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1、新編高考數(shù)學復習資料 回扣10　概率與統(tǒng)計 1．牢記概念與公式 (1)概率的計算公式 ①古典概型的概率計算公式 P(A)＝； ②互斥事件的概率計算公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； ③對立事件的概率計算公式 P()＝1－P(A)； ④幾何概型的概率計算公式 P(A)＝. (2)抽樣方法 簡單隨機抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣． ①從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，則每個個體被抽到的概率都為； ②分層抽樣實際上就是按比例抽樣，即按各層個體數(shù)占總體的比確定各層應抽取的樣本容量． (3)統(tǒng)計中四個數(shù)據(jù)特征 ①眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)； ②

2、中位數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù)．如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)，就取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)； ③平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)， 即＝(x1＋x2＋…xn)； ④方差與標準差 方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． 標準差： s＝. (4)八組公式 ①離散型隨機變量的分布列的兩個性質(zhì) (ⅰ)pi≥0(i＝1,2，…，n)；(ⅱ)p1＋p2＋…＋pn＝1. ②期望公式 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn. ③期望的性質(zhì) (ⅰ)E(aX＋b)＝aE(X)＋b； (ⅱ)若X～B(n，p)，則E(X)＝np； (ⅲ)若

3、X服從兩點分布，則E(X)＝p. ④方差公式 D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，標準差為. ⑤方差的性質(zhì) (ⅰ)D(aX＋b)＝a2D(X)； (ⅱ)若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)； (ⅲ)若X服從兩點分布，則D(X)＝p(1－p)． ⑥獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式 P(AB)＝P(A)P(B)． ⑦獨立重復試驗的概率計算公式 Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k. ⑧條件概率公式 P(B|A)＝. 2．活用定理與結(jié)論 (1)直方圖的三個結(jié)論 ①小長方形的面積＝組距×＝頻率； ②各小

4、長方形的面積之和等于1； ③小長方形的高＝，所有小長方形高的和為. (2)線性回歸方程＝x＋一定過樣本點的中心(，)． (3)利用隨機變量K2＝來判斷“兩個分類變量有關系”的方法稱為獨立性檢驗．如果K2的觀測值k越大，說明“兩個分類變量有關系”的可能性越大． (4)如果隨機變量X服從正態(tài)分布，則記為X～N(μ，σ2)．滿足正態(tài)分布的三個基本概率的值是：①P(μ－σ

5、生的概率，再求和． 2．正確區(qū)別互斥事件與對立事件的關系：對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件． 3．混淆頻率分布條形圖和頻率分布直方圖，誤把頻率分布直方圖縱軸的幾何意義當成頻率，導致樣本數(shù)據(jù)的頻率求錯． 4．要注意概率P(A|B)與P(AB)的區(qū)別 (1)在P(A|B)中，事件A，B發(fā)生有時間上的差異，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同時發(fā)生． (2)樣本空間不同，在P(A|B)中，事件B成為樣本空間；在P(AB)中，樣本空間仍為Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)． 5．易忘判定隨機變量是否服從二項分布，盲目使

6、用二項分布的期望和方差公式計算致誤． 1．某學校有男學生400名，女學生600名．為了解男、女學生在學習興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學生中抽取男學生40名，女學生60名進行調(diào)查，則這種抽樣方法是(　　) A．抽簽法 B．隨機數(shù)法 C．系統(tǒng)抽樣法 D．分層抽樣法 答案　D 解析　總體由男生和女生組成，比例為400∶600＝2∶3，所抽取的比例也是2∶3，故擬從全體學生中抽取100名學生進行調(diào)查，采用的抽樣方法是分層抽樣法，故選D. 2．200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如圖所示，則時速的眾數(shù)，中位數(shù)的估計值為(　　) A．62,62.5

7、B．65,62 C．65,63.5 D．65,65 答案　D 解析　選出直方圖中最高的矩形求出其底邊的中點即為眾數(shù)；求出從左邊開始小矩形的面積和為0.5對應的橫坐標即為中位數(shù)．最高的矩形為第三個矩形，所以時速的眾數(shù)為65；前兩個矩形的面積為(0.01＋0.02)×10＝0.3，由于0.5－0.3＝0.2，則×10＝5，所以中位數(shù)為60＋5＝65.故選D. 3．同時投擲兩枚硬幣一次，那么互斥而不對立的兩個事件是(　　) A．“至少有1個正面朝上”，“都是反面朝上” B．“至少有1個正面朝上”，“至少有1個反面朝上” C．“恰有1個正面朝上”，“恰有2個正面朝上” D．“至少有

