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1、 1

2、 1 導數(shù)及應用 一、高考預測 從近幾年考查的趨勢看，本專題考查的重點是導數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性和極值中的應用、導數(shù)在研究方程和不等式中的應用，考查的形式是解答題考查導數(shù)在研究函數(shù)問題中的綜合運用，但常圍繞一些交叉點設(shè)計一些新穎的試題，大部分函數(shù)和導數(shù)的基礎(chǔ)試題難度也不大，但少數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)試題難度較大，解答題中的函數(shù)導數(shù)試題也具有一定的難度． 由于該專題的絕大多數(shù)內(nèi)容(除定積分

3、)都是傳統(tǒng)的高中數(shù)學內(nèi)容，在考查上已經(jīng)基本穩(wěn)定(難度穩(wěn)定、考查重點穩(wěn)定、考查的分值穩(wěn)定)，預計20xx年基本上還是這個考查趨勢，具體為：以選擇題或者填空題的方式考查導數(shù)的幾何意義的應用，定積分的計算及其簡單應用．以解答題的方式考查導數(shù)在函數(shù)問題中的綜合應用，重點是使用導數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性和極值以及能夠轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題的不等式和方程等問題，考查函數(shù)建模和利用導數(shù)解模． 導數(shù)及其應用：要掌握好導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的運算、導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性與極值的關(guān)系，由于函數(shù)的極值和最值的解決是以函數(shù)的單調(diào)性為前提的，因此要重點解決導數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應用，特別是含有字母參數(shù)的函

4、數(shù)的單調(diào)性(這是高考考查分類與整合思想的一個主要命題點)，在解決好上述問題后，要注意把不等式問題、方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值進行研究性訓練，這是高考命制壓軸題的一個重要考查點． 二、知識導學 要點1：利用導數(shù)研究曲線的切線 1．導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在處的導數(shù)的幾何意義是：曲線在點處的切線的斜率（瞬時速度就是位移函數(shù)對時間的導數(shù)）。 2．求曲線切線方程的步驟：（1）求出函數(shù)在點的導數(shù)，即曲線在點處切線的斜率；（2）在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為。注：①當曲線在點處的切線平行于軸（此時導數(shù)不存在）時，由切線定義可知，切線方程為；②當切點坐標未知時，應首先設(shè)出切

5、點坐標，再求解。 要點2：利用導數(shù)研究導數(shù)的單調(diào)性 利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟。（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導數(shù)；（3）①若求單調(diào)區(qū)間（或證明單調(diào)性），只需在函數(shù)的定義域內(nèi)解（或證明）不等式＞0或＜0。②若已知的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式≥0或≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題求解。 要點3：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值 1.在求可導函數(shù)的極值時，應注意：（以下將導函數(shù)取值為0的點稱為函數(shù)的駐點可導函數(shù)的極值點一定是它的駐點，注意一定要是可導函數(shù)。例如函數(shù)在點處有極小值=0，可是這里的根本不存在，所以點不是的駐點.(1) 可導函數(shù)的駐點可能是它的極值點，也可能不是極值點。例如函數(shù)的導數(shù)

6、，在點處有，即點是的駐點，但從在上為增函數(shù)可知，點不是的極值點.(2) 求一個可導函數(shù)的極值時，常常把駐點附近的函數(shù)值的討論情況列成表格，這樣可使函數(shù)在各單調(diào)區(qū)間的增減情況一目了然.(3) 在求實際問題中的最大值和最小值時，一般是先找出自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域.如果定義域是一個開區(qū)間，函數(shù)在定義域內(nèi)可導（其實只要是初等函數(shù)，它在自己的定義域內(nèi)必然可導），并且按常理分析，此函數(shù)在這一開區(qū)間內(nèi)應該有最大（小）值（如果定義域是閉區(qū)間，那么只要函數(shù)在此閉區(qū)間上連續(xù)，它就一定有最大（?。?記住這個定理很有好處），然后通過對函數(shù)求導，發(fā)現(xiàn)定義域內(nèi)只有一個駐點，那么立即可以斷定在這個駐

