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2019-2020年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案:第4講 函數(shù)的基本性質(zhì)
課題
函數(shù)的基本性質(zhì)(共 4 課)
修改與創(chuàng)新
課標(biāo)要 求
1.通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù),理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(?。┲导捌鋷缀我饬x;
2.結(jié)合具體函數(shù),了解奇偶性的含義。
命題走 向
從近幾年來看,函數(shù)性質(zhì)是高考命題的主線索,不論是何種函數(shù),必須與函數(shù)性質(zhì)相關(guān)聯(lián),因此在復(fù)習(xí)中,針對不同的函數(shù)類別及綜合情況,歸納出一定的復(fù)習(xí)線索。
預(yù)測xx年高考的出題思路是:通過研究函數(shù)的定義域、值域,進(jìn)而研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及最值。
預(yù)測明年的對本講的考察是:
(1)考察函數(shù)性質(zhì)的選擇題1個(gè)或1個(gè)填空題,還可能結(jié)合導(dǎo)數(shù)出研究函數(shù)性質(zhì)的大題;
(2)以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數(shù)的性質(zhì),以組合形式、一題多角度考察函數(shù)性質(zhì)預(yù)計(jì)成為新的熱點(diǎn)。
教學(xué)準(zhǔn)備
多媒體
教學(xué)過程
要點(diǎn)精講:
1.奇偶性
(1)定義:如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(-x)=-f(x),則稱f(x)為奇函數(shù);如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(-x)=f(x),則稱f(x)為偶函數(shù)。
如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì),則f(x)不具有奇偶性.如果函數(shù)同時(shí)具有上述兩條性質(zhì),則f(x)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)。
注意:
函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì);
由函數(shù)的奇偶性定義可知,函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是,對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,則-x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱)。
(2)利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟:
首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱;
確定f(-x)與f(x)的關(guān)系;
作出相應(yīng)結(jié)論:
若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,則f(x)是偶函數(shù);
若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,則f(x)是奇函數(shù)。
(3)簡單性質(zhì):
①圖象的對稱性質(zhì):一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱;一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱;
②設(shè),的定義域分別是,那么在它們的公共定義域上:
奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇
2.單調(diào)性
(1)定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮, 如果對于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1,x2,當(dāng)x1
f(x2)),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)(減函數(shù));
注意:
函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì),是函數(shù)的局部性質(zhì);
必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1,x2;當(dāng)x1 B.k<
C.k>- D.k<-
解析:選D 函數(shù)y=(2k+1)x+b是減函數(shù),
則2k+1<0,即k<-.
3.(教材習(xí)題改編)函數(shù)f(x)=的最大值是( )
A. B.
C. D.
解析:選D ∵1-x(1-x)=x2-x+1=2+≥,∴0<≤.
4.(教材習(xí)題改編)f(x)=x2-2x(x∈)的單調(diào)增區(qū)間為________;f(x)max=________.
解析:函數(shù)f(x)的對稱軸x=1,單調(diào)增區(qū)間為,f(x)max=f(-2)=f(4)=8.
答案: 8
5.已知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù),若mf(n);
>1,即|x|<1,且x≠0.
故-1 (-1,0)∪(0,1)
1.函數(shù)的單調(diào)性是局部性質(zhì)
從定義上看,函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)在定義域的某個(gè)子
區(qū)間上的性質(zhì),是局部的特征.在某個(gè)區(qū)間上單調(diào),在整
個(gè)定義域上不一定單調(diào).
2.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法
函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間,所以求解函
數(shù)的單調(diào)區(qū)間,必須先求出函數(shù)的定義域.對于基本初等
函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以直接利用已知結(jié)論求解,如二次函數(shù)、
對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等;如果是復(fù)合函數(shù),應(yīng)根據(jù)復(fù)合函
數(shù)的單調(diào)性的判斷方法,首先判斷兩個(gè)簡單函數(shù)的單調(diào)性,
再根據(jù)“同則增,異則減”的法則求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,不能用集合或不等式表示;如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫,不能用并集符號“∪”聯(lián)結(jié),也不能用“或”聯(lián)結(jié).
函數(shù)單調(diào)性的判斷
典題導(dǎo)入
(理)判斷函數(shù)f(x)=x+(a>0)在(0,+∞)上的單調(diào)性.
設(shè)x1>x2>0,則
f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)+=(x1-x2)+=(x1-x2).
當(dāng)≥x1>x2>0時(shí),x1-x2>0,1-<0,
有f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0)是減函數(shù);
當(dāng)x1>x2≥時(shí),x1-x2>0,1->0,
有f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
此時(shí),函數(shù)f(x)=x+(a>0)是增函數(shù).
綜上可知,函數(shù)f(x)=x+(a>0)在(0, ]上為減函數(shù);在[,+∞)上為增函數(shù).
(文)證明函數(shù)f(x)=2x-在(-∞,0)上是增函數(shù).
設(shè)x1,x2是區(qū)間(-∞,0)上的任意兩個(gè)自變量的值,且x10,
因此f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)0,
因此g(x1)-g(x2)<0,即g(x1),得-10.∴m>1或m<-2.
