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2019-2020年蘇教版必修5高中數(shù)學1.1《正弦定理》word教學設計 教學目標： 1. 掌握正弦定理及其證明，能夠運用正弦定理解決一些簡單的三角形度量 問題； 2. 通過對任意三角形的邊長和角度關系的探索，培養(yǎng)學生的自主學習和自主探索能力； 3. 提供適當?shù)膯栴}情境，激發(fā)學生的學習熱情，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣． 教學重點： 正弦定理及其證明過程． 教學難點： 正弦定理的推導和證明． 教學過程： 一、問題情境 從金字塔的建造到尼羅河兩岸的土地丈量，從大禹治水到都江堰的修建，從天文觀測到精密儀器的制造，人們都離不開對幾何圖形的測量、設計和計算．測量河流兩岸兩碼頭之間的距離，確定待建隧道的長度，確定衛(wèi)星的角度與高度等等，所有這些問題，都可以轉(zhuǎn)化為求三角形的邊或角的問題，這就需要我們進一步探索三角形中的邊角關系． 探索1　我們前面學習過直角三角形中的邊角關系，在Rt中，設，那么邊角之間有哪些關系？ ，，，，，，，,,…… 探索2　在Rt中，我們得到，對于任意三角形，這個結(jié)論還成立嗎？ 二、學生活動 把學生分成兩組，一組驗證結(jié)論對于銳角三角形是否成立，另一組驗證結(jié)論對于鈍角三角形是否成立． 學生通過畫三角形、測量長度及角度，再進行計算，得出結(jié)論成立． 教師再通過幾何畫板軟件進行驗證（如圖1）．對于驗證的結(jié)果不成立的情況，指出這是由于測量的誤差或者計算的錯誤造成的．引出課題——正弦定理． 圖1 三、建構(gòu)數(shù)學 探索3　這個結(jié)論對于任意三角形可以證明是成立的．不妨設為最大角，若為直角，我們已經(jīng)證明結(jié)論成立，如何證明為銳角、鈍角時結(jié)論成立？ 師生共同活動，注意啟發(fā)、引導學生作輔助線，將銳角、鈍角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，進而探索證明過程．經(jīng)過討論，可歸納出如下證法． 證法一　若為銳角（圖2（1）），過點作于，此時有,，所以,即． 同理可得,所以． （1） 　　　　　　圖2　　　　　　?。?） 若為鈍角（圖2（2）），過點作，交的延長線于，此時有，且，同理可得．綜上可得，結(jié)論成立． 證法二　利用三角形的面積轉(zhuǎn)化，先作出三邊上的高、、，則，，． 所以= =，每項同時除以， 得 探索4　充分挖掘三角形中的等量關系，可以探索出不同的證明方法，我們知道向量也是解決問題的重要工具，因此能否從向量的角度來證明這個結(jié)論呢？ 在中，有，設為最大角，過點作于，（圖3），于是，設與的夾角為，則，其中，當為銳角或者直角時，；當為鈍角時，．故可得，即．同理可得．因此． 這里運用向量的數(shù)量積將向量等式轉(zhuǎn)化為數(shù)量等式，我們運用不同的方法證明了三角形中的一個重要定理． 探索5　這個式子中包含哪幾個式子？每個式子中有幾個量？它可以解決斜三角型中的哪些類型的問題？ 三個式子： ，，． 每個式子中都有四個量，如果已知其中三個可求出第四個． 正弦定理可以解決兩類三角形問題： （1）已知兩角與任一邊，求其他兩邊和一角（兩角夾一邊需要先用三角形內(nèi)角和定理求出第三角，再使用正弦定理）； （2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角（從而進一步求出其他的邊和角）． 四、數(shù)學運用 例題 在中： （1）已知，，，求，，； （2）已知，，，求，，； （3）已知，，，解這個三角形． 解?。?）由正弦定理得，即， 因此　　 所以　　，或． 由于　　 故　　　也符合要求，從而本題有兩個解或． 　　?、佼敃r，， ． 　　?、诋敃r， ． （2）由正弦定理得，即 所以,或． 由于，故不符合要求， 從而本題只有一解 ， ． （3）由正弦定理得，所以無解． 學生思考：已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，為什么分別會出現(xiàn)兩解、一解和無解的情況呢？ 鞏固練習： 1.（口答）一個三角形的兩角和邊分別是和，若角所對邊的長為8，那么角所對邊的長是 . 2.(板演) 在中： （1）已知，求，； （2）已知，求，． 3.（板演）根據(jù)下列條件解三角形： （1），， （2），， 五、回顧小結(jié) 本節(jié)課同學們通過自己的努力，發(fā)現(xiàn)并證明了正弦定理．正弦定理揭示了三角形中任意兩邊與其對角的關系，其關系式和諧、對稱．它可以解決斜三角型中這樣的幾類問題：已知三角形中兩邊與一邊的對角，可求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角；已知三角形中的兩角與任意一邊，可求出其他的邊和角；已知三角形中兩邊與它們的對角這四個元素中的兩個元素，可研究出另外兩個元素的關系． 六、課外作業(yè) 課本P11習題1.1第1，2題．