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新編湖北版高考數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編 專題10 立體幾何含解析理

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1、 專題10 立體幾何 一.選擇題 10. 1.【2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷10】如圖,在三棱柱ABC—A′B′C′中,點(diǎn)E、F、H、 K分別為AC′、CB′、A′B、B′C′的中點(diǎn),G為△ABC的重心. 從K、H、G、B′中取一點(diǎn)作為P, 使得該棱柱恰有2條棱與平面PEF平行,則P為 ( ) A.K B.H C.G D.B′ 【答案】C 2. 【2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷】關(guān)于直線與平面,有以下四個(gè)命題: ①若且,則; ②若且,則; ③若且,則; ④若且,則; 其中真命題的序號(hào)是 ( ) A.

2、①② B.③④ C.①④ D.②③ 【答案】D. 【解析】 試題分析:用排除法可得選D. 3.【2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷4】平面外有兩條直線和,如果和在平面內(nèi)的射影分別是和,給出下列四個(gè)命題: ①; ②; ③與相交與相交或重合; ④與平行與平行或重合. 其中不正確的命題個(gè)數(shù)是( ?。? A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D A B C D A1 B1 C1 D1 4.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷4

3、】已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ) 俯視圖 側(cè)視圖 2 正視圖 第4題圖 4 2 4 2 A. B. C. D. 5.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷8】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體從上到下由四個(gè)簡(jiǎn)單幾何體組成,其體積分別記為,,,,上面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體,下面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為多面體,則有( ) A. B. C. D.

4、 【答案】C 【解析】 試題分析:由柱體和臺(tái)體的體積公式可知選C 6.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷5】在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中,一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),給出編號(hào)①、②、③、④的四個(gè)圖,則該四面體的正視圖和俯視圖分別為( ) A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和② 二.填空題 1.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷14】如圖,直角坐標(biāo)系xOy所在的平面為,直角坐標(biāo)系(其中軸與y軸重合)所在的平面, (Ⅰ)已知平面

5、內(nèi)有一點(diǎn),則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影P的坐標(biāo)為(Ⅱ)已知平面內(nèi)的曲線C/的方程是,則曲線C/在平面內(nèi)的射影C的方程是 【答案】 【解析】 試題分析:設(shè)平面內(nèi)的點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為,則,故在平面內(nèi)的射影P的坐標(biāo)為;另:由得,即. 三.解答題 1.【2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷20】如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD為矩形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E為PD的中點(diǎn). (Ⅰ)求直線AC與PB所成角的余弦值; (Ⅱ)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N,使NE⊥面PAC,并求出N點(diǎn)到AB和AP的距離. 【解析】解法1:(Ⅰ)

6、建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)為A(0,0,0)、 B(,0,0)、C(,1,0)、D(0,1,0)、 P(0,0,2)、E(0,,1), 解法2:(Ⅰ)設(shè)AC∩BD=O,連OE,則OE//PB, ∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角. 在△AOE中,AO=1,OE= ∴ 即AC與PB所成角的余弦值為. (Ⅱ)在面ABCD內(nèi)過D作AC的垂線交AB于F,則. 2.【2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷】如圖,在棱長為1的正方體中,是側(cè)棱上的一點(diǎn),。 (Ⅰ)、試確定,使直線與平面所成角的正切值為; (Ⅱ)、在線段上

7、是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q,使得對(duì)任意的,D1Q在平面上的射影垂直于,并證明你的結(jié)論。 3.【2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖,在三棱錐V-ABC中,VC⊥底面ABC,AC⊥BC, D是AB的中點(diǎn),且AC=BC=a,∠VDC=θ. (Ⅰ)求證:平面VAB⊥平面VCD; (Ⅱ)當(dāng)角θ變化時(shí),求直線BC與平面VAB所成的角的取 值范圍. A D B C H V 解法2:(Ⅰ)以所在的直線分別為軸、軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則, A D B C V x y z 解法3:(Ⅰ)以點(diǎn)為原點(diǎn),以所在的直線分

8、別為軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)即直線與平面所成角的取值范圍為. A D B C V x y A D B C V x y z (Ⅱ)設(shè)直線與平面所成的角為, 4.【2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥側(cè)面A1ABB1. (Ⅰ)求證:AB⊥BC; (Ⅱ)若直線AC與平面A1BC所成的角為θ,二面角A1-BC-A的大小為φ的大小關(guān)系,并予以證明. 【解析】(Ⅰ)證明:如右圖,過點(diǎn)A在平面A1ABB1內(nèi)作 AD⊥A1B于D,則 由平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1,且平面A

9、1BC側(cè)面A1ABB1=A1B,得 AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC, 所以AD⊥BC. 因?yàn)槿庵鵄BC—A1B1C1是直三棱柱, 則AA1⊥底面ABC, 所以AA1⊥BC. 又AA1AD=A,從而BC⊥側(cè)面A1ABB1, 又AB側(cè)面A1ABB1,故AB⊥BC. 所以 于是由c<b,得 即又所以 5.【2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖,四棱錐S—ABCD的底面是正方形,SD平面ABCD,SD=2a,點(diǎn)E是SD上的點(diǎn),且 (Ⅰ)求證:對(duì)任意的,都有 (Ⅱ)設(shè)二面角C—AE—D的大小為,直線BE與平面ABCD所成的角為,若,求的值

