2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 課時(shí)作業(yè)17 數(shù)學(xué)歸納法 新人教A版選修2-2.doc
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課時(shí)作業(yè)17 數(shù)學(xué)歸納法 |基礎(chǔ)鞏固|(25分鐘,60分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)π”時(shí),歸納奠基中n0的取值應(yīng)為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:邊數(shù)最少的凸n邊形為三角形,故n0=3. 答案:C 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+n2=,則當(dāng)n=k+1時(shí)左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上( ) A.k2+1 B.(k+1)2 C. D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2 解析:當(dāng)n=k時(shí),左端=1+2+3+…+k2, 當(dāng)n=k+1時(shí),左端=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2, 故當(dāng)n=k+1時(shí),左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,故選D. 答案:D 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),xn+yn能被x+y整除”的第二步是( ) A.假設(shè)n=2k+1時(shí)正確,再推n=2k+3時(shí)正確(k∈N*) B.假設(shè)n=2k-1時(shí)正確,再推n=2k+1時(shí)正確(k∈N*) C.假設(shè)n=k時(shí)正確,再推n=k+1時(shí)正確(k∈N*) D.假設(shè)n≤k(k≥1)時(shí)正確,再推n=k+2時(shí)正確(k∈N*) 解析:n∈N*且為奇數(shù),由假設(shè)n=2k-1(n∈N*)時(shí)成立推證出n=2k+1(k∈N*)時(shí)成立,就完成了歸納遞推. 答案:B 4.若命題A(n)(n∈N*)n=k(k∈N*)時(shí)命題成立,則有n=k+1時(shí)命題成立.現(xiàn)知命題對(duì)n=n0(n0∈N*)時(shí)命題成立.則有( ) A.命題對(duì)所有正整數(shù)都成立 B.命題對(duì)小于n0的正整數(shù)不成立,對(duì)大于或等于n0的正整數(shù)都成立 C.命題對(duì)小于n0的正整數(shù)成立與否不能確定,對(duì)大于或等于n0的正整數(shù)都成立 D.以上說(shuō)法都不正確 解析:由題意知n=n0時(shí)命題成立能推出n=n0+1時(shí)命題成立,由n=n0+1時(shí)命題成立,又推出n=n0+2時(shí)命題也成立…,所以對(duì)大于或等于n0的正整數(shù)命題都成立,而對(duì)小于n0的正整數(shù)命題是否成立不確定. 答案:C 5.k棱柱有f(k)個(gè)對(duì)角面,則(k+1)棱柱的對(duì)角面?zhèn)€數(shù)f(k+1)為(k≥3,k∈N*)( ) A.f(k)+k-1 B.f(k)+k+1 C.f(k)+k D.f(k)+k-2 解析:三棱柱有0個(gè)對(duì)角面,四棱柱有2個(gè)對(duì)角面(0+2=0+(3-1));五棱柱有5個(gè)對(duì)角面(2+3=2+(4-1));六棱柱有9個(gè)對(duì)角面(5+4=5+(5-1)). 猜想:若k棱柱有f(k)個(gè)對(duì)角面, 則(k+1)棱柱有f(k)+k-1個(gè)對(duì)角面. 答案:A 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.用數(shù)學(xué)歸納法證明++…+>-.假設(shè)n=k時(shí),不等式成立,則當(dāng)n=k+1時(shí),應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是________. 解析:觀察不等式左邊的分母可知,由n=k 到n=k+1左邊多出了這一項(xiàng). 答案:++…++>- 7.對(duì)任意n∈N*,34n+2+a2n+1都能被14整除,則最小的自然數(shù)a=________. 解析:當(dāng)n=1時(shí),36+a3能被14整除的數(shù)為a=3或5;當(dāng)a=3且n=2時(shí),310+35不能被14整除,故a=5. 答案:5 8.用數(shù)學(xué)歸納法證明 1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)的過(guò)程如下: ①當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=21-1=1,等式成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等式成立,即 1+2+22+…+2k-1=2k-1, 則當(dāng)n=k+1時(shí), 1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1, 所以,當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立. 由此可知,對(duì)任何n∈N+,等式都成立. 