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新版五年高考真題高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第八章 第六節(jié) 空間向量的應(yīng)用 理全國通用

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1、11第六節(jié)第六節(jié)空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用考點(diǎn)空間向量及其應(yīng)用1(20 xx陜西,18)如圖 1,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD2,ABBC1,AD2,E是AD的中點(diǎn),O是AC與BE的交點(diǎn)將ABE沿BE折起到A1BE的位置,如圖 2.(1)證明:CD平面A1OC;(2)若平面A1BE平面BCDE,求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值(1)證明在圖 1 中,因為ABBC1,AD2,E是AD的中點(diǎn),BAD2,所以BEAC,即在圖 2 中,BEOA1,BEOC,且A1OOCO,圖 1從而BE平面A1OC,又在直角梯形ABCD中,ADBC,BC12AD,E為AD中點(diǎn),所以BC綉ED,所以

2、四邊形BCDE為平行四邊形,故有CDBE,所以CD平面A1OC.(2)解由已知,平面A1BE平面BCDE,又由(1)知,BEOA1,BEOC,所以A1OC為二面角A1BEC的平面角,所以A1OC2,圖2如圖,以O(shè)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,因為A1BA1EBCED1,BCED,所以B22,0,0,E22,0,0,A10,0,22 ,C0,22,0,得BC22,22,0,A1C0,22,22 ,CDBE( 2,0,0),設(shè)平面A1BC的法向量n n1(x1,y1,z1),平面A1CD的法向量n n2(x2,y2,z2),平面A1BC與平面A1CD夾角為,則1110,0,n BCn AC 得111

3、10,0,xyyz取n n1(1,1,1);2210,0,n CDn AC 得2220,0,xyz取n n2(0,1,1),從而 cos|cos|23 263,即平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值為63.2(20 xx天津,17)如圖,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,側(cè)棱A1A底面ABCD,ABAC,AB1,ACAA12,ADCD 5,且點(diǎn)M和N分別為B1C和D1D的中點(diǎn)(1)求證:MN平面ABCD;(2)求二面角D1ACB1的正弦值;(3)設(shè)E為棱A1B1上的點(diǎn),若直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為13,求線段A1E的長解如圖,以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意可得A(0,0,

4、0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,2,2),又因為M,N分別為B1C和D1D的中點(diǎn),得M1,12,1,N(1,2,1)(1)證明依題意,可得n n(0,0,1)為平面ABCD的一個法向量,MN0,52,0,由此可得MNn n0,又因為直線MN 平面ABCD,所以MN平面ABCD.(2)AD1(1,2,2),AC(2,0,0),設(shè)n n1(x,y,z)為平面ACD1的法向量,則11110,0,n ADn AC即220,20.xyzx不妨設(shè)z1,可得n n1(0,1,1)設(shè)n n2(x,y,z)為平面A

5、CB1的法向量,則1220,0,n ABn AC 又AB1(0,1,2),得20,20,yzx不妨設(shè)z1,可得n n2(0,2,1)因此有 cosn n1,n n2n n1n n2|n n1|n n2|1010,于是 sinn n1,n n23 1010.所以,二面角D1ACB1的正弦值為3 1010.(3)依題意,可設(shè)A1EA1B1,其中0,1,則E(0,2),從而NE(1,2,1),又n n(0,0,1)為平面ABCD的一個法向量,由已知,得 cosNE,n nNEn n|NE|n n|1(1)2(2)21213,整理得2430,又因為0,1,解得 72,所以,線段A1E的長為 72.3(

6、20 xx江西,19)如圖,四棱錐PABCD中,PA平面ABCD,E為BD的中點(diǎn),G為PD的中點(diǎn),DABDCB,EAEBAB1,PA32,連接CE并延長交AD于F.(1)求證:AD平面CFG;(2)求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值(1)證明在ABD中,因為E是BD的中點(diǎn),所以EAEBEDAB1,故BAD2,ABEAEB3,因為DABDCB,所以EABECB,從而有FEDBECAEB3,所以FEDFEA,故EFAD,AFFD,又因為PGGD,所以FGPA.又PA平面ABCD,所以GFAD,故AD平面CFG.(2)解以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),

