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2019-2020年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：第7講 函數(shù)與方程 課題 函數(shù)與方程（共 3 課時(shí)） 修改與創(chuàng)新 教學(xué)目標(biāo) 1．結(jié)合二次函數(shù)的圖像，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系； 2．根據(jù)具體函數(shù)的圖像，能夠借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法。 命題走向 函數(shù)與方程的理論是高中新課標(biāo)教材中新增的知識(shí)點(diǎn)，特別是“二分法”求方程的近似解也一定會(huì)是高考的考點(diǎn)。從近幾年高考的形勢(shì)來看，十分注重對(duì)三個(gè)“二次”（即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同時(shí)也研究了它的許多重要的結(jié)論，并付諸應(yīng)用。高考試題中有近一半的試題與這三個(gè)“二次”問題有關(guān)。 預(yù)計(jì)xx年高考對(duì)本講的要求是：以二分法為重點(diǎn)、以二次函數(shù)為載體、以考察函數(shù)與方程的關(guān)系為目標(biāo)來考察學(xué)生的能力。 （1）題型可為選擇、填空和解答； （2）高考試題中可能出現(xiàn)復(fù)合了函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)零點(diǎn)的綜合題，同時(shí)考察函數(shù)方程的思想。 教學(xué)準(zhǔn)備 多媒體 教學(xué)過程 要點(diǎn)精講： 1．方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) （1）函數(shù)零點(diǎn) 概念：對(duì)于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。 函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)。 二次函數(shù)的零點(diǎn)： １）△＞０，方程有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)； ２）△＝０，方程有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)； ３）△＜０，方程無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)。 零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)。既存在，使得，這個(gè)也就是方程的根。 2.二分法 二分法及步驟： 對(duì)于在區(qū)間，上連續(xù)不斷，且滿足的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法． 給定精度，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟如下： （1）確定區(qū)間，，驗(yàn)證，給定精度； （2）求區(qū)間，的中點(diǎn)； （3）計(jì)算： ①若=，則就是函數(shù)的零點(diǎn)； ②若<，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）； ③若<，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）； （4）判斷是否達(dá)到精度； 即若，則得到零點(diǎn)零點(diǎn)值（或）；否則重復(fù)步驟2~4。 注：函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì) 從“數(shù)”的角度看：即是使的實(shí)數(shù)； 從“形”的角度看：即是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)； 若函數(shù)的圖象在處與軸相切，則零點(diǎn)通常稱為不變號(hào)零點(diǎn)； 若函數(shù)的圖象在處與軸相交，則零點(diǎn)通常稱為變號(hào)零點(diǎn)。 注：用二分法求函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)：二分法的條件表明用二分法求函數(shù)的近似零點(diǎn)都是指變號(hào)零點(diǎn)。 3．二次函數(shù)的基本性質(zhì) （1）二次函數(shù)的三種表示法：y=ax2+bx+c；y=a(x－x1)(x－x2)；y=a(x－x0)2+n。 （2）當(dāng)a>0，f(x)在區(qū)間［p，q］上的最大值M，最小值m，令x0= (p+q)。 若－0.∴函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增．f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝e＋1－4＝e－3<0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2>0，f(1)f(2)<0，故零點(diǎn)x0∈(1,2)． 　C 由題悟法 利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間時(shí)，首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間上的圖象是否連續(xù)不斷，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)． 以題試法 1．(xx衡水模擬)設(shè)函數(shù)y＝x3與y＝x－2的圖象交點(diǎn)為(x0，y0)，則x0所在的區(qū)間是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析：選B　設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－x－2，f(1)f(2)<0，且f(x)為單調(diào)函數(shù)，則x0∈(1,2)． 考點(diǎn)二：判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù) 典題導(dǎo)入 　(1)(xx北京高考)函數(shù)f(x)＝x－x的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 (2)(xx北京東城區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)y＝f(f(x))＋1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 　(1)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出y1＝x與y2＝x的圖象如圖所示，易知，兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，因此函數(shù)f(x)＝x－x只有1個(gè)零點(diǎn)． (2)由f(f(x))＋1＝0可得f(f(x))＝－1， 又由f(－2)＝f＝－1. 