(2)由f(x)=可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,故3=-,解得a=-6.
(1)(-∞,-2)∪(1,+∞) (2)-6
由題悟法
單調(diào)性的應(yīng)用主要涉及利用單調(diào)性求最值,進(jìn)行大小比較,解抽象函數(shù)不等式,解題時(shí)要注意:一是函數(shù)定義域的限制;二是函數(shù)單調(diào)性的判定;三是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.
以題試法
3.(1)(xx孝感調(diào)研)函數(shù)f(x)=在上的最小值為________,最大值為________.
(2)已知函數(shù)f(x)=-(a>0,x>0),若f(x)在上的值域?yàn)椋瑒ta=__________.
解析:(1)∵f′(x)=-<0,∴f(x)在上為減函數(shù),∴f(x)min=f(3)==,f(x)max==1.
(2)由反比例函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)f(x)=-(a>0,x>0)在上單調(diào)遞增,
所以即解得a=.
答案:(1) 1 (2)
1.(xx廣東高考)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是( )
A.y=sin x B.y=x3
C.y=ex D.y=ln
解析:選D 四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的定義域都是R.y=sin x為奇函數(shù).冪函數(shù)y=x3也為奇函數(shù).指數(shù)函數(shù)y=ex為非奇非偶函數(shù).令f(x)=ln ,得f(-x)=ln =ln =f(x).所以y=ln為偶函數(shù).
2.已知f(x)=ax2+bx是定義在上的偶函數(shù),那么a+b 的值是( )
A.- B.
C. D.-
解析:選B ∵f(x)=ax2+bx是定義在上的偶函數(shù),
∴a-1+2a=0,∴a=.又f(-x)=f(x),
∴b=0,∴a+b=.
3.(教材習(xí)題改編)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足f(x+4)=f(x),則f(8)的值為( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
解析:選B ∵f(x)為奇函數(shù)且f(x+4)=f(x),
∴f(0)=0,T=4.
∴f(8)=f(0)=0.
4.若函數(shù)f(x)=x2-|x+a|為偶函數(shù),則實(shí)數(shù)a=________.
解析:法一:∵f(-x)=f(x)對于x∈R恒成立,∴|-x+a|=|x+a|對于x∈R恒成立,兩邊平方整理得ax=0,對于x∈R恒成立,故a=0.
法二:由f(-1)=f(1),
得|a-1|=|a+1|,故a=0.
答案:0
5.(xx廣東高考)設(shè)函數(shù)f(x)=x3cos x+1.若f(a)=11,則f(-a)=________.
解析:觀察可知,y=x3cos x為奇函數(shù),且f(a)=a3cos a+1=11,故a3cos a=10.則f(-a)=-a3cos a+1=-10+1=-9.
答案:-9
1.奇、偶函數(shù)的有關(guān)性質(zhì):
(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件;
(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反之亦然;
(3)若奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義,則f(0)=0;
(4)利用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱可知,奇函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同;利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱可知,偶函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反.
2.若函數(shù)滿足f(x+T)=f(x),由函數(shù)周期性的定義可知T是函數(shù)的一個(gè)周期;應(yīng)注意nT(n∈Z且n≠0)也是函數(shù)的周期.
函數(shù)奇偶性的判斷
典題導(dǎo)入
(xx福州質(zhì)檢)設(shè)Q為有理數(shù)集,函數(shù)f(x)=g(x)=,則函數(shù)h(x)=f(x)g(x)( )
A.是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)
B.是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)
C.既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)
D.既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)
∵當(dāng)x∈Q時(shí),-x∈Q,∴f(-x)=f(x)=1;當(dāng)x∈?RQ時(shí),-x∈?RQ,∴f(-x)=f(x)=-1.綜上,對任意x∈R,都有f(-x)=f(x),故函數(shù)f(x)為偶函數(shù).∵g(-x)===-=-g(x),∴函數(shù)g(x)為奇函數(shù).∴h(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)=-f(x)g(x)=-h(huán)(x),∴函數(shù)h(x)=f(x)g(x)是奇函數(shù).∴h(1)=f(1)g(1)=,h(-1)=f(-1)g(-1)=1=,h(-1)≠h(1),∴函數(shù)h(x)不是偶函數(shù).
A
由題悟法
利用定義判斷函數(shù)奇偶性的方法
(1)首先求函數(shù)的定義域,定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件;
(2)如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,可進(jìn)一步判斷f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否對定義域內(nèi)的每一個(gè)x恒成立(恒成立要給予證明,否則要舉出反例).
判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段分別證明f(-x)與f(x)的關(guān)系,只有對各段上的x都滿足相同的關(guān)系時(shí),才能判斷其奇偶性.
以題試法
1.判斷下列函數(shù)的奇偶性.
(1)f(x)=+;
(2)f(x)=3x-3-x;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=
解:(1)∵由得x=1,
∴f(x)的定義域?yàn)閧-1,1}.
又f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0,
即f(x)=f(-x).
∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).
(2)∵f(x)的定義域?yàn)镽,
∴f(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-f(x),
所以f(x)為奇函數(shù).
(3)∵由得-2≤x≤2且x≠0.
