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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第6章　數(shù)　列 學(xué)案27　數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)． 自主梳理 1．?dāng)?shù)列的定義 按____________著的一列數(shù)叫數(shù)列，數(shù)列中的________都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)；在函數(shù)意義下，數(shù)列是______________________的函數(shù)，數(shù)列的一般形式為：________________________，簡(jiǎn)記為{an}，其中an是數(shù)列的第____項(xiàng)． 2．通項(xiàng)公式： 如果數(shù)列{an}的________與____之間的關(guān)系可以______

2、________來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式．但并非每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式，也并非都是唯一的． 3．?dāng)?shù)列常用表示法有：____________________、________、________. 4．?dāng)?shù)列的分類： 數(shù)列按項(xiàng)數(shù)來(lái)分，分為_(kāi)___________、____________；按項(xiàng)的增減規(guī)律分為_(kāi)___________、____________、____________和________．遞增數(shù)列?an＋1____an；遞減數(shù)列?an＋1____an；常數(shù)列?an＋1____an. 5．a(chǎn)n與Sn的關(guān)系： 已知Sn，則an＝. 自我檢測(cè) 1．(2010·湖南長(zhǎng)郡

3、中學(xué))在數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋ (n∈N*)，則該數(shù)列的通項(xiàng)an＝______. 2．已知數(shù)列{an}對(duì)任意的p，q∈N*滿足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10＝________. 3．已知數(shù)列－1，，－，，…按此規(guī)律，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是______________________________． 4．下列對(duì)數(shù)列的理解： ①數(shù)列可以看成一個(gè)定義在N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函數(shù)； ②數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是有限的； ③數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn)； ④數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的． 其中說(shuō)法正確的序號(hào)是________．

4、5．設(shè)an＝－n2＋10n＋11，則數(shù)列{an}從首項(xiàng)到第________項(xiàng)的和最大． 探究點(diǎn)一　由數(shù)列前幾項(xiàng)求數(shù)列通項(xiàng) 例1　寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前幾項(xiàng)分別是下列各數(shù)： (1)，，，，，… (2)，－2，，－8，，… 變式遷移1　寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： (1)3,5,9,17,33，…　(2)，，2，，…(3)1,0,1,0，… 探究點(diǎn)二　由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng) 例2　根據(jù)下列條件，寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式． (1)a1＝2，an＋1＝an＋n；(2)a1＝1,2n－1an＝an－1 (n≥2)． 變式遷移2

5、　根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． (1)a1＝1，an＋1＝3an＋2； (2)a1＝1，an＋1＝(n＋1)an； (3)a1＝2，an＋1＝an＋ln. 探究點(diǎn)三　由an與Sn的關(guān)系求an 例3　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－3n＋1，求{an}的通項(xiàng)公式． 變式遷移3　(1)已知{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n＋b，求{an}的通項(xiàng)公式． (2)已知在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，Sn表示前n項(xiàng)和且2＝an＋1，求an. 函數(shù)思想 例　(14分)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝(n＋1)n (n∈N*)，試問(wèn)該數(shù)列

6、{an}有沒(méi)有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若沒(méi)有，說(shuō)明理由． 【答題模板】 解　方法一　令[4分] ??，∴n＝9或n＝10時(shí)，an最大，[10分] 即數(shù)列{an}有最大項(xiàng)，此時(shí)n＝9或n＝10.[14分] 方法二　∵an＋1－an＝(n＋2)·n＋1－(n＋1)·n ＝n·，[2分] 當(dāng)n<9時(shí)，an＋1－an>0，即an＋1>an； 當(dāng)n＝9時(shí)，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 當(dāng)n>9時(shí)，an＋1－an<0，即an＋1a11>a12>…， ∴數(shù)列{an}中有最大項(xiàng)，為第9、10項(xiàng)．[14分] 【突破

7、思維障礙】 有關(guān)數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)，數(shù)列有界性問(wèn)題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來(lái)解決，判斷單調(diào)性常用①作差法，②作商法，③圖象法．求最大項(xiàng)時(shí)也可用an滿足；若求最小項(xiàng)，則用an滿足. 數(shù)列實(shí)質(zhì)就是一種特殊的函數(shù)，所以本題就是用函數(shù)的思想求最值． 【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】 本題解題過(guò)程中易出現(xiàn)只解出a9這一項(xiàng)，而忽視了a9＝a10，從而導(dǎo)致漏解． 1．?dāng)?shù)列的遞推公式是研究的項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，而通項(xiàng)公式則是研究的項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系． 2．求數(shù)列的通項(xiàng)公式是本節(jié)的重點(diǎn)，主要掌握三種方法：(1)由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出一個(gè)通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是善于觀察； (2)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與數(shù)列{an}的通項(xiàng)

