中，根據(jù)勾股

55、定理得： AP2=AE2+EP2=y2+（2﹣x）2=x2+y2﹣4x+4， 將①和③代入得：AP2=a2+12﹣a2+4=16， 開方得：AP=4， 則AP的值為定值，且定值為4． 點評： 此題考查了勾股定理，以及三角形面積的求法．此題利用勾股定理先后建立三個方程，建立轉(zhuǎn)換條件，使問題得以解決，這些由定理得到的結(jié)論都呈現(xiàn)著等式特征，因而用方程的方法得以實施．應(yīng)用此方法解決問題時，關(guān)鍵是抓住幾何問題中所闡明的相等關(guān)系，代數(shù)問題有的可以用幾何的方法求解，幾何問題也可以用代數(shù)的方法求解，這種數(shù)形轉(zhuǎn)換，實質(zhì)也是一種建模方法． 　 29．如圖△ABC三邊長分別是BC=17，CA

56、=18，AB=19，過△ABC內(nèi)的點P向△ABC三邊分別作垂線PD，PE，PF，且BD+CE+AF=27，求BD+BF的長度． 考點： 勾股定理．1822892 專題： 計算題． 分析： 連接AP、BP、CP，構(gòu)成6個直角三角形，分別根據(jù)3對直角三角形的斜邊邊長相等，可以列出方程求解． 解答： 解：如圖，連接PA，PB，PC， 設(shè)BD=x，CE=y，AF=z， 則DC=17﹣x，EA=18﹣y，F(xiàn)B=19﹣z， 在Rt△PBD和Rt△PFB中， 有x2+PD2=（19﹣z）2+PF2 同理有： 將以上三式相加， 得x2+y2+z2=（17﹣x）2+（18﹣

57、y）2+（19﹣z）2 即17x+18y+19z=487 又因為x+y+z=27， 所以x=z﹣1， 所以BD+BF=x+（19﹣z）=z﹣1+19﹣z=18． 點評： 本題考查了勾股定理的靈活運用，主要是構(gòu)建直角三角形，找到合適的直角三角形是解題的關(guān)鍵． 　 30．如圖所示．求證：任意四邊形四條邊的平方和等于對角線的平方和加對角線中點連線平方的4倍． 考點： 勾股定理．1822892 專題： 證明題． 分析： 對角線中點連線為PQ，可看作△BDQ的中線，分別計算BQ2，DQ2，代入2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2．即可計算出即AB2+BC2+CD2

58、+DA2=AC2+BD2+4PQ2． 解答： 證明：設(shè)四邊形ABCD對角線AC，BD中點分別是Q，P． 在△BDQ中，BQ2+DQ2=2PQ2+2?2=2PQ2+ 即2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2．① 在△ABC中，BQ是AC邊上的中線， 所以BQ2=（2AB2+2BC2﹣AC2）．② 在△ACD中，QD是AC邊上的中線， 所以DQ2=（2AD2+2DC2﹣AC2）．③ 將②，③代入①得（2AB2+2BC2﹣AC2）+（2AD2+2DC2﹣AC2） =4PQ2+BD2， 即AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2． 點評： 本題考查了直角三角

59、形中勾股定理的運用，本題中分別求BQ2，DQ2，化簡出2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2的等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵． 　 31．已知△ABC中三邊長分別為a，b，c，相應(yīng)邊上的中線長為ma，mb，mc． 求證：． 考點： 勾股定理．1822892 專題： 證明題． 分析： 根據(jù)勾股定理找到a、b、c與ma2的關(guān)系，即，整理可得ma2的不等式，可以證明，得 ． 解答： 證明：利用勾股定理可以證明， ∴， 又， ， ∵b﹣c﹣a=b﹣（a+c）＜0， b﹣c+a=（a+b）﹣c＞0， ∴， ∴． 點評： 本題考查了勾股定理在直角三角形中的靈活運用，本題中正確的運用勾股定理并且根據(jù)不等式求出是解題的關(guān)鍵． 　 25