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七　極坐標與參數方程(B) 1.(2018順德區(qū)一模)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為x=cosα,y=sinα(α為參數),曲線C1經過坐標變換x=2x,y=y后得到的軌跡為曲線C2. (1)求C2的極坐標方程; (2)在以O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標中,射線θ=π6與C1的異于極點的交點為A,與C2的異于極點的交點為B,求|AB|. 2.(2018日照二模)在直角坐標系xOy中,直線l的方程為x-y-2=0.在以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立的極坐標系中,曲線Γ:ρcos2θ=ρ-2cos θ. (1)求曲線Γ的直角坐標方程; (2)若點P的坐標為(-2,-4),直線l和曲線Γ相交于M,N兩點,證明:|MN|2=|PM||PN|. 3.(2018六安高三模擬)在平面直角坐標系xOy中,曲線C1過點P(a,1),其參數方程為x=a+22t,y=1+22t(t為參數,a∈R),以O為極點,x軸非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρcos 2θ+ 4cos θ-ρ=0. (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程; (2)若已知曲線C1和曲線C2交于A,B兩點,且|PA|=2|PB|,求實數a 的值. 4.(2018思明區(qū)校級模擬)在以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立的極坐標系中,曲線C1的極坐標方程為ρ=2,正三角形ABC的頂點都在C1上,且A,B,C依逆時針次序排列,點A的坐標為(2,0). (1)求點B,C的直角坐標; (2)設P是圓C2:x2+(y+3)2=1上的任意一點,求|PB|2+|PC|2的取值 范圍. 1.解:(1)曲線C1的參數方程為x=cosα,y=sinα(α為參數), 轉化為直角坐標方程為x2+y2=1, 曲線C1經過坐標變換x=2x,y=y后得到的軌跡為曲線C2. 即x24+y′2=1, 故C2的直角坐標方程為x24+y2=1. 轉化為極坐標方程為ρ2cos2θ4+ρ2sin2θ=1. (2)曲線C1的參數方程為x=cosα,y=sinα(α為參數),轉化為極坐標方程為ρ1=1, 由題意得到A(1,π6), 將B(ρ2,π6)代入坐標方程ρ2cos2θ4+ρ2sin2θ=1. 得到ρ2=477, 則|AB|=|ρ1-ρ2|=477-1. 2.(1)解:因為Γ:ρcos2θ=ρ-2cos θ, 所以ρ-ρcos2θ=2cos θ, 所以ρsin2θ=2cos θ, 所以曲線Γ的直角坐標方程為y2=2x. (2)證明:因為直線l的方程為x-y-2=0, 所以定點P(-2,-4)在直線l上, 所以直線l的參數方程為x=-2+22t,y=-4+22t(t為參數). 將曲線C的直角坐標方程和直線l的參數方程聯立, 得t2-102t+40=0(*) 因為Δ=(-102)2-4140=40>0, 所以直線l和曲線Γ相交,設交點M,N所對應參數分別為t1,t2, t1+t2=102,t1t2=40, 則|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|, 故|MN|2=|t1-t2|2=t12+t22-2t1t2 =(t1+t2)2-4t1t2 =(102)2-4140=40, 又|PM||PN|=|t1||t2|=|t1t2|=40, 所以|MN|2=|PM||PN|. 3.解:(1)C1的參數方程x=a+22t,y=1+22t(t為參數,a∈R) 消參得普通方程為x-y-a+1=0, C2的極坐標方程為ρcos2θ+4cos θ-ρ=0兩邊同乘ρ得ρ2cos2θ+4ρcos θ- ρ2=0 即y2=4x. (2)將曲線C1的參數方程x=a+22t,y=1+22t(t為參數,a∈R)代入曲線C2:y2=4x得12t2-2t+1-4a=0, 由Δ=(-2)2-412(1-4a)>0,得a>0, 設A,B對應的參數分別為t1,t2,由題意得|t1|=2|t2|, 即t1=2t2或t1=-2t2, 當t1=2t2時,t1=2t2,t1+t2=22,t1t2=2(1-4a),解得a=136, 當t1=-2t2時,t1=-2t2,t1+t2=22,t1t2=2(1-4a),解得a=94, 綜上,a=136或94. 4.解:(1)因為曲線C1的極坐標方程為ρ=2,所以曲線C1的直角坐標方程為x2+y2=4, 因為正三角形ABC的頂點都在C1上,且A,B,C依逆時針次序排列,點A的坐標為(2,0), 所以B點的坐標為(2cos 120,2sin 120),即B(-1,3), C點的坐標為(2cos 240,2sin 240),即C(-1,-3). (2)因為圓C2:x2+(y+3)2=1, 所以圓C2的參數方程x=cosα,y=-3+sinα,0≤α<2π, 設點P(cos α,-3+sin α),0≤α<2π, 所以|PB|2+|PC|2=(cos α+1)2+(sin α-23)2+(cos α+1)2+sin2α=16+4cos α-43sin α=16+8cos(α+π3), 所以|PB|2+|PC|2的取值范圍是[8,24].