8、公式an的關(guān)系，要注意驗(yàn)證能否統(tǒng)一到一個(gè)式子中； (3)由遞推公式求通項(xiàng)公式，常用方法有累加、累乘． 3．本節(jié)易錯(cuò)點(diǎn)是利用Sn求an時(shí)，忘記討論n＝1的情況． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．(2010·安徽改編)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2，則a8的值為_(kāi)_______． 2．(2009·北京)已知數(shù)列{an}滿足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，則a2 009＝________，a2 014＝________. 3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則a2＝________. 4．?dāng)?shù)列{an}中

9、，若an＋1＝，a1＝1，則a6＝________. 5．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋an＋1＝ (n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S21＝________. 6．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＝若a1＝，則a2 010的值為_(kāi)_______． 7．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且有Sn＝n2＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝__________________. 8．將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣： 1 2　3 4　5　6 7　8　9　10 11　12　13　14　15 …　…　…　…　…　… 根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n (n≥3)行從左至右的第3個(gè)數(shù)是_

10、___________． 二、解答題(共42分) 9．(12分)寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式． (1)1，2，3，4，… (2)－1，，－，，－，… 10．(14分)由下列數(shù)列{an}遞推公式求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式： (1)a1＝1，an－an－1＝n (n≥2)； (2)a1＝1，＝ (n≥2)； (3)a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2)． 11．(16分)(2009·安徽)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2＋2n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝2－bn. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)cn＝a·bn，證

11、明：當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)，cn＋1　

12、對(duì)． 5．10或11 解析　an＝－n2＋10n＋11是關(guān)于n的二次函數(shù)，它是拋物線f(x)＝－x2＋10x＋11上的一些離散的點(diǎn)，從圖象可看出前10項(xiàng)都是正數(shù)，第11項(xiàng)是0，所以前10項(xiàng)或前11項(xiàng)的和最大． 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　(1)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求它的一個(gè)通項(xiàng)公式，要注意觀察每一項(xiàng)的特點(diǎn)，要使用添項(xiàng)、還原、分割等方法，轉(zhuǎn)化為一些常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)求； (2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是不完全歸納法，它蘊(yùn)涵著“從特殊到一般”的思想，得出的結(jié)論不一定可靠，在解答題中一般應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明． 解　(1)原數(shù)列為，，，，，…， ∴an＝＝. (2)原數(shù)列

13、為，－，，－，，…， ∴an＝. 變式遷移1　解　(1)∵a1＝3＝21＋1， a2＝5＝22＋1，a3＝9＝23＋1，…，∴an＝2n＋1. (2)將數(shù)列各項(xiàng)統(tǒng)一成的形式得，，，，…； 觀察知，數(shù)列各項(xiàng)的被開(kāi)方數(shù)逐個(gè)增加3，且被開(kāi)方數(shù)加1后，又變?yōu)?,6,9,12，…，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝. (3)從奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)角度入手，可以得到分段形式的解析式，也可看作數(shù)列1,1,1,1，…和1，－1,1，－1，…對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加之和的一半組成的數(shù)列，也可用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的最值和零點(diǎn)值來(lái)調(diào)整表示． 所以an＝ 或an＝ (n∈N*)， 或an＝或an＝sin2 (n∈N*)， 或

14、an＝ (n∈N*)． 例2　解題導(dǎo)引　利用數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，一般有以下三種方法： (1)累加法：如果已知數(shù)列{an}的相鄰兩項(xiàng)an＋1與an的差的一個(gè)關(guān)系式，我們可依次寫出前n項(xiàng)中所有相鄰兩項(xiàng)的差的關(guān)系式，然后把這n－1個(gè)式子相加，整理求出數(shù)列的通項(xiàng)公式． (2)累積法：如果已知數(shù)列{an}的相鄰兩項(xiàng)an＋1與an的商的一個(gè)關(guān)系式，我們可依次寫出前n項(xiàng)中所有相鄰兩項(xiàng)的商的關(guān)系式，然后把這n－1個(gè)式子相乘，整理求出數(shù)列的通項(xiàng)公式． (3)構(gòu)造法：根據(jù)所給數(shù)列的遞推公式以及其他有關(guān)關(guān)系式，進(jìn)行變形整理，構(gòu)造出一個(gè)新的等差或等比數(shù)列，利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解． 解　

15、(1)當(dāng)n＝1,2,3，…，n－1時(shí)，可得n－1個(gè)等式，an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n－2，…，a2－a1＝1， 將其相加， 得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)． ∴an＝a1＋＝2＋. (2)方法一　an＝··…···a1 ＝n－1·n－2·…·2·1 ＝1＋2＋…＋(n－1)＝，∴an＝. 方法二　由2n－1an＝an－1，得an＝n－1an－1. ∴an＝n－1an－1＝n－1·n－2an－2 ＝n－1·n－2·…·1a1 ＝(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝ 變式遷移2　解　(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，

