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2019-2020年人教版高中數(shù)學必修五教案：1-1-1 正弦定理 項目 內(nèi)容 課題 1.1.1 正弦定理 （共 1 課時） 修改與創(chuàng)新 教學 目標 一、知識與技能 1.通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法； 2.會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題． 二、過程與方法 1.讓學生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系； 2.引導學生通過觀察、推導、比較，由特殊到一般歸納出正弦定理； 3.進行定理基本應(yīng)用的實踐操作． 三、情感態(tài)度與價值觀 1.培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力； 2.培養(yǎng)學生探索數(shù)學規(guī)律的思維能力，通過三角函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一． 教學重、 難點 教學重點1.正弦定理的概念； 2.正弦定理的證明及其基本應(yīng)用． 教學難點1.正弦定理的探索和證明； 2.已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)． 教學 準備 多媒體課件 教學過程 導入新課 師如右圖，固定△ABC的邊CB及∠B，使邊AC繞著頂點C轉(zhuǎn)動． 師思考：∠C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 生顯然，邊AB的長度隨著其對角∠C的大小的增大而增大． 師能否用一個等式把這種關(guān)系精確地表示出來？ 師在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系．如右圖，在Rt△ABC中，設(shè)BC =A,AC =B,AB =C,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有=sinA， =sinB，又sinC=1=,則.從而在直角三角形ABC中， . 推進新課  師那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（由學生討論、分析） 生可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況： 如右圖，當△ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=AsinB=BsinA,則，同理，可得.從而. （當△ABC是鈍角三角形時，解法類似銳角三角形的情況，由學生自己完成） 正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即 . 師是否可以用其他方法證明這一等式？ 生可以作△ABC的外接圓，在△ABC中,令BC=A,AC=B,AB=C,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等，來證明這一關(guān)系． 師很好！這位同學能充分利用我們以前學過的知識來解決此問題，我們一起來看下面的證法. 在△ABC中,已知BC=A,AC=B,AB=C,作△ABC的外接圓,O為圓心,連結(jié)BO并延長交圓于B′,設(shè)BB′=2R.則根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可以得到 ∠BAB′=90，∠C =∠B′， ∴sinC=sinB′=. ∴. 同理,可得. ∴. 這就是說,對于任意的三角形,上述關(guān)系式均成立,因此,我們得到等式 . 點評:上述證法采用了初中所學的平面幾何知識,將任意三角形通過外接圓性質(zhì)轉(zhuǎn)化為直角三角形進而求證,此證法在鞏固平面幾何知識的同時,易于被學生理解和接受,并且消除了學生所持的“向量方法證明正弦定理是唯一途徑”這一誤解.既拓寬了學生的解題思路,又為下一步用向量方法證明正弦定理作了鋪墊.  師接下來,我們可以考慮用前面所學的向量知識來證明正弦定理.從定理內(nèi)容可以看出,定理反映的是三角形的邊角關(guān)系,而在向量知識中,哪一知識點體現(xiàn)邊角關(guān)系呢? 生向量的數(shù)量積的定義式AB=|A||B|Cosθ,其中θ為兩向量的夾角. 師回答得很好,但是向量數(shù)量積涉及的是余弦關(guān)系而非正弦關(guān)系,這兩者之間能否轉(zhuǎn)化呢? 生 可以通過三角函數(shù)的誘導公式sinθ=Cos(90-θ)進行轉(zhuǎn)化. 