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課時(shí)分層作業(yè)(十三)　等比數(shù)列 (建議用時(shí)：40分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．若正數(shù)a，b，c組成等比數(shù)列，則log2a，log2b，log2c一定是(　　) A．等差數(shù)列 B．既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 C．等比數(shù)列 D．既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 A　[由題意得b2＝ac(a，b，c>0)， ∴l(xiāng)og2b2＝log2ac 即2log2b＝log2a＋log2c， ∴l(xiāng)og2a，log2b，log2c成等差數(shù)列．] 2．等比數(shù)列{an} 中，a3＝12，a2＋a4＝30，則a10的值為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：91432196】 A．310－5　　　　　　　 B．329 C．128 D．32－5或329 D　[設(shè)公比為q，則＋12q＝30， ∴2q2－5q＋2＝0， ∴q＝2或q＝， ∴a10＝a3q7＝1227或127， 即329或32－5.] 3．已知a是1,2的等差中項(xiàng)，b是－1，－16的等比中項(xiàng)，則ab等于(　　) A．6 B．－6 C．6 D．12 C　[a＝＝， b2＝(－1)(－16)＝16，b＝4， ∴ab＝6.] 4．已知一等比數(shù)列的前三項(xiàng)依次為x,2x＋2,3x＋3，那么－13是此數(shù)列的(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：91432197】 A．第2項(xiàng) B．第4項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．第8項(xiàng) B　[由(2x＋2)2＝x(3x＋3)解得x＝－1(舍)或x＝－4， ∴前項(xiàng)為－4，公比為. ∴由－4n－1＝－13，解得n＝4.] 5．在等比數(shù)列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，則公比q等于(　　) A．－2 B．1或－2 C．1 D．1或2 B　[根據(jù)題意，代入公式 解得：，或.] 二、填空題 6．已知等比數(shù)列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4a，則a3＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：91432198】 1　[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由已知條件得a＝4aq4， ∴q4＝，q2＝， ∴a3＝a1q2＝2＝1.] 7．已知等比數(shù)列{an}中，a3＝3，a10＝384，則該數(shù)列的通項(xiàng)an＝________. 32n－3　[由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2. 所以an＝a1qn－1＝a1q2qn－3＝a3qn－3＝32n－3.] 8．在等比數(shù)列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，則a4＋a5＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：91432199】 27　[由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9， ∴q2＝9，∴q＝3(q＝－3舍)， ∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.] 三、解答題 9．在各項(xiàng)均為負(fù)的等比數(shù)列{an}中，2an＝3an＋1，且a2a5＝. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)－是否為該數(shù)列的項(xiàng)？若是，為第幾項(xiàng)？ [解]　(1)因?yàn)?an＝3an＋1， 所以＝，數(shù)列{an}是公比為的等比數(shù)列，又a2a5＝， 所以a5＝3，由于各項(xiàng)均為負(fù)， 故a1＝－，an＝－n－2. (2)設(shè)an＝－，則－＝－n－2，n－2＝4，n＝6，所以－是該數(shù)列的項(xiàng)，為第6項(xiàng)． 10．?dāng)?shù)列{an}，{bn}滿足下列條件：a1＝0，a2＝1，an＋2＝，bn＝an＋1－an. (1)求證：{bn}是等比數(shù)列； (2)求{bn}的通項(xiàng)公式. 【導(dǎo)學(xué)號：91432200】 [解]　(1)證明：∵2an＋2＝an＋an＋1， ∴＝＝＝－. ∴{bn}是等比數(shù)列． (2)∵b1＝a2－a1＝1，公比q＝－， ∴bn＝1n－1＝n－1. [沖A挑戰(zhàn)練] 1．已知等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，a3,2a2成等差數(shù)列，則等于(　　) A.＋1 B．3＋2 C．3－2 D．2－3 C　[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 由于a1，a3,2a2成等差數(shù)列， 則2＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2， 所以a1q2＝a1＋2a1q. 由于a1≠0， 所以q2＝1＋2q，解得 q＝1. 又等比數(shù)列{an}中各項(xiàng)都是正數(shù)， 所以q>0，所以q＝1＋. 所以＝＝＝＝3－2.] 2．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，則a2＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：91432201】 A．2 B．1 C. D. C　[法一：∵a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，∴a＝4(a4－1)， ∴a－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝＝＝8， ∴q＝2，∴a2＝a1q＝2＝，故選C. 法二：∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2a1q4＝4(a1q3－1)， 將a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0， 解得q＝2， ∴a2＝a1q＝，故選C.] 3．已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零．若a2，a3，a7成等比數(shù)列，且2a1＋a2＝1，則a1＝________，d＝________. ?。?　[∵a2，a3，a7成等比數(shù)列，∴a＝a2a7， ∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0.① 又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.② 由①②解得a1＝，d＝－1.] 4．設(shè)等比數(shù)列滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為________ 【導(dǎo)學(xué)號：91432202】 64　[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， ∴?解得 ∴a1a2…an＝(－3)＋(－2)＋…＋(n－4) ＝ ＝，當(dāng)n＝3或4時(shí)， 取到最小值－6， 此時(shí)取到最大值26，所以a1a2…an的最大值為64.] 5．已知數(shù)列{cn}，其中cn＝2n＋3n，數(shù)列{cn＋1－pcn}為等比數(shù)列，求常數(shù)p. [解]　因?yàn)閿?shù)列{cn＋1－pcn}為等比數(shù)列， 所以(cn＋1－pcn)2＝(cn－pcn－1)(cn＋2－pcn＋1)， 將cn＝2n＋3n代入上式得， [2n＋1＋3n＋1－p(2n＋3n)]2＝[2n＋2＋3n＋2－p(2n＋1＋3n＋1)][2n＋3n－p(2n－1＋3n－1)]， 整理得(2－p)(3－p)2n3n＝0， 解得p＝2或p＝3.