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1、 學案53　拋物線 導學目標： 1.掌握拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它們的簡單幾何性質.2.理解數形結合的思想． 自主梳理 1．拋物線的概念 平面內與一個定點F和一條定直線l(F?l)距離______的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的__________，直線l叫做拋物線的________． 2．拋物線的標準方程與幾何性質 標準方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的幾何意義：焦點F到準線l的距離 圖形 頂點 O(0,0) 對稱軸 y＝0

2、 x＝0 焦點 F(，0) F(－，0) F(0，) F(0，－) 離心率 e＝1 準線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R 開口方向 向右 向左 向上 向下 自我檢測 1．(20xx·四川)拋物線y2＝8x的焦點到準線的距離是(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 2．若拋物線y2＝2px的焦點與橢圓＋＝1的右焦點重合，則p的值為(　　) A．－2 B．2 C．－4 D．4 3．(20xx·陜西)設拋物線的頂點在

3、原點，準線方程為x＝－2，則拋物線的方程是(　　) A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x 4．已知拋物線y2＝2px (p>0)的焦點為F，點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2＝x1＋x3，則有(　　) A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3| 5．(20xx·佛山模擬)已知拋物線方程為y2＝2px (p>0)，過該拋物線焦點F且不與x軸垂直的直線AB交拋物線于A

4、、B兩點，過點A、點B分別作AM、BN垂直于拋物線的準線，分別交準線于M、N兩點，那么∠MFN必是(　　) A．銳角 B．直角 C．鈍角 D．以上皆有可能 探究點一　拋物線的定義及應用 例1　已知拋物線y2＝2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值時P點的坐標． 變式遷移1　已知點P在拋物線y2＝4x上，那么點P到點Q(2，－1)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為(　　) A. B. C．(1,2) D．(1，－2) 探究點二　求拋物線的標準

5、方程 例2　(20xx·蕪湖調研)已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上一點M(m，－3)到焦點的距離為5，求m的值、拋物線方程和準線方程． 變式遷移2　根據下列條件求拋物線的標準方程： (1)拋物線的焦點F是雙曲線16x2－9y2＝144的左頂點； (2)過點P(2，－4)． 探究點三　拋物線的幾何性質 例3　過拋物線y2＝2px的焦點F的直線和拋物線相交于A，B兩點，如圖所示． (1)若A，B的縱坐標分別為y1，y2，求證：y1y2＝－p2； (2)若直線AO與拋物線的準線相

6、交于點C，求證：BC∥x軸． 變式遷移3　已知AB是拋物線y2＝2px (p>0)的焦點弦，F為拋物線的焦點，A(x1，y1)，B(x2，y2)．求證： (1)x1x2＝； (2)＋為定值． 分類討論思想的應用 例　(12分)過拋物線y2＝2px (p>0)焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，過B點作其準線的垂線，垂足為D，設O為坐標原點，問：是否存在實數λ，使＝λ？ 多角度審題　這是一道探索存在性問題，應先假設存在，設出A、B兩點坐標，從而得到D點坐標，再設出直線AB的方程，利用方程組和向量

7、條件求出λ. 【答題模板】 解　假設存在實數λ，使＝λ. 拋物線方程為y2＝2px (p>0)， 則F，準線l：x＝－， (1)當直線AB的斜率不存在，即AB⊥x軸時， 交點A、B坐標不妨設為：A，B. ∵BD⊥l，∴D， ∴＝，＝，∴存在λ＝1使＝λ.[4分] (2)當直線AB的斜率存在時， 設直線AB的方程為y＝k (k≠0)， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則D，x1＝，x2＝， 由　得ky2－2py－kp2＝0，∴y1y2＝－p2，∴y2＝，[8分] ＝(－x1，－y1)＝，＝＝， 假設存在實數λ，使＝λ，則，解得λ＝，∴存在實數λ＝，使＝λ.

