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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 學(xué)案26　平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題.6.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題． 自主梳理 1．向量的夾角 (1)已知兩個(gè)非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的________． (2)向量夾角θ的范圍是________________，a與b同向時(shí)，夾角

2、θ＝______；a與b反向時(shí)，夾角θ＝______. (3)如果向量a與b的夾角是________，我們說(shuō)a與b垂直，記作________． 2．向量數(shù)量積的定義 (1)向量數(shù)量積的定義：______________________，其中|a|cos〈a，b〉叫做向量a在b方向上的投影． (2)向量數(shù)量積的性質(zhì)： ①如果e是單位向量，則a·e＝e·a＝______________； ②非零向量a，b，a⊥b?________； ③a·a＝________或|a|＝________； ④cos〈a，b〉＝______________； ⑤|a·b|____|a||b|. 3

3、．向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)交換律：a·b＝________； (2)分配律：(a＋b)·c＝________________； (3)數(shù)乘向量結(jié)合律：(λa)·b＝a·(λb)＝____________＝λa·b. 4．向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與度量公式 (1)兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積的和，即若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a·b＝____________； (2)設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a⊥b?____________； (3)設(shè)向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則|a|＝________________， cos〈a，b〉

4、＝_______________. (4)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝________________，所以||＝_____________. 自我檢測(cè) 1．(2010·湖南改編)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，則·＝________. 2．(2010·重慶改編)已知向量a，b滿足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－b|＝________. 3．已知a＝(1,0)，b＝(1,1)，(a＋λb)⊥b，則λ＝________. 4．平面上有三個(gè)點(diǎn)A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為_(kāi)_______________． 5．(20

5、09·天津)若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足＝＋，則·＝________. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究點(diǎn)一　向量的模及夾角問(wèn)題 例1　已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61. (1)求a與b的夾角θ；(2)求|a＋b|； (3)若＝a，＝b，求△ABC的面積． 變式遷移1　(1)已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)·(b－c)＝0，則|c|的最大值為_(kāi)_______． (2)已知i，j為互相垂直的單位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a與b的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為_(kāi)___

6、____． 探究點(diǎn)二　兩向量的平行與垂直問(wèn)題 例2　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且ka＋b的長(zhǎng)度是a－kb的長(zhǎng)度的倍(k>0)． (1)求證：a＋b與a－b垂直； (2)用k表示a·b； (3)求a·b的最小值以及此時(shí)a與b的夾角θ. 變式遷移2　(2009·江蘇)設(shè)向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)． (1)若a與b－2c垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； (3)若tan αtan β＝16，求證：a∥b.

7、 探究點(diǎn)三　向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用 例3　已知向量a＝， b＝，且x∈. (1)求a·b及|a＋b|； (2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值． 變式遷移3　在三角形ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且2sin2＋cos 2C＝1. (1)求角C的大??； (2)若向量m＝(3a，b)，向量n＝，m⊥n，(m＋n)·(－m＋n)＝－16.求a、b、c的值． 1．一些常見(jiàn)的錯(cuò)誤結(jié)論： (1)若|a|＝|b|，則a＝b；(2)若a2＝b2，則a＝b；(3)若a∥b，b∥c，則a∥c；(4)若a·b＝0，

8、則a＝0或b＝0； (5)|a·b|＝|a|·|b|；(6)(a·b)c＝a(b·c)；(7)若a·b＝a·c，則b＝c.以上結(jié)論都是錯(cuò)誤的，應(yīng)用時(shí)要注意． 2．證明直線平行、垂直、線段相等等問(wèn)題的基本方法有： (1)要證AB＝CD，可轉(zhuǎn)化證明2＝2或||＝||. (2)要證兩線段AB∥CD，只要證存在唯一實(shí)數(shù)λ≠0，使等式＝λ成立即可． (3)要證兩線段AB⊥CD，只需證·＝0. (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)_______． 2．已知△ABC

9、中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，則∠BAC＝________. 3．(2010·湖南改編)若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，則a與b的夾角為_(kāi)_______． 4．(2010·英才苑高考預(yù)測(cè))已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，則a在b上的投影為_(kāi)_______． 5．(2011·南京月考)設(shè)a＝(cos 2α，sin α)，b＝(1，2sin α－1)，α∈，若a·b＝，則sin α＝________. 6．(2010·廣東金山中學(xué)高三第二次月考)若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為_(kāi)____