8、1個反面朝上”，“都是反面朝上” 答案　C 解析　同時投擲兩枚硬幣一次，在A中，“至少有1個正面朝上”和“都是反面朝上”不能同時發(fā)生，且“至少有1個正面朝上”不發(fā)生時，“都是反面朝上”一定發(fā)生，故A中兩個事件是對立事件；在B中，當兩枚硬幣恰好一枚正面朝上，一枚反面朝上時，“至少有1個正面朝上”，“至少有1個反面朝上”能同時發(fā)生，故B中兩個事件不是互斥事件；在C中，“恰有1個正面朝上”，“恰有2個正面朝上”不能同時發(fā)生，且其中一個不發(fā)生時，另一個有可能發(fā)生也有可能不發(fā)生，故C中的兩個事件是互斥而不對立的兩個事件；在D中，當兩枚硬幣同時反面朝上時，“至少有1個反面朝上”，“都是反面朝上”能同時

9、發(fā)生，故D中兩個事件不是互斥事件．故選C. 4．采用系統(tǒng)抽樣方法從學號為1到50的50名學生中選取5名參加測試，，則所選5名學生的學號可能是(　　) A．1,2,3,4,5 B．5,26,27,38,49 C．2,4,6,8,10 D．5,15,25,35,45 答案　D 解析　采用系統(tǒng)抽樣的方法時，即將總體分成均衡的若干部分，分段的間隔要求相等，間隔一般為總體的個數(shù)除以樣本容量，據(jù)此即可得到答案．采用系統(tǒng)抽樣間隔為＝10，只有D答案中的編號間隔為10.故選D. 5．道路交通法規(guī)定：行人和車輛路過十字路口時必須按照交通信號指示通行，綠燈行，紅燈停，遇到黃燈時，如已超過停車線

10、須繼續(xù)行進，某十字路口的交通信號燈設置時間是：綠燈48秒，紅燈47秒，黃燈5秒，小張是個特別守法的人，只有遇到綠燈才通過，則他路過該路口不等待的概率為(　　) A．0.95 B．0.05 C．0.47 D．0.48 答案　D 解析　由題意得小張路過該路口不等待的概率為＝0.48. 6．A是圓上固定的一定點，在圓上其他位置任取一點B，連接A，B兩點，它是一條弦，它的長度大于等于半徑長度的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　在圓上其他位置任取一點B，設圓的半徑為R，則B點位置所有情況對應的弧長為圓的周長2πR，其中滿足條件AB的長度大于等于半徑長度的對

11、應的弧長為·2πR，則弦AB的長度大于等于半徑長度的概率P＝＝.故選A. 7．有5張卡片，上面分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5.從這5張卡片中隨機抽取2張，那么取出的2張卡片上的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率為(　　) A.B. C. D. 答案　C 解析　從5張卡片中隨機抽2張的結(jié)果有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10種，2張卡片上的數(shù)字之積為偶數(shù)有7種，故所求概率P＝. 8．在如圖所示的電路圖中，開關a，b，c閉合與斷開的概率都是，且是相互獨立的，則燈亮的概率是(　　) A.B. C.D. 答

12、案　B 解析　設開關a，b，c閉合的事件分別為A，B，C，則燈亮事件D＝ABC∪AB∪AC，且A，B，C相互獨立，ABC，AB，AC互斥，所以P(D)＝P(ABC∪AB∪AC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)＝××＋××＋××＝，故選B. 9．為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關系，隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表 收入x(萬元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y(萬元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根據(jù)上表可得線性回歸方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.據(jù)此估計，該社區(qū)一

13、戶年收入為15萬元的家庭的年支出為(　　) A．11.4萬元 B．11.8萬元 C．12.0萬元 D．12.2萬元 答案　B 解析　由題意知，＝＝10， ＝＝8， ∴＝8－0.76×10＝0.4， ∴當x＝15時，＝0.76×15＋0.4＝11.8(萬元)． 10．設X～N(1，σ2)，其正態(tài)分布密度曲線(隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)，則P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)如圖所示，且P(X≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC中隨機投擲10 000個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值為(　　) A．6 03