7、C32,32,0,D(0, 3,0),P0,0,32 ,故BC12,32,0,CP32,32,32 ,CD32,32,0.設(shè)平面BCP的法向量n n1 1(1,y1,z1),則111130,223330,222yyz解得113,32,3yz 即n n1 11,33,23 .設(shè)平面DCP的法向量n n2(1,y2,z2),則222330,223330,222yyz解得223,2.yz即n n2(1, 3,2)從而平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值為 cos|n n1n n2|n n1|n n2|43169 824.4.(20 xx湖北,19)如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是圓O上異于A,B的點(diǎn),

8、直線PC平面ABC,E,F(xiàn)分別是PA,PC的中點(diǎn)(1)記平面BEF與平面ABC的交線為l, 試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系,并加以證明;(2)設(shè)(1)中的直線l與圓O的另一個交點(diǎn)為D,且點(diǎn)Q滿足DQ12CP,記直線PQ與平面ABC所成的角為,異面直線PQ與EF所成的角為,二面角ElC的大小為,求證:sinsinsin.(1)解直線l平面PAC,證明如下:連接EF,因為E,F(xiàn)分別是PA,PC的中點(diǎn),所以EFAC.又EF 平面ABC,且AC平面ABC,所以EF平面ABC.而EF平面BEF,且平面BEF平面ABCl,所以EFl.因為l 平面PAC,EF平面PAC,所以直線l平面PAC.(2)證明

9、法一(綜合法)如圖 1,連接BD,由(1)可知交線l即為直線BD,且lAC.因為AB是O的直徑,所以ACBC,于是lBC,圖 1已知PC平面ABC,而l平面ABC,所以PCl.而PCBCC,所以l平面PBC.連接BE,BF,因為BF平面PBC,所以lBF.故CBF就是二面角ElC的平面角,即CBF.由DQ12CP,作DQCP,且DQ12CP.連接PQ,DF,因為F是CP的中點(diǎn),CP2PF,所以DQPF,從而四邊形DQPF是平行四邊形,PQFD.連接CD,因為PC平面ABC,所以CD是FD在平面ABC內(nèi)的射影,故CDF就是直線PQ與平面ABC所成的角,即CDF.又BD平面PBC,有BDBF,知B

10、DF為銳角,故BDF為異面直線PQ與EF所成的角,即BDF,于是在 RtDCF,RtFBD,RtBCF中,分別可得sinCFDF,sinBFDF,sinCFBF,從而 sinsinCFBFBFDFCFDFsin,即 sinsinsin.法二(向量法)如圖 2,由DQ12CP,作DQCP,且DQ12CP.連接PQ,EF,BE,BF,BD,由(1)可知交線l即為直線BD.以點(diǎn)C為原點(diǎn),向量CA,CB,CP所在直線分別為x、y、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)CAa,CBb,CP2c,則有C(0,0,0),A(a, 0, 0),B(0,b, 0),P(0, 0, 2c),Q(a,b,c),E1

11、2a,0,c,F(xiàn)(0,0,c)于是FE(12a,0,0),圖 2QP(a,b,c),BF(0,b,c),所以 cos|FEQP|FE|QP|aa2b2c2,從而 sin 1cos2b2c2a2b2c2.又取平面ABC的一個法向量為m m(0,0,1),可得sin|m mQP|m m|QP|ca2b2c2,設(shè)平面BEF的一個法向量為n n(x,y,z),所以由0,0,n FEn BF 可得10,20.axbycz取n n(0,c,b)于是|cos|m mn n|m m|n n|bb2c2,從而 sin 1cos2cb2c2.故 sinsinb2c2a2b2c2cb2c2ca2b2c2sin,即 sinsinsin.

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