2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 課時(shí)作業(yè)16 反證法 新人教A版選修2-2.doc
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課時(shí)作業(yè)16 反證法 |基礎(chǔ)鞏固|(25分鐘,60分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不小于60”時(shí),反設(shè)正確的是( ) A.假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都小于60 B.假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都大于60 C.假設(shè)三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60 D.假設(shè)三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60 解析:“至少有一個(gè)”的反設(shè)詞是“一個(gè)也沒有”.故選A. 答案:A 2.否定“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)正確的反設(shè)為( ) A.a(chǎn),b,c都是奇數(shù) B.a(chǎn),b,c都是偶數(shù) C.a(chǎn),b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù) D.a(chǎn),b,c中或都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù) 解析:恰有一個(gè)偶數(shù)的否定有兩種情況,其一是無偶數(shù)(全為奇數(shù)),其二是至少有兩個(gè)偶數(shù),故選D. 答案:D 3.下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是( ) A.在△ABC中,若∠A=90,則∠B一定是銳角 B., , 不可能成等差數(shù)列 C.在△ABC中,若a>b>c,則∠C>60 D.若n為整數(shù)且n2為偶數(shù),則n是偶數(shù) 解析:顯然A、B、D命題均真,C項(xiàng)中若a>b>c, 則A>B>C, 若∠C>60,則A>60,B>60, ∴A+B+C>180與A+B+C=180矛盾.故選C. 答案:C 4.設(shè)x>0,則方程x+=2sinx的根的情況是( ) A.有實(shí)根 B.無實(shí)根 C.恰有一實(shí)根 D.無法確定 解析:x>0時(shí),x+≥2,而2sinx≤2,但此二式中“=”不可能同時(shí)取得,∴x+=2sinx無實(shí)根. 答案:B 5.設(shè)x,y,z都是正實(shí)數(shù),a=x+,b=y(tǒng)+,c=z+,則a,b,c三個(gè)數(shù)( ) A.至少有一個(gè)不大于2 B.都小于2 C.至少有一個(gè)不小于2 D.都大于2 解析:若a,b,c都小于2,則a+b+c<6①,而a+b+c=x++y++z+≥6②,顯然①,②矛盾,所以C正確. 答案:C 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.用反證法證明命題“若a2+b2=0,則a,b全為0(a,b為實(shí)數(shù))”,其反設(shè)為________________________________________________________________________. 解析:“a,b全為0”即是“a=0且b=0”, 因此它的反設(shè)為“a≠0或b≠0”. 答案:a,b不全為0 7.命題“關(guān)于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的”的結(jié)論的否定是________________________________________________________________________. 解析:方程解的情況有:①無解;②唯一解;③兩個(gè)或兩個(gè)以上的解. 答案:無解或至少兩解 8.用反證法證明命題:“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過程歸納為以下三個(gè)步驟: ①∠A+∠B+∠C=90+90+∠C>180,這與三角形內(nèi)角和為180相矛盾,∠A=∠B=90不成立. ②所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角. ③假設(shè)∠A、∠B、∠C中有兩個(gè)角是直角,不妨設(shè)∠A=∠B=90. 正確順序的排列為________. 解析:反證法的步驟是:先假設(shè)命題不成立,然后通過推理得出矛盾,最后否定假設(shè),得到命題是正確的. 答案:③①② 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.已知三個(gè)正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,但不成等差數(shù)列,求證:,,不成等差數(shù)列. 證明:假設(shè),,成等差數(shù)列,則 +=2,即a+c+2=4b, 而b2=ac,即b=, ∴a+c+2=4,∴(-)2=0. 即=, 從而a=b=c,與a,b,c不成等差數(shù)列矛盾, 故,,不成等差數(shù)列. 10.求證:過一點(diǎn)只有一條直線與已知平面垂直. 解析:已知:平面α和一點(diǎn)P. 求證:過點(diǎn)P與α垂直的直線只有一條. 證明如下:如圖所示,不論點(diǎn)P在α內(nèi)還是在α外,設(shè)PA⊥α,垂足為A(或P). 假設(shè)過點(diǎn)P還有另一條直線PB⊥α, 設(shè)PA,PB確定的平面為β,且α∩β=a, 于是在平面β內(nèi)過點(diǎn)P有兩條直線PA,PB垂直于a,這與過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直相矛盾, ∴假設(shè)不成立,原命題成立. |能力提升|(20分鐘,40分) 11.有以下結(jié)論: ①已知p3+q3=2,求證p+q≤2,用反證法證明時(shí),可假設(shè)p+q≥2; ②已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求證方程x2+ax+b=0的兩根的絕對(duì)值都小于1,用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的絕對(duì)值大于或等于1,即假設(shè)|x1|≥1.下列說法中正確的是( ) A.①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤 B.①與②的假設(shè)都正確 C.①的假設(shè)正確;②的假設(shè)錯(cuò)誤 D.①的假設(shè)錯(cuò)誤;②的假設(shè)正確 解析:用反證法證題時(shí)一定要將對(duì)立面找全.在①中應(yīng)假設(shè)p+q>2.故①的假設(shè)是錯(cuò)誤的,而②的假設(shè)是正確的,故選D. 答案:D 12.完成反證法證題的全過程. 題目:設(shè)a1,a2,…,a7是由數(shù)字1,2,…,7任意排成的一個(gè)數(shù)列,求證:乘積p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)為偶數(shù). 證明:假設(shè)p為奇數(shù),則________均為奇數(shù). 因奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù),故有 奇數(shù)=________________ =________________ =0. 但奇數(shù)≠偶數(shù),這一矛盾說明p為偶數(shù). 解析:由假設(shè)p為奇數(shù)可知a1-1,a2-2,…,a7-7均為奇數(shù),故(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0為奇數(shù),這與0為偶數(shù)矛盾. 答案:a1-1,a2-2,…,a7-7 (a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7) (a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7) 13.已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd>1.求證:a,b,c,d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù). 證明:假設(shè)a,b,c,d都是非負(fù)數(shù), 因?yàn)閍+b=c+d=1, 所以(a+b)(c+d)=1. 又(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd, 所以ac+bd≤1, 這與已知ac+bd>1矛盾, 所以a,b,c,d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù). 14.若a,b,c均為實(shí)數(shù)且a=x2-2y+,b=y(tǒng)2-2z+,c=z2-2x+.求證:a,b,c中至少有一個(gè)大于0. 證明:假設(shè)a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0, 則有a+b+c≤0. 而a+b+c=x2-2y++y2-2z++z2-2x+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3, 因?yàn)?x-1)2,(y-1)2,(z-1)2均大于或等于0,且π-3>0, 所以a+b+c>0,這與假設(shè)a+b+c≤0矛盾,故假設(shè)不成立.所以a,b,c中至少有一個(gè)大于0.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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