8、 綜上所述，存在實數λ，使＝λ.[12分] 【突破思維障礙】 由拋物線方程得其焦點坐標和準線方程，按斜率存在和不存在討論，由直線方程和拋物線方程組成方程組，研究A、D兩點坐標關系，求出和的坐標，判斷λ是否存在． 【易錯點剖析】 解答本題易漏掉討論直線AB的斜率不存在的情況，出現錯誤的原因是對直線的點斜式方程認識不足． 1．關于拋物線的定義 要注意點F不在定直線l上，否則軌跡不是拋物線，而是一條直線． 2．關于拋物線的標準方程 拋物線的標準方程有四種不同的形式，這四種標準方程的聯系與區(qū)別在于： (1)p的幾何意義：參數p是焦點到準線的距離，所以p恒為正數． (2)方程右

9、邊一次項的變量與焦點所在坐標軸的名稱相同，一次項系數的符號決定拋物線的開口方向． 3．關于拋物線的幾何性質 拋物線的幾何性質，只要與橢圓、雙曲線加以對照，很容易把握，但由于拋物線的離心率等于1，所以拋物線的焦點弦具有很多重要性質，而且應用廣泛．例如： 已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的直線交拋物線于A、B兩點，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有下列性質：|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝(α為AB的傾斜角)，y1y2＝－p2，x1x2＝等． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(20xx·大綱全國)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，

10、直線y＝2x－4與C交于A，B兩點，則cos∠AFB等于(　　) A. B. C．－ D．－ 2．(20xx·湖北)將兩個頂點在拋物線y2＝2px(p>0)上，另一個頂點是此拋物線焦點的正三角形個數記為n，則(　　) A．n＝0 B．n＝1 C．n＝2 D．n≥3 3．已知拋物線y2＝2px，以過焦點的弦為直徑的圓與拋物線準線的位置關系是(　　) A．相離 B．相交 C．相切 D．不確定 4．(20xx·泉州月考)已知點A(－2,1)，y2＝－4x的焦點是F，P是y2＝－4x上的點，為使|PA|＋|PF|取得最小值，則P點的坐標是

11、(　　) A. B．(－2,2) C. D．(－2，－2) 5．設O為坐標原點，F為拋物線y2＝4x的焦點，A為拋物線上一點，若·＝－4，則點A的坐標為(　　) A．(2，±) B．(1，±2) C．(1,2) D．(2，) 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(20xx·重慶)設圓C位于拋物線y2＝2x與直線x＝3所圍成的封閉區(qū)域(包含邊界)內，則圓C的半徑能取到的最大值為________． 7．(20xx·濟寧期末)已知A、B是拋物線x2＝4y上的兩點，線段AB的中點為M(2,2)，則|AB|＝________. 8．(20xx·浙

12、江)設拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，點A(0，2)．若線段FA的中點B在拋物線上，則B到該拋物線準線的距離為________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)已知頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線截直線y＝2x＋1所得的弦長為，求拋物線方程． 10．(12分)(20xx·韶關模擬)已知拋物線C：x2＝8y.AB是拋物線C的動弦，且AB過F(0,2)，分別以A、B為切點作軌跡C的切線，設兩切線交點為Q，證明：AQ⊥BQ. 11．(14分)(20xx·濟南模擬)已知定點F(0,1

13、)和直線l1：y＝－1，過定點F與直線l1相切的動圓圓心為點C. (1)求動點C的軌跡方程； (2)過點F的直線l2交軌跡C于兩點P、Q，交直線l1于點R，求·的最小值． 學案53　拋物線 自主梳理 1．相等　焦點　準線 自我檢測 1．C 2．B　[因為拋物線的準線方程為x＝－2，所以＝2，所以p＝4，所以拋物線的方程是y2＝8x.所以選B.] 3．B　4.C　5.B 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　重視定義在解題中的應用，靈活地進行拋物線上的點到焦點的距離與到準線距離的等價轉化，是解決拋物線焦點弦有關問題的重要途徑． 解

