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章末綜合測評(二)　推理與證明 (滿分：150分　時間：120分鐘) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．根據(jù)偶函數(shù)定義可推得“函數(shù)f(x)＝x2在R上是偶函數(shù)”的推理過程是 (　　) A．歸納推理 B．類比推理 C．演繹推理 D．非以上答案 C　[根據(jù)演繹推理的定義知，推理過程是演繹推理，故選C.] 2．在△ABC中，E、F分別為AB、AC的中點，則有EF∥BC，這個問題的大前提為(　　) 【導學號：31062183】 A．三角形的中位線平行于第三邊 B．三角形的中位線等于第三邊的一半 C．EF為中位線 D．EF∥BC A　[這個三段論推理的形式為：大前提：三角形的中位線平行于第三邊；小前提：EF為△ABC的中位線；結論：EF∥BC.] 3．用數(shù)學歸納法證明：“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)”．從“k到k＋1”左端需增乘的代數(shù)式為(　　) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C． D． B　[當n＝k時左端的第一項為(k＋1)，最后一項為(k＋k)．當n＝k＋1時，左端的第一項為(k＋2)，最后一項為(2k＋2)．∴左邊乘以(2k＋1)(2k＋2)，同時還要除以(k＋1)．] 4．下列推理正確的是(　　) A．把a(b＋c)與loga(x＋y)類比，則有l(wèi)oga(x＋y)＝logax＋logay B．把a(b＋c)與sin(x＋y)類比，則有sin(x＋y)＝sin x＋sin y C．把a(b＋c)與ax＋y類比，則有ax＋y＝ax＋ay D．把(a＋b)＋c與(xy)z類比，則有(xy)z＝x(yz) D　[(xy)z＝x(yz)是乘法的結合律，正確．] 5．已知a＋b＋c＝0，則ab＋bc＋ca的值(　　) 【導學號：31062184】 A．大于0 B．小于0 C．不小于0 D．不大于0 D　[法一：因為a＋b＋c＝0， 所以a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0， 所以ab＋bc＋ca＝－≤0. 法二：令c＝0，若b＝0，則ab＋bc＋ca＝0，否則a、b異號，所以ab＋bc＋ca＝ab＜0，排除A、B、C，故選D.] 6．對“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，給出下列判斷： ①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0； ②a＝b與b＝c及a＝c中至少有一個成立； ③a≠c，b≠c，a≠b不能同時成立． 其中判斷正確的個數(shù)為(　　) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 B　[若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，則a＝b＝c，與“a，b，c是不全相等的正數(shù)”矛盾，故①正確．a＝b與b＝c及a＝c中最多只能有一個成立，故②不正確．由于“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，有兩種情形：至多有兩個數(shù)相等或三個數(shù)都互不相等，故③不正確．] 7．我們把平面幾何里相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體．下列幾何體中，一定屬于相似體的有(　　) ①兩個球體；②兩個長方體；③兩個正四面體；④兩個正三棱柱；⑤兩個正四棱錐． A．4個 B．3個 C．2個 D．1個 C　[類比相似形中的對應邊成比例知，①③屬于相似體．] 8．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝(　　) A．28 B．76 C．123 D．199 C　[利用歸納法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，規(guī)律為從第三組開始，其結果為前兩組結果的和．] 9．對任意的銳角α，β，下列不等式中正確的是(　　) A．sin(α＋β)＞sin α＋sin β B．sin(α＋β)＞cos α＋cos β C．cos(α＋β)＞sin α＋sin β D．cos(α＋β)＜cos α＋cos β D　[因為α，β為銳角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cos α＞cos(α＋β)．又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos(α＋β)．] 10．在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，類比上述性質，在等比數(shù)列{bn}中，若b11＝1，則有(　　) 【導學號：31062185】 A．b1b2…bn＝b1b2…b19－n B．b1b2…bn＝b1b2…b21－n C．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b19－n D．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b21－n B　[令n＝10時，驗證即知選B.] 11．