10、18.【解析】(Ⅰ)證法1:如圖1,連接BE、BD,由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD。 SD⊥平面ABCD,BD是BE在平面ABCD上的射影,AC⊥BE 解法2:由(I)得. 設(shè)平面ACE的法向量為n=(x,y,z),則由得 。 易知平面ABCD與平面ADE的一個(gè)法向量分別為. . 0<,, . 由于,解得,即為所求。 6.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖, 在四面體ABOC中, , 且 (Ⅰ)設(shè)為為的中點(diǎn), 證明: 在上存在一點(diǎn),使,并計(jì)算的值; (Ⅱ)求二面角的平面角

11、的余弦值。 (Ⅱ) 連接 , 由,知:. 又, 又由,。 是在平面內(nèi)的射影。 在等腰中,為的中點(diǎn), 根據(jù)三垂線定理,知: 7.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖,已知正三棱柱的各棱長是4,E是BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)棱上,且不與點(diǎn)C重合 (Ⅰ)當(dāng)CF=1時(shí),求證:; (Ⅱ)設(shè)二面角C-AF-E的大小為,求的最小值。 8.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷19】如圖1,,,過動(dòng)點(diǎn)A作,垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B,連接AB,沿將△折起,使(如圖2所示). (Ⅰ)當(dāng)?shù)拈L為多少

12、時(shí),三棱錐的體積最大; (Ⅱ)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),設(shè)點(diǎn),分別為棱,的中點(diǎn),試在D A B C A C D B 圖2 圖1 M E . · 棱上確定一 點(diǎn),使得,并求與平面所成角的大?。? 【解析】 解法1:在如圖1所示的△中,設(shè),則. 由,知,△為等腰直角三角形,所以. 由折起前知,折起后(如圖2),,,且, 所以平面.又,所以.于是 設(shè)與平面所成角的大小為,則由,,可得 ,即. 故與平面所成角的大小為 解法2:由(Ⅰ)知,當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),,. 如圖b,

13、取的中點(diǎn),連結(jié),,,則∥. 由(Ⅰ)知平面,所以平面. 如圖c,延長至P點(diǎn)使得,連,,則四邊形為正方形, 所以. 取的中點(diǎn),連結(jié),又為的中點(diǎn),則∥, 9.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷19】如圖,是圓的直徑,點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn),直線平面,,分別是,的中點(diǎn)。 (I)記平面與平面的交線為,試判斷直線與平面的位置關(guān)系,并加以證明; (II)設(shè)(I)中的直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,且點(diǎn)滿足。記直線與平面所成的角為,異面直線與所成的角為,二面角的大小為,求證:。 第19題圖 【解析】(1)解:直線l∥平面PAC,證明如下: 連接EF,因?yàn)镋,F(xiàn)分別是PA,PC的中點(diǎn),

14、 所以EF∥AC. 又EF平面ABC,且AC平面ABC, 所以EF∥平面ABC. 而EF平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,所以EF∥l. 因?yàn)閘平面PAC,EF平面PAC, 所以直線l∥平面PAC. (2)證明:(綜合法)如圖1,連接BD,由(1)可知交線l即為直線BD,且l∥AC. 因?yàn)锳B是O的直徑, 圖1 即sin θ=sin αsin β. (向量法)如圖2,由,作DQ∥CP,且. 圖2 故sin αsin β==sin θ,即sin θ=sin αsin β. 10. 【20xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷19】如圖,在棱長為2

15、的正方體中,分別是棱的中點(diǎn),點(diǎn)分別在棱,上移動(dòng),且. (I)當(dāng)時(shí),證明:直線平面; (II)是否存在,使平面與面所成的二面角為直二面角?若存在,求出的值;若不存在,說明理由. 【答案】(1)詳見解析;(2) 【解析】幾何法: (I)證明:如圖1,連結(jié),由是正方體,知, 當(dāng)時(shí),是的中點(diǎn),又是的中點(diǎn),所以, 所以, 而平面,且平面, 故平面. (II)如圖2,連結(jié),因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn), 由得,解得, 故存在,使平面與平面所成的二面角為直二面角. 向量法: 以為原點(diǎn),射線分別為軸的正半軸建立如圖3的空間直角坐標(biāo)系, 由已知得, 所以,,, (I)證明:

16、當(dāng)時(shí),,因?yàn)椋? 所以,即, 而平面,且平面, 故直線平面. (II)設(shè)平面的一個(gè)法向量, 由可得,于是取, 同理可得平面的一個(gè)法向量為, 若存在,使平面與平面所成的二面角為直二面角, 則, 即,解得, 故存在,使平面與平面所成的二面角為直二面角. 考點(diǎn):正方體的性質(zhì),空間中的線線、線面、面面平行于垂直,二面角. 11. 【20xx高考湖北,理19】《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖,在陽馬中,側(cè)棱底面,且,過棱的中點(diǎn),作交于點(diǎn),連接 (Ⅰ)證明:.試判斷四面體是否為鱉臑,若是,寫出其每個(gè)面的直角(只需寫 出結(jié)論);若不是,說明理由; (Ⅱ)若面與面所成二面角的大小為,求的值. 【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ). (Ⅰ)如圖2,以為原點(diǎn),射線分別為軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè),,則,,點(diǎn)是的中點(diǎn), 所以,, 于是,即. 又已知,而,所以. 因, , 則, 所以. 由平面,平面,可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形, 即四面體是一個(gè)鱉臑,其四個(gè)面的直角分別為.

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