∴f(x)的定義域?yàn)椋?
∴f(x)===,
∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函數(shù).
(4)f(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱,當(dāng)x>0時(shí),f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x);
當(dāng)x<0時(shí),f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x);
當(dāng)x=0時(shí),f(0)=0,也滿足f(-x)=-f(x).
故該函數(shù)為奇函數(shù).
函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
典題導(dǎo)入
(1)(xx上海高考)已知y=f(x)+x2是奇函數(shù),且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,則g(-1)=________.
(2)(xx煙臺調(diào)研)設(shè)偶函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),且f(2)=0,則不等式>0的解集為( )
A.(-2,0)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,0)∪(0,2)
(1)∵y=f(x)+x2是奇函數(shù),且x=1時(shí),y=2,∴當(dāng)x=-1時(shí),y=-2,即f(-1)+(-1)2=-2,
得f(-1)=-3,所以g(-1)=f(-1)+2=-1.
(2)∵f(x)為偶函數(shù),
∴=>0.
∴xf(x)>0.
∴或
又f(-2)=f(2)=0,f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),
故x∈(0,2)或x∈(-∞,-2).
(1)-1 (2)B
本例(2)的條件不變,若n≥2且n∈N*,試比較f(-n),f(1-n),f(n-1),f(n+1)的大?。?
解:∵f(x)為偶函數(shù),所以f(-n)=f(n),
f(1-n)=f(n-1).
又∵函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)為減函數(shù),且0f(2a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
解析:(1)當(dāng)x<0時(shí),則-x>0,所以f(x)=x2+x,f(-x)=ax2-bx,而f(-x)=-f(x),即-x2-x=ax2-bx,
所以a=-1,b=1,故a+b=0.
(2)因?yàn)閒(x)=x2+2x在 (xx山東高考)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+6)=f(x).當(dāng)-3≤x<-1時(shí),f(x)=-(x+2)2;當(dāng)-1≤x<3時(shí),f(x)=x.則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)=( )
A.335 B.338
C.1 678 D.2 012
由f(x+6)=f(x)可知,函數(shù)f(x)的周期為6,所以f(-3)=f(3)=-1,f(-2)=f(4)=0,f(-1)=f(5)=-1,f(0)=f(6)=0,f(1)=1,f(2)=2,所以在一個(gè)周期內(nèi)有f(1)+f(2)+…+f(6)=1+2-1+0-1+0=1,所以f(1)+f(2)+…+f(2 012)=f(1)+f(2)+3351=1+2+335=338.
B
由題悟法
1.周期性常用的結(jié)論:
對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),則T=2a;
(2)若f(x+a)=,則T=2a;
(3)若f(x+a)=-,則T=2a.
2.周期性與奇偶性相結(jié)合的綜合問題中,周期性起到轉(zhuǎn)換自變量值的作用,奇偶性起到調(diào)節(jié)符號作用.
以題試法
3.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x+2)=-f(x).當(dāng)x∈時(shí),f(x)=2x-x2.
(1)求證:f(x)是周期函數(shù);
(2)當(dāng)x∈時(shí),求f(x)的解析式.
解:(1)證明:∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
∴f(x)是周期為4的周期函數(shù).
(2)∵x∈,∴-x∈,
∴4-x∈,
∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8.
又∵f(4-x)=f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-x2+6x-8,
即f(x)=x2-6x+8,x∈.
函數(shù)的基本性質(zhì)是函數(shù)的重要內(nèi)容,復(fù)習(xí)時(shí)務(wù)必細(xì)致地回顧。這部分內(nèi)容應(yīng)集合題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)貧w納總結(jié)。
復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷僅作了解。
周期性是必修4學(xué)習(xí)的內(nèi)容,要求學(xué)生找到必修4的相關(guān)內(nèi)容,并超前復(fù)習(xí)。
通過具體問題,讓學(xué)生理解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)的含義的不同。
通過此例,讓學(xué)生回顧,鞏固用定義證明單調(diào)性的步驟。
總結(jié)判斷函數(shù)單調(diào)性的常見方法。
讓學(xué)生分析、明確,求解抽象不等式,應(yīng)根據(jù)單調(diào)性或圖像化為具體不等式。
概況總結(jié)奇偶函數(shù)的性質(zhì),以讓學(xué)生更好的把握這一知識。
此例3、4兩題的奇偶性的判斷,學(xué)生有一定的困難,教師應(yīng)與學(xué)生共同探索,尋找解決的途徑。
周期性常用的結(jié)論,在題目中容易出現(xiàn),讓學(xué)生自己利用定義證明這3條結(jié)論。
板書設(shè)計(jì)
函數(shù)的基本性質(zhì)
1.奇偶性
(1)定義:如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(-x)=-f(x), 例1
則稱f(x)為奇函數(shù);如果對于函
(2)簡單性質(zhì):
①圖象的對稱性質(zhì):一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于 例2
原點(diǎn)對稱;一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱;
②設(shè),的定義域分別是,那么在它們的公共定義域上: 例3
奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇
2.單調(diào)性
(1)定義: 例4
(2)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟
任取x1,x2∈D,且x1
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