可得f(x)＝－2或f(x)＝. 若f(x)＝－2，則x＝－3或x＝； 若f(x)＝，則x＝－或x＝， 綜上可得函數(shù)y＝f(f(x))＋1有4個(gè)零點(diǎn)． 　(1)B　(2)A 由題悟法 判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法 (1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)． (2)零點(diǎn)存在性定理法：利用定理不僅要判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)． (3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 以題試法 2．(xx湖北高考)函數(shù)f(x)＝xcos x2在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：選C　令xcos x2＝0，則x＝0，或x2＝kπ＋，又x∈，因此xk＝ (k＝0,1,2,3,4)，共有6個(gè)零點(diǎn)． 考點(diǎn)三：函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用 典題導(dǎo)入 　(xx遼寧高考改編)已知函數(shù)f(x)＝ex－x＋a有零點(diǎn)，則a的取值范圍是________． 　∵f(x)＝ex－x＋a， ∴f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0，得x＝0. 當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)； 當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)． 故f(x)min＝f(0)＝1＋a. 若函數(shù)f(x)有零點(diǎn)，則f(x)min≤0， 即1＋a≤0，得a≤－1. 　(－∞，－1] 若函數(shù)變?yōu)閒(x)＝ln x－2x＋a，其他條件不變，求a的取值范圍． 解：∵f(x)＝ln x－2x＋a，∴f′(x)＝－2. 令f′(x)＝0，得x＝. 當(dāng)0時(shí)，f′(x)<0，∴f(x)為減函數(shù)． ∴f(x)max＝f＝ln－1＋a. 若f(x)有零點(diǎn)，則f(x)max≥0，即ln－1＋a≥0. 解得a≥1－ln，a的取值范圍為. 由題悟法 已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)取值常用的方法 (1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍． (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決． (3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解． 以題試法 3．已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝x，若在區(qū)間上函數(shù)g(x)＝f(x)－kx－k有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______． 解析：由f(x＋1)＝f(x－1)得，f(x＋2)＝f(x)，則f(x)是周期為2的函數(shù)．∵f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝x，∴當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝－x，易得當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝－x＋2，當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝x－2. 在區(qū)間上函數(shù)g(x)＝f(x)－kx－k有4個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y＝f(x)與y＝kx＋k的圖象在區(qū)間上有4個(gè)不同的交點(diǎn)．作出函數(shù)y＝f(x)與y＝kx＋k的圖象如圖所示，結(jié)合圖形易知，k∈. 答案： 結(jié)合二次函數(shù)的圖像，復(fù)習(xí)掌握函數(shù)零點(diǎn)的概念，并具備利用圖像判斷零點(diǎn)情況的能力。 把兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)，再由根的存在性定理判斷，由于轉(zhuǎn)了幾個(gè)彎子，學(xué)生難以開啟思路。教師應(yīng)做好引導(dǎo)工作。 此題不能畫圖，怎么辦？按定義，通過解方程，求出根即可。 板書設(shè)計(jì) 函數(shù)與方程 1．方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) （1）函數(shù)零點(diǎn) 概念：對(duì)于函數(shù)，把使 例1 成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù) 的零點(diǎn)。 方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象 例2 與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)。 (2) 零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)在 例3 區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且 有，那么函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)有零點(diǎn)。既存在，使得， 這個(gè)也就是方程的根。 2.二分法 二分法及步驟： 給定精度，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟如下： （1）確定區(qū)間，，驗(yàn)證，給定精度； （2）求區(qū)間，的中點(diǎn)； （3）計(jì)算： ①若=，則就是函數(shù)的零點(diǎn)； ②若<，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）； ③若<，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）； （4）判斷是否達(dá)到精度； 即若，則得到零點(diǎn)零點(diǎn)值（或）；否則重復(fù)步驟2~4。 教學(xué)反思 函數(shù)與方程，高考要求不高，主要是通過圖像判斷根的情況。但有時(shí)需要合理的轉(zhuǎn)化，學(xué)生在轉(zhuǎn)化時(shí)往往會(huì)遇到困難。再利用適當(dāng)機(jī)會(huì)，增加一點(diǎn)練習(xí)，學(xué)生基本上能過關(guān)。