10、___． 7．已知點(diǎn)A、B、C滿足||＝3，||＝4，||＝5，則·＋·＋·的值是________． 8．已知向量m＝(1,1)，向量n與向量m夾角為，且m·n＝－1，則向量n＝__________________. 二、解答題(共42分) 9．(12分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)且＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)，在線段OC上是否存在點(diǎn)M，使⊥，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 10．(14分)已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝(cos，sin)． (1)求證：a⊥b； (2)若存在不等于0的實(shí)數(shù)k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－

11、ka＋tb，滿足x⊥y，試求此時(shí)的最小值． 11．(16分)(2010·濟(jì)南三模)已知a＝(1,2sin x)，b＝，函數(shù)f(x)＝a·b (x∈R)． (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間； (2)若f(x)＝，求cos的值． 答案 自主梳理 1．(1)夾角　(2)[0，π]　0　π　(3)　a⊥b　2.(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉　(2)①|(zhì)a|cos〈a，e〉　②a·b＝0 ③|a|2　?、堋、荨堋?.(1)b·a　(2)a·c＋b·c　(3)λ(a·b)　4.(1)a1b1＋a2b2　(2)a1b1＋a2b2＝0 (3)　　(4)(x

12、2－x1，y2－y1) 自我檢測(cè) 1．16 解析　因?yàn)椤螩＝90°，所以·＝0， 所以·＝(＋)·＝()2＋·＝16. 2．2 解析　|2a－b|＝ ＝＝＝2. 3．－ 解析　由(a＋λb)·b＝0得a·b＋λ|b|2＝0， ∴1＋2λ＝0，∴λ＝－. 4．y2＝8x(x≠0) 解析　由題意得＝， ＝，又⊥，∴·＝0， 即·＝0，化簡(jiǎn)得y2＝8x(x≠0)． 5．－2 解析　合理建立直角坐標(biāo)系，因?yàn)槿切问钦切?，故設(shè)C(0,0)，A(2，0)，B(，3)，這樣利用向量關(guān)系式，求得 M，然后求得＝，＝，所以·＝－2. 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解　(1)

13、∵(2a－3b)(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6. ∴cos θ＝＝＝－. 又0≤θ≤π，∴θ＝. (2)|a＋b|＝＝ ＝＝. (3)∵與的夾角θ＝， ∴∠ABC＝π－＝. 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3， ∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3. 變式遷移1　(1)　(2)λ<且λ≠－2 解析　(1)∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0， 展開(kāi)(a－c)·(b－c)＝0?|c|2＝c·(a＋b) ＝|c|·|a＋b|cos θ，∴|c|＝|a＋

14、b|cos θ＝cos θ， ∴|c|的最大值是. (2)∵〈a，b〉∈(0，)，∴a·b>0且a·b不同向． 即|i|2－2λ|j|2>0，∴λ<. 當(dāng)a·b同向時(shí)，由a＝λb(λ>0)得λ＝－2. ∴λ<且λ≠－2. 例2　解題導(dǎo)引　1.非零向量a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 2．當(dāng)向量a與b是非坐標(biāo)形式時(shí)，要把a(bǔ)、b用已知的不共線的向量表示．但要注意運(yùn)算技巧，有時(shí)把向量都用坐標(biāo)表示，并不一定都能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算，要因題而異． 解　(1)由題意得，|a|＝|b|＝1， ∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0， ∴a＋b與a－b垂直． (2)|ka＋b|2＝k

15、2a2＋2ka·b＋b2＝k2＋2ka·b＋1， (|a－kb|)2＝3(1＋k2)－6ka·b. 由條件知，k2＋2ka·b＋1＝3(1＋k2)－6ka·b， 從而有，a·b＝(k>0)． (3)由(2)知a·b＝＝(k＋)≥， 當(dāng)k＝時(shí)，等號(hào)成立，即k＝±1.∵k>0，∴k＝1. 此時(shí)cos θ＝＝，而θ∈[0，π]，∴θ＝. 故a·b的最小值為，此時(shí)θ＝. 變式遷移2　(1)解　因?yàn)閍與b－2c垂直，所以a·(b－2c) ＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0.