將石子擺成如圖1的梯形形狀，稱數(shù)列5,9,14,20，…為“梯形數(shù)”．根據(jù)圖形的構成，此數(shù)列的第2 014項與5的差，即a2 014－5＝(　　) 圖1 A．20182014 B．20182013 C．10102012 D．10102013 D　[an－5表示第n個梯形有n－1層點，最上面一層為4個，最下面一層為n＋2個． ∴an－5＝，∴a2 014－5＝＝2 0131 010.] 12．如圖1(1)，在△ABC中，AB⊥AC于點A，AD⊥BC于點D，則有AB2＝BDBC，類似地有命題：如圖1(2)，在三棱錐A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A在△BCD內的射影為O，則S＝S△BCOS△BCD，那么上述命題(　　) (1)　　　　　　(2) 圖1 A．是真命題 B．增加條件“AB⊥AC”后才是真命題 C．是假命題 D．增加條件“三棱錐A－BCD是正三棱錐”后才是真命題 A　[由已知垂直關系，不妨進行如下類比：將題圖(2)中的△ABC，△BCO，△BDC分別與題圖(1)中的AB，BD，BC進行類比即可．嚴格推理如下：連結DO并延長交BC于點E，連結AE(圖略)，則DE⊥BC，AE⊥BC.因為AD⊥平面ABC，所以AD⊥AE.又因為AO⊥DE，所以AE2＝EOED，所以S＝(BCEA)2＝(BCEO)(BCED)＝S△BCOS△BCD.故選A.] 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上) 13．已知x，y∈R，且x＋y>2，則x，y中至少有一個大于1，在用反證法證明時，假設應為________. 【導學號：31062186】 [解析]　“至少有一個”的反面為“一個也沒有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”． [答案]　x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1) 14．當n＝1時，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，當n＝2時，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，當n＝3時，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，當n∈N*時，你能得到的結論是________． [解析]　根據(jù)題意，由于當n＝1時，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，當n＝2時，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，當n＝3時，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，當n∈N*時，左邊第二個因式可知為an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn，那么對應的表達式為(a－b)(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1. [答案]　(a－b)(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1 15．有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是________． [解析]　法一：由題意得丙的卡片上的數(shù)字不是2和3. 若丙的卡片上的數(shù)字是1和2，則由乙的說法知乙的卡片上的數(shù)字是2和3，則甲的卡片上的數(shù)字是1和3，滿足題意； 若丙的卡片上的數(shù)字是1和3，則由乙的說法知乙的卡片上的數(shù)字是2和3，則甲的卡片上的數(shù)字是1和2，不滿足甲的說法． 故甲的卡片上的數(shù)字是1和3. 法二：因為甲與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2，所以丙的卡片上必有數(shù)字2.又丙的卡片上的數(shù)字之和不是5，所以丙的卡片上的數(shù)字是1和2.因為乙與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1，所以乙的卡片上的數(shù)字是2和3，所以甲的卡片上的數(shù)字是1和3. [答案]　1和3 16．現(xiàn)有一個關于平面圖形的命題：同一平面內有兩個邊長都是a的正方形，其中一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為.類比到空間，有兩個棱長為a的正方體，其中一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為________. 【導學號：31062187】 [解析]　解法的類比(特殊化)，易得兩個正方體重疊部的體積為. [答案]　 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本題滿分10分)用綜合法或分析法證明： (1)如果a，b>0，則lg ≥； (2)＋>2＋2. [證明]　(1)當a，b>0時，有≥， ∴l(xiāng)g≥lg， ∴l(xiāng)g≥lg ab＝. (2)要證＋>2＋2， 只要證(＋)2>(2＋2)2， 即2>2，這是顯然成立的， 所以，原不等式成立． 18．