7、點處的函數(shù)值就是最大（?。┲?。知道這一點是非常重要的，因為它在應用上較為簡便，省去了討論駐點是否為極值點，求函數(shù)在端點處的值，以及同函數(shù)在極值點處的值進行比較等步驟. 2.極大（?。┲蹬c最大（?。┲档膮^(qū)別與聯(lián)系 極值是局部性概念，最大（?。┲悼梢钥醋髡w性概念，因而在一般情況下，兩者是有區(qū)別的.極大（?。┲挡灰欢ㄊ亲畲螅ㄐ。┲?，最大（?。┲狄膊灰欢ㄊ菢O大（?。┲担?、易錯點點睛 命題角度 1導數(shù)的概念與運算 1．設(shè)，,…, ,n∈N,則 ( ) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx [考場錯解] 選

8、C [專家把脈] 由=,,f3(x) =(-sinx)’=-cosx, ，，故周期為4。 [對癥下藥] 選A 2．已知函數(shù)在x=1處的導數(shù)為3，的解析式可能為 （ ） A．=(x-1)3+32(x-1) B．=2x+1 C．=2(x-1)2 D．=-x+3 =2e-xcosx令f’(x)=0,x=nπ+（n=1，2，3，…）從而xn=nπ+。f(xn)=e-( nπ+)(-1)n·=-e. ∴數(shù)列{f(xn)}是公比為q=-e-π的等比數(shù)列。 [專家把脈] 上面解答求導過程中出現(xiàn)了錯誤，即（e-x）’=e-x是錯誤的，由復合函數(shù)的求導

9、法則知（e-x）’=e-x(-x)’=-e-x才是正確的。 [對診下藥]（1）證明：f’(x)=(e-x)’(cos+sinx)+e-x(cosx+sinx)’ =-e-x(cosx+sinx) +e-x(-sinx+cos) =-2e-xsinx. 令f’(x)=0得-2e-xsinx=0，解出x=nπ,(n為整數(shù)，從而xn=nπ(n=1,2,3,…)， f(xn)=(-1)ne-nπ,所以數(shù)列|f(xn)|是公比q=-e-π的等比數(shù)列，且首項f(x1)=-e-π (2)Sn=x1f(x1)+x2f(x2)+…+xnf(xn)=nq(1+2q+…+nqn-1) aSn=πq(q+2

10、q2+…+nqn)=πq(-nqn)從而Sn=(-nqn) ∵|q|=e-π<1 ∴qn=0,∴ 專家會診1．理解導數(shù)的概念時應注意導數(shù)定義的另一種形式：設(shè)函數(shù)f(x)在x=a處可導，則的運用。2．復合函數(shù)的求導，關(guān)鍵是搞清復合關(guān)系，求導應從外層到內(nèi)層進行，注意不要遺漏3．求導數(shù)時，先化簡再求導是運算的基本方法，一般地，分式函數(shù)求導，先看是否化為整式函數(shù)或較簡單的分式函數(shù)；對數(shù)函數(shù)求導先化為和或差形式；多項式的積的求導，先展開再求導等等。 命題角度 2導數(shù)幾何意義的運用 1.曲線y=x3在點(1,1)的切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形面積為_________. [考場錯解]

11、 填2 由曲線y=x3在點（1，1）的切線斜率為1，∴切線方程為y-1==x-1,y=x.所以三條直線y=x,x=0,x=2所圍成的三角形面積為S=×2×2=2。 [專家把脈] 根據(jù)導數(shù)的幾何意義，曲線在某點處的切線斜率等于函數(shù)在這點處的導數(shù)，上面的解答顯然是不知道這點，無故得出切線的斜率為1顯然是錯誤的。 [對癥下藥] 填?！?3x2 當x=1時f’(1)=3.由導數(shù)的幾何意義知，曲線在點（1，1）處的斜率為3。即切線方程為y-1=3(x-1) 得y=3x-2.聯(lián)立得交點（2，4）。又y=3x-2與x軸交于（，0）?！嗳龡l直線所圍成的面積為S=×4×（2-）=。 2．設(shè)t≠0,點