16、因此tan(α＋β)＝2. (2)解　由b＋c＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)， 得|b＋c|＝ ＝≤4. 又當(dāng)β＝－時(shí)，等號(hào)成立，所以|b＋c|的最大值為4. (3)證明　由tan αtan β＝16得＝， 所以a∥b. 例3　解題導(dǎo)引　與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及其應(yīng)用是高考熱點(diǎn)題型．解答此類(lèi)問(wèn)題，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，向量模、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式外，還應(yīng)掌握三角恒等變換的相關(guān)知識(shí)． 解　(1)a·b＝cos xcos －sin xsin ＝cos 2x， |a＋b|＝ ＝＝2|cos x|，∵x∈，∴cos x>

17、0， ∴|a＋b|＝2cos x. (2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1 ＝22－.∵x∈，∴≤cos x≤1， ∴當(dāng)cos x＝時(shí)，f(x)取得最小值－； 當(dāng)cos x＝1時(shí)，f(x)取得最大值－1. 變式遷移3　解　(1)∵2sin2＋cos 2C＝1， ∴cos 2C＝1－2sin2＝cos(A＋B)＝－cos C. ∴2cos2C＋cos C－1＝0. ∴cos C＝或－1. ∵C∈(0，π)，∴C＝. (2)∵m⊥n，∴3a2－＝0，即b2＝9a2. ① 又(m＋n)·(－m＋n)＝－16， ∴－8a2－b2＝－16，即

18、a2＋＝2.② 由①②可得a2＝1，b2＝9，∴a＝1，b＝3. 又c2＝a2＋b2－2abcos C＝7，∴c＝. 課后練習(xí)區(qū) 1．6 解析　由(2a＋3b)·(ka－4b)＝0得2k－12＝0，∴k＝6. 2．150° 解析　∵S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝， ∴sin∠BAC＝.又a·b<0， ∴∠BAC為鈍角．∴∠BAC＝150°. 3．120° 解析　由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＝－|b|2. cos〈a，b〉＝＝＝－. ∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°. 4. 解析　因?yàn)閍·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉，

19、 所以，a在b上的投影為|a|·cos〈a，b〉 ＝＝＝＝. 5. 解析　∵a·b＝cos 2α＋2sin2α－sin α＝， ∴1－2sin2α＋2sin2α－sin α＝，∴sin α＝. 6．120° 解析　設(shè)a與b的夾角為θ，∵c＝a＋b，c⊥a， ∴c·a＝0，即(a＋b)·a＝0.∴a2＋a·b＝0. 又|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos θ＝0. ∴cos θ＝－，θ∈[0°，180°]，即θ＝120°. 7．－25 解析　如圖， 根據(jù)題意可得△ABC為直角三角形， 且∠B＝，cos A＝，cos C＝， ∴·＋·＋· ＝·＋·＝4×5co

20、s(π－C)＋5×3cos(π－A)＝－20cos C－15cos A＝－20×－15×＝－25. 8．(－1,0)或(0，－1) 解析　設(shè)n＝(x，y)，由m·n＝－1， 有x＋y＝－1.① 由m與n夾角為， 有m·n＝|m|·|n|cos ， ∴|n|＝1，則x2＋y2＝1.② 由①②解得或， ∴n＝(－1,0)或n＝(0，－1)． 9．解　設(shè)存在點(diǎn)M，且＝λ＝(6λ，3λ) (0≤λ≤1)， ∴＝(2－6λ，5－3λ)，＝(3－6λ，1－3λ)．……………………………………(4分) ∵⊥， ∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，……………………

21、…………………………(8分) 即45λ2－48λ＋11＝0， 解得λ＝或λ＝. ∴M點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)或. 故在線段OC上存在點(diǎn)M，使⊥，且點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1)或(，)．………(12分) 10．(1)證明　∵a·b＝cos(－θ)·cos＋sin·sin ＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0.∴a⊥b.……………………………………………………(4分) (2)解　由x⊥y得，x·y＝0， 即[a＋(t2＋3)b]·(－ka＋tb)＝0， ∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]a·b＝0， ∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0.…………………

22、……………………………………………(8分) 又|a|2＝1，|b|2＝1， ∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t.…………………………………………………………(10分) ∴＝＝t2＋t＋3 ＝2＋. 故當(dāng)t＝－時(shí)，有最小值.………………………………………………………(14分) 11．解　(1)f(x)＝a·b＝2cos＋2sin x ＝2cos xcos －2sin xsin ＋2sin x ＝cos x＋sin x＝2sin.…………………………………………………………(5分) 由＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z. 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 (k∈Z)．……………………………………………………………(8分) (2)由(1)知f(x)＝2sin. 又因?yàn)?sin＝， 所以sin＝，………………………………………………………………………(12分) 即sin＝cos＝cos＝. 所以cos＝2cos2－1＝.………………………………………………（16分）