(本題滿分12分)觀察： ①tan 10tan 20＋tan 20tan 60＋tan 60tan 10＝1， ②tan 5tan 10＋tan 10tan 75＋tan 75tan 5＝1. 由以上兩式成立能得到一個從特殊到一般的推廣，此推廣是什么？并證明你的推廣． [解]　從已知觀察到10＋20＋60＝90，10＋75＋5＝90，因此猜測推廣式為若α＋β＋γ＝，且α，β，γ都不為kπ＋(k∈Z)，則tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1. 證明如下：由α＋β＋γ＝，得α＋β＝－γ. 因為tan(α＋β)＝tan＝.又因為tan(α＋β)＝，所以tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝(1－tan αtan β)，所以tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝tan γ(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝tan γ(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝1－tan αtan β＋tan αtan β＝1. 19．(本題滿分12分)設a>0，b>0，a＋b＝1，求證：＋＋≥8.試用綜合法和分析法分別證明. 【導學號：31062188】 [解]　法一(綜合法) ∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴1＝a＋b≥2，≤，ab≤，∴≥4. 又∵＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4， ∴＋＋≥8(當且僅當a＝b＝時等號成立)． 法二(分析法) ∵a>0，b>0，a＋b＝1，要證＋＋≥8， 只要證＋≥8， 只要證＋≥8， 即證＋≥4， 也就是證＋≥4， 即證＋≥2. 由基本不等式可知，當a>0，b>0時， ＋≥2成立，所以原不等式成立． 20．(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝ax＋(a>1)． (1)證明：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)； (2)用反證法證明方程f(x)＝0沒有負數(shù)根. 【導學號：31062189】 [解]　(1)法一：任取x1、x2∈(－1，＋∞)， 不妨設x10，ax2－x1>1且ax1>0， ∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0， 又∵x1＋1>0，x2＋1>0， ∴－＝ ＝>0， 于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0， 故函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． 法二：f ′(x)＝axlna＋ ＝axln a＋ ∵a>1，∴l(xiāng)n a>0，∴axln a＋>0， f ′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立， 即f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． (2)法一：設存在x0<0(x0≠－1)滿足f(x0)＝0， 則ax0＝－，且00，ax0>0， ∴f(x0)>0. 綜上，x<0(x≠－1)時，f(x)<－1或f(x)>0，即方程f(x)＝0無負數(shù)根． 21．(本題滿分12分) (1)橢圓C：＋＝1(a>b>0)與x軸交于A、B兩點，點P是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別與y軸交于點M、N，求證：為定值b2－a2. (2)類比(1)可得如下真命題：雙曲線－＝1(a>0，b>0)與x軸交于A、B兩點，點P是雙曲線C上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別與y軸交于點M、N，求證：為定值，請寫出這個定值(不要求寫出解題過程). 【導學號：31062190】 [解]　(1)證明如下：設點P(x0，y0)(x0≠a)． 依題意，得A(－a,0)，B(a,0)， 所以直線PA的方程為y＝(x＋a)， 令x＝0，得yM＝.同理得yN＝－. 所以yMyN＝. 又點P(x0，y0)在橢圓上，所以＋ ＝1， 因此y＝(a2－x)． 所以yMyN＝＝b2. 因為＝(a，yN)，＝(－a，yM)， 所以＝－a2＋yMyN＝b2－a2. (2)－(a2＋b2)． 22．(本題滿分12分)各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－a＝2. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)求證：＋＋…＋≤對一切n∈N*恒成立． [解]　(1)∵a－a＝2， ∴數(shù)列{a}為首項為1，公差為2的等差數(shù)列， ∴a＝1＋(n－1)2＝2n－1， 又an>0，則an＝.(n∈N*) (2)證明：由(1)知，即證1＋＋…＋≤. ①當n＝1時，左邊＝1，右邊＝1，所以不等式成立． 當n＝2時，左邊<右邊，所以不等式成立． ②假設當n＝k(k≥2，k∈N*)時不等式成立， 即1＋＋…＋≤， 當n＝k＋1時， 左邊＝1＋＋…＋＋≤＋<＋ ＝＋ ＝＝ 所以當n＝k＋1時不等式成立． 由①②知對一切n∈N*不等式恒成立．