12、P（t,0）是函數(shù)=x3+ax與g(x)=bx3+c的圖像的一個公共點，兩函數(shù)的圖像在P點處有相同的切線。（1）用t表示a、b、c；（2）若函數(shù)y=f(x)-g(x)在（-1，3）上單調(diào)遞減，求t的取值范圍。 [考場錯解] （1）∵函數(shù)=x3+ax與g(x)=bx2+c的圖像的一個公共點P(t,0).∴f(t)=g(t)t3+at=bt2+c. ①又兩函數(shù)的圖像在點P處有相同的切線，∴f’(t)=g’(t) 3t3+a=2bt. ②由①得b=t,代入②得a=-t2.∴c=-t3. [專家把脈] 上面解答中得b=t理由不充足，事實上只由①、②兩式是不可用t表示a、b、c，其實錯解在使用兩函數(shù)

13、有公共點P，只是利用f(t)=g(t)是不準確的，準確的結(jié)論應是f(t)=0，即t3+at=0，因為t≠0,所以a=-t2.g(t)=0即bt2+c=0,所以c=ab又因為f(x)、g(x)在（t,0）處有相同的切線， 所以f’(t)=g;(t).即3t2+a=2bt, ∵a=-t2, ∴b=t.因此c=ab=-t2·t=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3 (2)解法1 y=-g(x)=x3-t2x-tx2+t3 y’=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t). 當y’=(3x+t)(x-t)<0時,函數(shù)y=f(d)-g(x)單調(diào)遞減。 由y’<0,若t<0,則t

14、,若t>0,則-0∴f(x

15、)在(-∞,-1)與(1，+∞)上是增函數(shù)。 若x∈[-1,1]時，f’(x) ≤0,故f9x)在[-1，1]上是減函數(shù)。 ∴f(-1)=2是極大值。f(1)=-2是極小值。 （2）解：曲線方程為y==x3-3x,點A（0，16）不在曲線上。設(shè)切點M（x0,y0）,則點M在曲線上， ∴y0=x30-3x0.因f’(x0)=3x20-3.故切線的方程為y-y0=(3x20-3)(x-x0). ∵點A（0，16）在曲線上，有16-（x20-0）=3(x20-1)(0-x0),化簡得x30=-8，得x0=-2. 專家會診 設(shè)函數(shù)y=f(x),在點(x0,y0)處的導數(shù)為f’(x0)，則過

16、此點的切線的斜率為f’(x0),在此點處的切線方程為y-y0=f’(x0)(x-x0).利用導數(shù)的這個幾何意義可將解析幾何的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解。 命題角度 3導數(shù)的應用 1．（典型例題）已知函數(shù)=-x3+3x2+9x+a.(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若在區(qū)間[-2，2]上最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值。 [考場錯解]（1）=-3x2+6x+9,令<0,解得x<-1或x>3,∴函數(shù)的音調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1）（3，+∞） （2）令=0,得x=-1或x=3當-20;當x>3時，<0. ∴x=-1,是的極不值點，x=3是極大值點?！鄁

17、(3)=-27+27+27+a=20,∴a=-7.的最小值為f(-1)=-1+3-9+a=-14. [專家把脈] 在閉區(qū)間上求函數(shù)的最大值和最小值，應把極值點的函數(shù)值與兩端點的函數(shù)值進行比較大小才能產(chǎn)生最大（小）值點，而上面解答題直接用極大（小）值替代最大（?。┲?，這顯然是錯誤的。 [對癥下藥] （1）=-3x2+6x+9,令<0,解得x<-1或x>3. (2)因為f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以在[-1，2]因為在（-1，3）上>0,所以在[-1，2]上單調(diào)遞增，又由于在[-2，-1]上單調(diào)遞減，因此f(2)和f(-1)分別是在區(qū)間