14、8 B．6 587 C．7 028 D．7 539 答案　B 解析　由題意知，P(0

15、為. 12．樣本容量為1 000的頻率分布直方圖如圖所示，則樣本數(shù)據(jù)落在[6,14)內(nèi)的頻數(shù)為________． 答案　680 解析　根據(jù)給定的頻率分布直方圖可知，4×(0.02＋0.08＋x＋0.03＋0.03)＝1?x＝0.09，則在[6,14)之間的頻率為4×(0.08＋0.09)＝0.68，所以在[6,14)之間的頻數(shù)為1 000×0.68＝680. 13．已知x，y的取值如表所示. x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 從散點圖分析，y與x線性相關，且＝0.95x＋，則＝________. 答案　2.6 解析　根據(jù)表中數(shù)據(jù)得

16、＝2，＝4.5，又由線性回歸方程知，其斜率為0.95，∴截距＝4.5－0.95×2＝2.6. 14．某商場在兒童節(jié)舉行回饋顧客活動，凡在商場消費滿100元者即可參加射擊贏玩具活動，具體規(guī)則如下：每人最多可射擊3次，一旦擊中，則可獲獎且不再繼續(xù)射擊，否則一直射擊到3次為止．設甲每次擊中的概率為p(p≠0)，射擊次數(shù)為η，若η的期望E(η)＞，則p的取值范圍是________． 答案　 解析　由已知得P(η＝1)＝p，P(η＝2)＝(1－p)p， P(η＝3)＝(1－p)2，則E(η)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞，解得p＞或p<， 又p∈(0,1)，所以p∈.

17、 15．某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表. 工人編號年齡 工人編號年齡 工人編號年齡 工人編號年齡 　1　　40 　10　　36 　19　　27 　28　　34 　2　　44 　11　　31 　20　　43 　29　　39 　3　　40 　12　　38 　21　　41 　30　　43 　4　　41 　13　　39 　22　　37 　31　　38 　5　　33 　14　　43 　23　　34 　32　　42 　6　　40 　15　　45 　24　　42 　33　　53 　7　　45 　16　　39 　25　　37 　34　　37

18、　8　　42 　17　　38 　26　　44 　35　　49 　9　　43 　18　　36 　27　　42 　36　　39 (1)按編號用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本，且在第一分段里用隨機抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44，列出樣本的年齡數(shù)據(jù)； (2)計算(1)中樣本的平均值和方差s2； (3)求這36名工人中年齡在(－s，＋s)內(nèi)的人數(shù)所占的百分比． 解　(1)根據(jù)系統(tǒng)抽樣的方法，抽取容量為9的樣本，應分為9組，每組4人． 由題意可知，抽取的樣本編號依次為2,6,10,14,18,22,26,30,34， 對應樣本的年齡數(shù)據(jù)依次為44,40,36,43,3

19、6,37,44,43,37. (2)由(1)， 得＝＝40， s2＝[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝. (3)由(2)，得＝40，s＝， ∴－s＝36，＋s＝43， 由表可知，這36名工人中年齡在(－s，＋s)內(nèi)的共有23人， 所占的百分比為×100%≈63.89%. 16．某市文化館在春節(jié)期間舉行高中生“藍天海洋杯”象棋比賽，規(guī)則如下：兩名選手比賽時，每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時結(jié)束．假設選手甲與選手乙比賽時，甲每局獲勝的概率皆為，且各局比賽勝負互不影響． (1)求比賽進行4局結(jié)束，且乙比甲多得2分的概率； (2)設ξ表示比賽停止時已比賽的局數(shù)，求隨機變量ξ的分布列和期望． 解　(1)由題意知，乙每局獲勝的概率皆為1－＝. 比賽進行4局結(jié)束，且乙比甲多得2分即前兩局乙勝一局，3,4局連勝，則P＝C····＝. (2)由題意知，ξ的取值為2,4,6， 則P(ξ＝2)＝2＋2＝， P(ξ＝4)＝C···2＋C···2＝， P(ξ＝6)＝2＝， 所以隨機變量ξ的分布列為 ξ 2 4 6 P 則E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝.