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1、新編高考數(shù)學復習資料
第六章 數(shù) 列
第1講 數(shù)列的概念與簡單表示法
一、選擇題
1.數(shù)列{an}:1,-,,-,…的一個通項公式是( )
A.a(chǎn)n=(-1)n+1(n∈N+)
B.a(chǎn)n=(-1)n-1(n∈N+)
C.a(chǎn)n=(-1)n+1(n∈N+)
D.a(chǎn)n=(-1)n-1(n∈N+)
解析 觀察數(shù)列{an}各項,可寫成:,-,,-,故選D.
答案 D
2.把1,3,6,10,15,21這些數(shù)叫做三角形數(shù),這是因為這些數(shù)目的點子可以排成一個正三角形(如圖所示).
則第七個三角形數(shù)是( ).
A.27 B.28 C.29 D.3
2、0
解析 觀察三角形數(shù)的增長規(guī)律,可以發(fā)現(xiàn)每一項與它的前一項多的點數(shù)正好是本身的序號,所以根據(jù)這個規(guī)律計算即可.根據(jù)三角形數(shù)的增長規(guī)律可知第七個三角形數(shù)是1+2+3+4+5+6+7=28.
答案 B
3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2an-1(n∈N*),則a5= ( ).
A.-16 B.16 C.31 D.32
解析 當n=1時,S1=a1=2a1-1,∴a1=1,
又Sn-1=2an-1-1(n≥2),∴Sn-Sn-1=an=2(an-an-1).
∴=2.∴an=1×2n-1,∴a5=24=16.
答案 B
3、
4.將石子擺成如圖的梯形形狀,稱數(shù)列5,9,14,20,…為梯形數(shù),根據(jù)圖形的構(gòu)成,此數(shù)列的第2 014項與5的差即a2 014-5=( ).
A.2 020×2 012 B.2 020×2 013
C.1 010×2 012 D.1 010×2 013
解析 結(jié)合圖形可知,該數(shù)列的第n項an=2+3+4+…+(n+2).所以a2 014-5=4+5+…+2 016=2 013×1 010.故選D.
答案 D
5.在數(shù)列{an}中,an=-2n2+29n+3,則此數(shù)列最大項的值是 ( ).
A.103 B. C. D.108
解
4、析 根據(jù)題意并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得:an=-2n2+29n+3=-2+3=-22+3+,
∴n=7時,an取得最大值,最大項a7的值為108.
答案 D
6.定義運算“*”,對任意a,b∈R,滿足①a*b=b*a;②a*0=a;(3)(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b).設數(shù)列{an}的通項為an=n**0,則數(shù)列{an}為( ).
A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列
C.遞增數(shù)列 D.遞減數(shù)列
解析 由題意知an=*0=0]n·+(n*0)+)=1+n+,顯然數(shù)列{an}
既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列;又函數(shù)y=x+在[1,+∞)上為增函數(shù),
所以數(shù)列
5、{an}為遞增數(shù)列.
答案 C
二、填空題
7.在函數(shù)f(x)=中,令x=1,2,3,…,得到一個數(shù)列,則這個數(shù)列的前5項是________.
答案 1,,,2,
8.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且an=n(an+1-an)(n∈N*),則a2=________;an=________.
解析 由an=n(an+1-an),可得=,
則an=···…··a1=×××…××1=n,∴a2=2,an=n.
答案 2 n
9.已知f(x)為偶函數(shù),f(2+x)=f(2-x),當-2≤x≤0時,f(x)=2x,若n∈N*,an=f(n),則a2 013=________.
解析
6、∵f(x)為偶函數(shù),∴f(x)=f(-x),
∴f(x+2)=f(2-x)=f(x-2).
故f(x)周期為4,
∴a2 013=f(2 013)=f(1)=f(-1)=2-1=.
答案
10.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-9n,第k項滿足5<ak<8,則k的值為________.
解析 ∵Sn=n2-9n,
∴n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n-10,
a1=S1=-8適合上式,∴an=2n-10(n∈N*),
∴5<2k-10<8,得7.5<k<9.∴k=8.
答案 8
三、解答題
11.數(shù)列{an}的通項公式是an=n2-7n+6.
(1)這個數(shù)列的
7、第4項是多少?
(2)150是不是這個數(shù)列的項?若是這個數(shù)列的項,它是第幾項?
(3)該數(shù)列從第幾項開始各項都是正數(shù)?
解 (1)當n=4時,a4=42-4×7+6=-6.
(2)令an=150,即n2-7n+6=150,解得n=16,即150是這個數(shù)列的第16項.
(3)令an=n2-7n+6>0,解得n>6或n<1(舍),
∴從第7項起各項都是正數(shù).
12.若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=.
(1)求證:成等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式.
(1)證明 當n≥2時,由an+2SnSn-1=0,
得Sn-Sn-
8、1=-2SnSn-1,所以-=2,
又==2,故是首項為2,公差為2的等差數(shù)列.
(2)解 由(1)可得=2n,∴Sn=.
當n≥2時,
an=Sn-Sn-1=-==-.
當n=1時,a1=不適合上式.
故an=
13.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1=a(a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N*.
(1)設bn=Sn-3n,求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范圍.
解 (1)依題意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,
即Sn+1=2Sn+3n,由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),
又S1-31=a-3(a≠3)
9、,故數(shù)列{Sn-3n}是首項為a-3,公比為2的等比數(shù)列,
因此,所求通項公式為bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,n∈N*.
(2)由(1)知Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N*,
于是,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=2×3n-1+(a-3)2n-2,
當n=1時,a1=a不適合上式,
故an=
an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2
=2n-2,
當n≥2時,an+1≥an?12·n-2+a-3≥0?a≥-9.
又a2=a1+3>a1.
綜上,所求的a的取值范圍是[-9,+∞).
14.在等差
10、數(shù)列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)對任意m∈N*,將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項的個數(shù)記為bm,求數(shù)
列{bm}的前m項和Sm.
解 (1)因為{an}是一個等差數(shù)列,
所以a3+a4+a5=3a4=84,即a4=28.
設數(shù)列{an}的公差為d,則5d=a9-a4=73-28=45,故d=9.
由a4=a1+3d得28=a1+3×9,即a1=1.
所以an=a1+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8(n∈N*).
(2)對m∈N*,若9m<an<92m,
則9m+8<9n<92m+8,因此9m-1+1≤n≤92m-1,
故得bm=92m-1-9m-1.
于是Sm=b1+b2+b3+…+bm
=(9+93+…+92m-1)-(1+9+…+9m-1)
=-
=.