18、[-2，2]上的最大值和最小值，于是22+a=20,解得a=-2.故=-x3+3x2+9x-2,因此,f{-1}=1+3-9-2=-7 即函數(shù)在區(qū)間[-2，2]上的最小值為-7。 2．已知函數(shù)=ax3+3x2-x+1在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍。 [考場錯解] ∵=3ax2+6x-1,因為在R上是減函數(shù)，所以=3ax2+6x-1<0對任何x∈R恒成立。∴ 解得a<-3. [專家把脈] 當>0時，是減函數(shù)，但反之并不盡然，如=-x3是減函數(shù)，=3x2并不恒小于0，（x=0時=0）.因此本題應該有在R上恒小于或等于0。 [對癥下藥] 函數(shù)的導數(shù)：=3x2+6x-1. 當=3ax2

19、+6x-1<0對任何x∈R恒成立時，在R上是減函數(shù)。 ①對任何x∈R,3ax2+6x-1<0恒成立，a<0且△=36+12a<0a<-3. 所以當a<-3時，由<0對任何x∈R恒成立時，在R上是減函數(shù)。 ②當a=-3時, =-3x3+3x2-x+1=-3(x-)3+. 由函數(shù)y=x3在R上的單調(diào)性知，當a=-3時，在R上是減函數(shù)。 ③當a>-3時，=3ax2+6x-1>0在R上至少可解得一個區(qū)間，所以當a>-3時，是在R上的減函數(shù)。綜上，所求a的取值范圍是（-∞，-3）。 3．已知a∈R,討論函數(shù)=ex(x2+ax+a+1)的極值點的個數(shù)。 (1)當△=（a+2）2-4(2a+

20、1)=a2-4a=a(a-4)>0即a<0或a>4時,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有兩個不同的實根x1、x2,不妨設(shè)x10;當x>x1時

21、，f’(x)>0因此f(x)無極值。 （3）當△<0，即00 ,f’(x)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)]>0,故f(x)為增函數(shù)，此時f(x)無極值點，因此，當a>4或a<0時，f(x)有兩個極值點，當0≤a≤4時，f(x)無極值點。 4．設(shè)函數(shù)=x-ln(x+m)其中常數(shù)m為整數(shù)。（1）當m為何值時，≥0;(2)定理：若g(x)在[a、b]上連續(xù)，且g(a)與g(b)異號，則至少存在一點x0∈(a、b),使g(x0)=0.試用上述定理證明：當整數(shù)m>1時，方程=0，在[e-m-m,e2m-m]內(nèi)有兩個實根。 [考場錯解] 令≥0

22、,x≥ln(x+m).∴m≤ex-x ∴m取小于或等于ex-x的整數(shù)。 [專家把脈] 上面解答對題意理解錯誤，原題“當m為何值時，≥0恒成立”，并不是對x的一定范圍成立。因此，m≤ex-x這個結(jié)果顯然是錯誤的。 [對癥下藥] （1）函數(shù)=x-ln(x+m),x∈(-m,+ ∞)連續(xù)，且f’(x)=1-,令f’(x)=0,得x=1-m.當-m1-m時，>0, 為增函數(shù)。 根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f(1-m)=1-m為極小值，而且對x∈(-m,+ ∞)都有≥f(1-m)=1-m，故當1-m=f()≥0,即m≤1時，≥0.即m≤1且m∈Z時，≥0. (

23、2)證明：由（1）可知，當整數(shù)m>1時，f(1-m)=1-m<0,f(e-m-m)=e-m-m-ln(e-m-m+m)=e-m>0,又為連續(xù)函數(shù)，且當m>1時，f(e-m-m)與f(1-m)異號，由所給定理知，存在唯一的x1∈(e-m-m;1-m),使f(x1)=0,而當m>1時，f(e2m-m)=e2m-3m>(1+1)2m-3m>1+2m+-3m>0.(∵m>12m-1>1). 類似地，當整數(shù)m>1時，=x-ln(x+m)在[1-m,e2m-m]上為連續(xù)增函數(shù)，且f(1-m)與f(e2m-m)異號，由所給定理知，存在唯一的x+∈（1-m,e2m-m）使f(x2)=0.故當整數(shù)m>1時，方