14、　 將x＝3代入拋物線方程 y2＝2x，得y＝±. ∵>2，∴A在拋物線內部． 設拋物線上點P到準線l： x＝－的距離為d，由定義知 |PA|＋|PF|＝|PA|＋d， 當PA⊥l時，|PA|＋d最小，最小值為， 即|PA|＋|PF|的最小值為， 此時P點縱坐標為2，代入y2＝2x，得x＝2， ∴點P坐標為(2,2)． 變式遷移1　A　[ 點P到拋物線焦點的距離等于點P到拋物線準線的距離，如圖，|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故最小值在S，P，Q三點共線時取得，此時P，Q的縱坐標都是－1，點P的坐標為.] 例2　解題導引　(1)求拋物線方程時，若由已知

15、條件可知所求曲線是拋物線，一般用待定系數法．若由已知條件可知所求曲線的動點的軌跡，一般用軌跡法； (2)待定系數法求拋物線方程時既要定位(即確定拋物線開口方向)，又要定量(即確定參數p的值)．解題關鍵是定位，最好結合圖形確定方程適合哪種形式，避免漏解； (3)解決拋物線相關問題時，要善于用定義解題，即把|PF|轉化為點P到準線的距離，這種“化斜為直”的轉化方法非常有效，要注意領會和運用． 解　方法一　設拋物線方程為 x2＝－2py (p>0)， 則焦點為F，準線方程為y＝. ∵M(m，－3)在拋物線上，且|MF|＝5， ∴　解得 ∴拋物線方程為x2＝－8y，m＝±2， 準線方

16、程為y＝2. 方法二　如圖所示， 設拋物線方程為x2＝－2py (p>0)， 則焦點F， 準線l：y＝，作MN⊥l，垂足為N. 則|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋， ∴3＋＝5，∴p＝4.∴拋物線方程為x2＝－8y， 準線方程為y＝2.由m2＝(－8)×(－3)，得m＝±2. 變式遷移2　解　(1)雙曲線方程化為－＝1， 左頂點為(－3,0)，由題意設拋物線方程為y2＝－2px (p>0)且－＝－3，∴p＝6.∴方程為y2＝－12x. (2)由于P(2，－4)在第四象限且對稱軸為坐標軸，可設方程為y2＝mx (m>0)或x2＝ny (n<0)，代入P點坐標求得m

17、＝8，n＝－1， ∴所求拋物線方程為y2＝8x或x2＝－y. 例3　解題導引　解決焦點弦問題時，拋物線的定義有著廣泛的應用，而且還應注意焦點弦的幾何性質．焦點弦有以下重要性質(AB為焦點弦，以y2＝2px (p>0)為例)： ①y1y2＝－p2，x1x2＝； ②|AB|＝x1＋x2＋p. 證明　(1)方法一　由拋物線的方程可得焦點坐標為F.設過焦點F的直線交拋物線于A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)． ①當斜率存在時，過焦點的直線方程可設為 y＝k，由 消去x，得ky2－2py－kp2＝0.(*) 當k＝0時，方程(*)只有一解，∴k≠0， 由韋達定理，得

18、y1y2＝－p2； ②當斜率不存在時，得兩交點坐標為 ，，∴y1y2＝－p2. 綜合兩種情況，總有y1y2＝－p2. 方法二　由拋物線方程可得焦點F，設直線AB的方程為x＝ky＋，并設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則A、B坐標滿足 消去x，可得y2＝2p， 整理，得y2－2pky－p2＝0，∴y1y2＝－p2. (2)直線AC的方程為y＝x， ∴點C坐標為，yC＝－＝. ∵點A(x1，y1)在拋物線上，∴y＝2px1. 又由(1)知，y1y2＝－p2，∴yC＝＝y2，∴BC∥x軸． 變式遷移3　證明　(1)∵y2＝2px (p>0)的焦點F，設直線方程為y＝k

19、(k≠0)， 由，消去x，得ky2－2py－kp2＝0. ∴y1y2＝－p2，x1x2＝＝， 當k不存在時，直線方程為x＝，這時x1x2＝. 因此，x1x2＝恒成立． (2)＋＝＋ ＝. 又∵x1x2＝，代入上式得＋＝＝常數， 所以＋為定值． 課后練習區(qū) 1．D　[方法一　由得或 令B(1，－2)，A(4,4)，又F(1,0)， ∴由兩點間距離公式得|BF|＝2，|AF|＝5，|AB|＝3. ∴cos∠AFB＝＝ ＝－. 方法二　由方法一得A(4,4)，B(1，－2)，F(1,0)， ∴＝(3,4)，＝(0，－2)， ∴||＝＝5，||＝2. ∴cos∠AF