師這一轉(zhuǎn)化產(chǎn)生了新角90-θ,這就為輔助向量j的添加提供了線索,為方便進一步的運算,輔助向量選取了單位向量j,而j垂直于三角形一邊,且與一邊夾角出現(xiàn)了90-θ這一形式,這是作輔助向量j垂直于三角形一邊的原因. 師在向量方法證明過程中,構(gòu)造向量是基礎(chǔ),并由向量的加法原則可得 而添加垂直于的單位向量j是關(guān)鍵,為了產(chǎn)生j與、、的數(shù)量積,而在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運算,也就在情理之中了. 師下面,大家再結(jié)合課本進一步體會向量法證明正弦定理的過程,并注意總結(jié)在證明過程中所用到的向量知識點. 點評: (1)在給予學生適當自學時間后,應(yīng)強調(diào)學生注意兩向量的夾角是以同起點為前提,以及兩向量垂直的充要條件的運用. (2)要求學生在鞏固向量知識的同時,進一步體會向量知識的工具性作用. 向量法證明過程: (1)△ABC為銳角三角形,過點A作單位向量j垂直于,則j與的夾角為90-A,j與的夾角為90-C. 由向量的加法原則可得 , 為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運算,得到 由分配律可得 . ∴|j|Cos90+|j|Cos(90-C)=|j|Cos(90-A). ∴AsinC=CsinA. ∴. 另外,過點C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90+C,j與的夾角為90+B,可得. (此處應(yīng)強調(diào)學生注意兩向量夾角是以同起點為前提,防止誤解為j與的夾角為90-C,j與的夾角為90-B) ∴. (2)△ABC為鈍角三角形,不妨設(shè)A＞90,過點A作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為A-90,j與的夾角為90-C. 由,得j+j=j, 即ACos(90-C)=CCos(A-90), ∴AsinC=CsinA. ∴ 另外,過點C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90+C,j與夾角為90+B. 同理,可得. ∴（形式1）. 綜上所述,正弦定理對于銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形均成立. 師在證明了正弦定理之后,我們來進一步學習正弦定理的應(yīng)用.  （1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使A=ksinA，B=ksinB，C=ksinC； （2） 等價于 (形式2). 我們通過觀察正弦定理的形式2不難得到,利用正弦定理,可以解決以下兩類有關(guān)三角形問題. ①已知三角形的任意兩角及其中一邊可以求其他邊，如.這類問題由于兩角已知,故第三角確定,三角形唯一,解唯一,相對容易,課本P4的例1就屬于此類問題. ②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如．此類問題變化較多,我們在解題時要分清題目所給的條件． 一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形． 師接下來,我們通過例題評析來進一步體會與總結(jié). ［例題剖析］ 【例1】在△ABC中，已知A=32.0,B=81.8,A=42.9 cm,解三角形. 分析:此題屬于已知兩角和其中一角所對邊的問題,直接應(yīng)用正弦定理可求出邊B,若求邊C,再利用正弦定理即可. 解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理， C=180-(A+B)=180-(32.0+81.8)=66.2; 根據(jù)正弦定理， b=≈80.1(cm); c=≈74.1(cm).  (1)此類問題結(jié)果為唯一解,學生較易掌握,如果已知兩角和兩角所夾的邊,也是先利用內(nèi)角和180求出第三角,再利用正弦定理. (2)對于解三角形中的復(fù)雜運算可使用計算器. 【例2】在△ABC中，已知A=20cm，B=28cm，A=40，解三角形（角度精確到1，邊長精確到1 cm）． 分析:此例題屬于BsinA＜a＜b的情形,故有兩解,這樣在求解之后呢,無需作進一步的檢驗,使學生在運用正弦定理求邊、角時,感到目的很明確,同時體會分析問題的重要性. 解：根據(jù)正弦定理， sinB =≈0.899 9. 因為0＜B＜180，所以B≈64或B≈116. （1）當B≈64時， C =180-（A+B）=180-（40+64）=76， C =≈30(cm). （2）當B≈116時， C=180-（A+B）=180-（40+116）=24， C=≈13(cm). 