24、程=0在[e-m-m,e2m-m]內(nèi)有兩個實根。 5．用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接而成（如圖，）問該容器高為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？ [考場錯解] 設(shè)容器的高為x,容器的容積為V，則V=（90-2x）（48-2x）·x=4x3-276x2+4320x ∵V’=12x2-552x+4320=0 得x1=10,x2=36 又∵x<10時，V’<0,100,x>36時, V’<0∴當x=36時，V有極大值V（36）<0故V沒有最大值。 [專家把脈] 上面解答有兩處錯

25、誤：一是沒有注明原函數(shù)定義域；二是驗算f’(x)的符號時，計算錯誤，∵x<10,V’>0;1036,V’>0. [對癥下藥] 設(shè)容器的高為x，容器的容積為V。則V=（90-2x）（48-2x）·x =4x3-276x2+4320x (00,1036時V’>0.所以，當x=10時V有最大值V（10）=1960cm3 又V(0)=0,V(24)=0所以當x=10時,V有最大值V（10）=1960。所

26、以該窗口的高為10cm，容器的容積最大，最大容積是1960cm3. 專家會診1．證函數(shù)在（a,b）上單調(diào)，可以用函數(shù)的單調(diào)性定義，也可用導數(shù)來證明，前者較繁，后者較易，要注意若在（a、b）內(nèi)個別點上滿足=0(或不存在但連續(xù))其余點滿足>0(或<0)函數(shù)仍然在（a、b）內(nèi)單調(diào)遞增（或遞減），即導數(shù)為零的點不一定是增、減區(qū)間的分界點。 2．函數(shù)的極值是在局部對函數(shù)值的比較，函數(shù)在區(qū)間上的極大值（或極小值）可能有若干個，而且有時極小值大于它的極大值，另外，=0是可導數(shù)f(x)在x=x0處取極值的必要而不充分條件，對于連續(xù)函數(shù)（不一定處處可導）時可以是不必要條件。 時取得極值？說明理由；（Ⅱ）若

27、，當時，與的圖象恰好有兩個公共點，求的取值范圍. 3、已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，曲線在點處的切線恰好與直線垂直。(Ⅰ)求實數(shù)的值；（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍。 4、已知函數(shù)(Ⅰ) 若曲線在點處的切線方程為,求函數(shù)解析式;(Ⅱ) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅲ) 若對于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范圍. 5、若定義在上的函數(shù)同時滿足以下條件：① 在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)； ② 是偶函數(shù)；③ 在處的切線與直線垂直. （Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）設(shè)，若存在，使，求實數(shù)的取值范圍 6、設(shè)函數(shù)(Ⅰ) 當時，求函數(shù)的極值； （Ⅱ）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性.（Ⅲ）若對任意及任意，

28、恒有 成立，求實數(shù)的取值范圍. 7、已知函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的極大值等于？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由. 8、已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）（Ⅰ）若對于任意恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；(Ⅱ)當時，是否存在，使曲線在點處的切線斜率與在上的最小值相等？若存在，求符合條件的的個數(shù)；若不存在，請說明理由. 9、已知函數(shù)在點，）處的切線的斜率為。（Ⅰ）求的值；(Ⅱ)若時，恒成立，求整數(shù)的最大值。 10、已知函數(shù).（Ⅰ）當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值；（Ⅱ）若存在，使，求的取值范圍. 11、函數(shù)|(x)=x2―x―ln

29、x. （Ⅰ）求函數(shù)|(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）是否存在實數(shù)m,n，同時滿足下列條件①1≤m