16、∴＝3，∴數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3， 又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1. (2)∵an＋1＝(n＋1)an，∴＝n＋1. ∴＝n，＝n－1， …… ＝3， ＝2， a1＝1. 累乘可得， an＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！. 故an＝n！. (3)∵an＋1＝an＋ln， ∴an＋1－an＝ln＝ln . ∴an－an－1＝ln ， an－1－an－2＝ln ， …… a2－a1＝ln ， 累加可得，an－a1＝ln ＋ln ＋…＋ln ＝ln n－ln(n－1)＋ln(n－1)－ln(n

17、－2)＋…＋ln 2－ln 1 ＝ln n. 又a1＝2，∴an＝ln n＋2. 例3　解題導(dǎo)引　an與Sn的關(guān)系式an＝Sn－Sn－1的條件是n≥2，求an時(shí)切勿漏掉n＝1，即a1＝S1的情況．一般地，當(dāng)a1＝S1適合an＝Sn－Sn－1時(shí)，則需統(tǒng)一“合寫”．當(dāng)a1＝S1不適合an＝Sn－Sn－1時(shí)，則通項(xiàng)公式應(yīng)分段表示，即an＝ 解　當(dāng)n＝1時(shí)， a1＝S1＝2×12－3×1＋1＝0； 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋1)－2(n－1)2＋3(n－1)－1＝4n－5； 又n＝1時(shí)，an＝4×1－5＝－1≠a1， ∴an＝ 變式遷移3　解　(1)a1＝S1

18、＝3＋b， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1. 當(dāng)b＝－1時(shí)，a1適合此等式； 當(dāng)b≠－1時(shí)，a1不適合此等式． ∴當(dāng)b＝－1時(shí)，an＝2·3n－1； 當(dāng)b≠－1時(shí)，an＝. (2)由2＝an＋1，得Sn＝2， 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2，得a1＝1； 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2－2， 整理，得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， ∵數(shù)列{an}各項(xiàng)為正，∴an＋an－1>0. ∴an－an－1－2＝0. ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列． ∴an＝a1＋(n－1)×2＝2n－1. 課后練

19、習(xí)區(qū) 1．15 解析　a8＝S8－S7＝64－49＝15. 2．1　0 解析　a2 009＝a4×503－3＝1，a2 014＝a1 007＝a252×4－1＝0. 3．4 解析　當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2. 當(dāng)n＝2時(shí)，a1＋a2＝2(a2－1)，∴a2＝4. 4. 解析　方法一　∵an＋1＝，a1＝1， ∴a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，a6＝. 方法二　∵an＋1＝，∴＝＋2， ∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴an＝，∴a6＝. 5. 解析　a1＝－a2＝－2，a2＝2，a3＝－2，a4＝2，…，知T＝2，a1＋a2＝，∴S21＝10×＋a1＝5＋－2＝. 6.

20、 解析　a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，…， 此數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，故可知a2 010＝a3＝. 7. 解析　當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1＋1＝2， 當(dāng)n>1時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]＝2n－1.此時(shí)對(duì)于n＝1不成立， 故an＝ 8. 解析　前n－1行共有正整數(shù)1＋2＋…＋(n－1)＝(個(gè))，因此第n行第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中的第＋3個(gè)，即為第個(gè)． 9．解　(1)∵a1＝1＋，a2＝2＋，a3＝3＋，…， ∴an＝n＋(n∈N*)．…………………………………………………………………(6分) (2)∵a1＝－，a2＝，a3＝－，a4＝，…，

21、 ∴an＝(－1)n·(n∈N*)．………………………………………………………(12分) 10．解　(1)由題意得，an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…，a3－a2＝3，a2－a1＝2. 將上述各式等號(hào)兩邊累加得， an－a1＝n＋(n－1)＋…＋3＋2， 即an＝n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝， 故an＝.…………………………………………………………………………(6分) (2)由題意得，＝，＝，…，＝，＝. 將上述各式累乘得，＝，故an＝.………………………………………………(10分) (3)由an＝2an－1＋1， 得an＋1＝2(an－1＋1)， 又

22、a1＋1＝2≠0，所以＝2， 即數(shù)列{an＋1}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列． 所以an＋1＝2n，即an＝2n－1.…………………………………………………………(14分) 11．(1)解　a1＝S1＝4.……………………………………………………………………(1分) 對(duì)于n≥2，有an＝Sn－Sn－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n.a1也適合， ∴{an}的通項(xiàng)公式an＝4n.………………………………………………………………(3分) 將n＝1代入Tn＝2－bn，得b1＝2－b1，故T1＝b1＝1.…………………………………(4分) 對(duì)于n≥2，由Tn－1＝2－bn－

23、1， Tn＝2－bn，得bn＝Tn－Tn－1＝－(bn－bn－1)， ∴bn＝bn－1，bn＝21－n.……………………………………………………………………(6分) b1＝1也適合． 綜上，{bn}的通項(xiàng)公式bn＝21－n.………………………………………………………(10分) (2)方法一　由cn＝a·bn＝n225－n，……………………………………………………(11分) 得＝2.當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)，1＋≤<， ∴<·()2＝1，又cn＝n2·25－n>0， 即cn＋1