通過此例題可使學生明確,利用正弦定理求角有兩種可能,但是都不符合題意,可以通過分析獲得,這就要求學生熟悉已知兩邊和其中一邊的對角時解三角形的各種情形.當然對于不符合題意的解的取舍,也可通過三角形的有關(guān)性質(zhì)來判斷,對于這一點,我們通過下面的例題來體會. 變式一：在△ABC中,已知A＝60,B＝50,A＝38,求B(精確到1)和C(保留兩個有效數(shù)字). 分析:此題屬于A≥B這一類情形,有一解,也可根據(jù)三角形內(nèi)大角對大邊,小角對小邊這一性質(zhì)來排除B為鈍角的情形. 解：已知BB的情形,有一解,可應(yīng)用正弦定理求解角B后,利用三角形內(nèi)角和為180排除角B為鈍角的情形. 解：∵sinB=≈0.618 6, ∴B≈38或B≈142(舍去). ∴C =180-（A+B）=22. ∴ C =≈12. (1)此題要求學生注意考慮問題的全面性,對于角B為鈍角的排除也可以結(jié)合三角形小角對小邊性質(zhì)而得到. (2)綜合上述例題要求學生自我總結(jié)正弦定理的適用范圍,已知兩角一邊或兩邊與其中一邊的對角解三角形. (3)對于已知兩邊夾角解三角形這一類型,將通過下一節(jié)所學習的余弦定理來解. 師為鞏固本節(jié)我們所學內(nèi)容,接下來進行課堂練習： 1.在△ABC中(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字)， (1)已知C =,A =45,B=60，求B; (2)已知B＝12,A＝30,B＝120,求A. 解：(1)∵C=180-(A+B)=180-(45+60)=75， ， ∴B =≈1.6. (2)∵， ∴A =≈6.9. 點評:此題為正弦定理的直接應(yīng)用,意在使學生熟悉正弦定理的內(nèi)容,可以讓數(shù)學成績較弱的學生進行在黑板上解答,以增強其自信心. 2.根據(jù)下列條件解三角形(角度精確到1,邊長精確到1): (1)B=11,A=20,B=30;(2)A=28,B=20,A=45; (3)C =54,B=39,C=115;(4)A=20,B=28,A=120. 解： (1) ∵. ∴sinA =≈0.909 1. ∴A1≈65，A2≈115. 當A1≈65時，C1=180-(B+A1)=180-(30+65)=85， ∴C1=≈22. 當A2≈115時，C2=180-(B+A2)=180-(30+115)=35, ∴C2=≈13. (2)∵sinB=≈0.505 1, ∴B1≈30，B2≈150. 由于A+B2=45+150＞180,故B2≈150應(yīng)舍去(或者由B＜A知B＜A,故B應(yīng)為銳角). ∴C=180-(45+30)=105. ∴C=≈38. (3)∵, ∴sinB=≈0.654 6. ∴B1≈41,B2≈139. 由于B＜C,故B＜C,∴B2≈139應(yīng)舍去. ∴當B=41時，A=180-(41+115)=24, A=≈24. (4) sinB= =1.212＞1. ∴本題無解. 點評:此練習目的是使學生進一步熟悉正弦定理,同時加強解三角形的能力,既要考慮到已知角的正弦值求角的兩種可能,又要結(jié)合題目的具體情況進行正確取舍. 課堂小結(jié) 通過本節(jié)學習,我們一起研究了正弦定理的證明方法,同時了解了向量的工具性作用,并且明確了利用正弦定理所能解決的兩類有關(guān)三角形問題:已知兩角、一邊解三角形;已知兩邊和其中一邊的對角解三角形. 布置作業(yè) （一）課本第10頁習題1.1　第1、2題. （二）預(yù)習內(nèi)容：課本P5～P 8余弦定理  (1)復(fù)習余弦定理證明中所涉及的有關(guān)向量知識. (2)余弦定理如何與向量產(chǎn)生聯(lián)系. (3)利用余弦定理能解決哪些有關(guān)三角形問題. 板書設(shè)計 正弦定理 1.正弦定理: 2.證明方法: 3.利用正弦定理,能夠解決兩類問題: (1)平面幾何法 (1)已知兩角和一邊 (2)向量法 (2)已知兩邊和其中一邊的對角 教學反思 本章內(nèi)容是處理三角形中的邊角關(guān)系，與初中學習的三角形的邊與角的基本關(guān)系有密切的聯(lián)系，與已知三角形的邊和角相等判定三角形全等的知識也有著密切的聯(lián)系．教科書在引入正弦定理內(nèi)容時，讓學生從已有的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個邊、角的關(guān)系準確量化的表示呢?”在引入余弦定理內(nèi)容時，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題”．這樣，用聯(lián)系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學生對于過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎(chǔ)上，形成良好的知識結(jié)構(gòu)．