20、B＝＝＝－.] 2．C　[ 如圖所示，A，B兩點關于x軸對稱，F點坐標為(，0)，設A(m，)(m>0)，則由拋物線定義， |AF|＝|AA1|， 即m＋＝|AF|. 又|AF|＝|AB|＝2， ∴m＋＝2，整理，得m2－7pm＋＝0，① ∴Δ＝(－7p)2－4×＝48p2>0， ∴方程①有兩相異實根，記為m1，m2，且m1＋m2＝7p>0，m1·m2＝>0， ∴m1>0，m2>0，∴n＝2.] 3．C 4．A　[過P作PK⊥l (l為拋物線的準線)于K，則|PF|＝|PK|， ∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PK|. ∴當P點的縱坐標與A點的縱坐標相同時，|P

21、A|＋|PK|最小，此時P點的縱坐標為1，把y＝1代入y2＝－4x，得x＝－，即當P點的坐標為時，|PA|＋|PF|最?。甝 5．B 6.－1 解析　如圖所示，若圓C的半徑取到最大值，需圓與拋物線及直線x＝3同時相切，設圓心的坐標為(a,0)(a<3)，則圓的方程為(x－a)2＋y2＝(3－a)2，與拋物線方程y2＝2x聯立得x2＋(2－2a)x＋6a－9＝0，由判別式Δ＝(2－2a)2－4(6a－9)＝0，得a＝4－，故此時半徑為3－(4－)＝－1. 7．4 解析　由題意可設AB的方程為y＝kx＋m，與拋物線方程聯立得x2－4kx－4m＝0，線段AB中點坐標為(2,2)，x1＋

22、x2＝4k＝4，得k＝1. 又∵y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝4， ∴m＝0.從而直線AB：y＝x，|AB|＝2|OM|＝4. 8. 解析　拋物線的焦點F的坐標為，線段FA的中點B的坐標為，代入拋物線方程得1＝2p×，解得p＝，故點B的坐標為，故點B到該拋物線準線的距離為＋＝. 9．解　設直線和拋物線交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)， (1)當拋物線開口向右時，設拋物線方程為y2＝2px (p>0)，則，消去y得， 4x2－(2p－4)x＋1＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝，(4分) ∴|AB|＝|x1－x2| ＝· ＝·＝，(7分) 則 ＝，p2－4p

23、－12＝0，解得p＝6(p＝－2舍去)， 拋物線方程為y2＝12x.(9分) (2)當拋物線開口向左時，設拋物線方程為y2＝－2px (p>0)，仿(1)不難求出p＝2， 此時拋物線方程為y2＝－4x.(11分) 綜上可得， 所求的拋物線方程為y2＝－4x或y2＝12x.(12分) 10．證明　因為直線AB與x軸不垂直， 設直線AB的方程為y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由 可得x2－8kx－16＝0，x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.(4分) 拋物線方程為y＝x2，求導得y′＝x.(7分) 所以過拋物線上A、B兩點的切線斜率分別是 k1＝x1，k

24、2＝x2，k1k2＝x1·x2 ＝x1·x2＝－1.(10分) 所以AQ⊥BQ.(12分) 11．解　(1)由題設點C到點F的距離等于它到l1的距離， 所以點C的軌跡是以F為焦點，l1為準線的拋物線， ∴所求軌跡的方程為x2＝4y.(5分) (2)由題意直線l2的方程為y＝kx＋1，與拋物線方程聯立消去y得x2－4kx－4＝0. 記P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.(8分) 因為直線PQ的斜率k≠0，易得點R的坐標為.(9分) ·＝· ＝＋(kx1＋2)(kx2＋2) ＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋4 ＝－4(1＋k2)＋4k＋＋4 ＝4＋8，(11分) ∵k2＋≥2，當且僅當k2＝1時取到等號． ·≥4×2＋8＝16，即·的最小值為16. (14分)