上述證明錯(cuò)誤的是________. 解析:用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題一定要注意,在證明n=k+1時(shí)要用到假設(shè)n=k的結(jié)論,所以②錯(cuò)誤. 答案:② 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+5+9+…+(4n-3)=(2n-1)n. 證明:①當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=1,命題成立. ②假設(shè)n=k(k≥1,k∈N*)時(shí),命題成立, 即1+5+9+…+(4k-3)=k(2k-1). 則當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1+5+9+…+(4k-3)+(4k+1) =k(2k-1)+(4k+1)=2k2+3k+1=(2k+1)(k+1) =[2(k+1)-1](k+1)=右邊, ∴當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立. 由①②知,對(duì)一切n∈N*,命題成立. 10.求證:1+++…+>(n∈N*). 證明:①當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=,所以不等式成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N*)時(shí)不等式成立,即 1+++…+>. 則當(dāng)n=k+1時(shí),1+++…++++…+>+++…+>+++…+=+2k-1=. ∴當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立. 由①②可知1+++…+>(n∈N*)成立. |能力提升|(20分鐘,40分) 11.已知1+23+332+433+…+n3n-1=3n(na-b)+對(duì)一切n∈N*都成立,那么a,b的值為( ) A.a(chǎn)=,b= B.a(chǎn)=b= C.a(chǎn)=0,b= D.a(chǎn)=,b= 解析:法一:特值驗(yàn)證法,將各選項(xiàng)中a,b的值代入原式,令n=1,2驗(yàn)證,易知選A. 法二:因?yàn)?+23+332+433+…+n3n-1=3n(na-b)+對(duì)一切n∈N*都成立, 所以當(dāng)n=1,2時(shí)有 即解得 答案:A 12.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n∈N*時(shí),求證:1+2+22+23+…+25n-1是31的倍數(shù)”時(shí),當(dāng)n=1時(shí),原式為_(kāi)_______,從n=k到n=k+1時(shí)需增添的項(xiàng)是________. 解析:當(dāng)n=1時(shí),原式應(yīng)加到251-1=24, 所以原式為1+2+22+23+24, 從n=k到n=k+1時(shí)需添25k+25k+1+…+25(k+1)-1. 答案:1+2+22+23+24 25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4 13.平面內(nèi)有n(n≥2,n∈N*)條直線(xiàn),其中任何兩條均不平行,任何三條均不共點(diǎn),證明:交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f(n)=. 證明:(1)當(dāng)n=2時(shí),兩條直線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn),f(2)=1,命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N*)時(shí),命題成立,即f(k)=.那么當(dāng)n=k+1時(shí),第k+1條直線(xiàn)與前k條直線(xiàn)均有一個(gè)交點(diǎn),即新增k個(gè)交點(diǎn),所以f(k+1)=f(k)+k=+k==,即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立. 根據(jù)(1)和(2),可知命題對(duì)任何n≥2,n∈N*都成立. 14.已知數(shù)列{an}中,a1=5,Sn-1=an(n≥2且n∈N*). (1)求a2,a3,a4并由此猜想an的表達(dá)式. (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明{an}的通項(xiàng)公式. 解析:(1)a2=S1=a1=5,a3=S2=a1+a2=10,a4=S3=a1+a2+a3=20. 猜想:an=52n-2(n≥2,n∈N*) (2)①當(dāng)n=2時(shí),a2=522-2=5成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立,即ak=52k-2(k≥2且k∈N*) 則n=k+1時(shí), ak+1=Sk=a1+a2+…+ak=5+5+10+…+52k-2 =5+=52k-1. 故當(dāng)n=k+1時(shí),猜想也成立. 由①②可知,對(duì)n≥2且n∈N*. 都有an=52n-2. 于是數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 an=- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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