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2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)（選修2-1）3.1《空間向量及其運(yùn)算》word教案3篇 教學(xué)目標(biāo)： ㈠知識(shí)目標(biāo)：⒈空間向量；⒉相等的向量；⒊空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律； ㈡能力目標(biāo)：⒈理解空間向量的概念，掌握其表示方法 ⒉會(huì)用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律； ⒊能用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡(jiǎn)單的立體幾何中的問題 ㈢德育目標(biāo)：學(xué)會(huì)用發(fā)展的眼光看問題，認(rèn)識(shí)到事物都是在不斷的發(fā)展、進(jìn)化的，會(huì) 　　　　　　用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待事物． 教學(xué)重點(diǎn)：空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律． 教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用向量解決立體幾何問題． 教學(xué)方法：討論式． 教學(xué)過程： Ⅰ.復(fù)習(xí)引入 ［師］在必修四第二章《平面向量》中，我們學(xué)習(xí)了有關(guān)平面向量的一些知識(shí)，什么叫做向量？向量是怎樣表示的呢？ ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： 　　?、儆糜邢蚓€段表示； 　　?、谟米帜竌、b等表示； 　　　③用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：． ［師］數(shù)學(xué)上所說的向量是自由向量，也就是說在保持向量的方向、大小的前提下可以將向量進(jìn)行平移，由此我們可以得出向量相等的概念，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下． ［生］長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［師］學(xué)習(xí)了向量的有關(guān)概念以后，我們學(xué)習(xí)了向量的加減以及數(shù)乘向量運(yùn)算： ⒈向量的加法： ⒉向量的減法： ⒊實(shí)數(shù)與向量的積： 　　　　實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，其長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下： 　　　　　(1)|λa|＝|λ||a|　　　　　(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a同向； 　　　　　　 當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a反向； 　　　　　　 當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0. ［師］關(guān)于向量的以上幾種運(yùn)算，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，有哪些運(yùn)算律呢？ ［生］向量加法和數(shù)乘向量滿足以下運(yùn)算律 　　　　　加法交換律：a＋b＝b＋a 　　　　　加法結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 　　　　　數(shù)乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［師］今天我們將在必修四第二章平面向量的基礎(chǔ)上，類比地引入空間向量的概念、表示方法、相同或向等關(guān)系、空間向量的加法、減法、數(shù)乘以及這三種運(yùn)算的運(yùn)算率，并進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用．請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本P26～P27． Ⅱ.新課講授 ［師］如同平面向量的概念，我們把空間中具有大小和方向的量叫做向量．例如空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量．那么我們?cè)鯓颖硎究臻g向量呢？相等的向量又是怎樣表示的呢？ ［生］與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示，并且同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量． ［師］由以上知識(shí)可知，向量在空間中是可以平移的．空間任意兩個(gè)向量都可以用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示．因此我們說空間任意兩個(gè)向量是共面的． ［師］空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量各是怎樣定義的呢？ ［生］空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量的定義與平面向量的運(yùn)算一樣： =a+b， （指向被減向量）， λa 　?。蹘煟菘臻g向量的加法與數(shù)乘向量有哪些運(yùn)算律呢？請(qǐng)大家驗(yàn)證這些運(yùn)算律． ［生］空間向量加法與數(shù)乘向量有如下運(yùn)算律： 　　　?、偶臃ń粨Q律：a + b = b + a； 　　　　⑵加法結(jié)合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（課件驗(yàn)證） 　　　?、菙?shù)乘分配律：λ(a + b) =λa +λb ［師］空間向量加法的運(yùn)算律要注意以下幾點(diǎn)： ⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量．即： 因此，求空間若干向量之和時(shí)，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量．即： ． ⑶兩個(gè)向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立． 因此，求始點(diǎn)相同的兩個(gè)向量之和時(shí)，可以考慮用平行四邊形法則． 例１已知平行六面體（如圖），化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量： 　　　　 說明：平行四邊形ABCD平移向量 a 到A’B’C’D’的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體．記作ABCD—A’B’C’D’． 平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形，每個(gè)面的邊叫做平行六面體的棱． 解：（見課本P27） 說明：由第2小題可知，始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量，這是平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣． Ⅲ.課堂練習(xí) 課本P92　　練習(xí) Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 平面向量?jī)H限于研究平面圖形在它所在的平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移，它們的共同點(diǎn)都是指“將圖形上所有點(diǎn)沿相同的方向移動(dòng)相同的長(zhǎng)度”，空間的平移包含平面的平移． 關(guān)于向量算式的化簡(jiǎn)，要注意解題格式、步驟和方法． Ⅴ.課后作業(yè) ⒈課本P106 1、2、　 ⒉預(yù)習(xí)課本P92～P96，預(yù)習(xí)提綱： ⑴怎樣的向量叫做共線向量？ ⑵兩個(gè)向量共線的充要條件是什么？ ⑶空間中點(diǎn)在直線上的充要條件是什么？ ⑷什么叫做空間直線的向量參數(shù)表示式？ ⑸怎樣的向量叫做共面向量？ ⑹向量p與不共線向量a、b共面的充要條件是什么？ ⑺空間一點(diǎn)P在平面MAB內(nèi)的充要條件是什么？ 板書設(shè)計(jì)： 3.1 空間向量及其運(yùn)算（一） 一、 平面向量復(fù)習(xí) 二、空間向量 三、例1 ⒈定義及表示方法 ⒈定義及表示 ⒉加減與數(shù)乘運(yùn)算 ⒉加減與數(shù)乘向量 小結(jié) ⒊運(yùn)算律 ⒊運(yùn)算律 教學(xué)后記： 空間向量及其運(yùn)算 一、課題：空間向量及其運(yùn)算（2） 二、教學(xué)目標(biāo)：1．理解共線向量定理和共面向量定理及它們的推論； 2．掌握空間直線、空間平面的向量參數(shù)方程和線段中點(diǎn)的向量公 三、教學(xué)重、難點(diǎn)：共線、共面定理及其應(yīng)用． 四、教學(xué)過程： （一）復(fù)習(xí)： 1．空間向量的概念及表示； （二）新課講解： 1．共線（平行）向量： 如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。讀作：平行于，記作：． 2．共線向量定理： 對(duì)空間任意兩個(gè)向量的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使（唯一）． 推論：如果為經(jīng)過已知點(diǎn)，且平行于已知向量的直線，那么對(duì)任一點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)，滿足等式①，其中向量叫做直線的方向向量。在上取，則①式可化為或② 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，此時(shí)③ ①和②都叫空間直線的向量參數(shù)方程，③是線段的中點(diǎn)公式． 3．向量與平面平行： 已知平面和向量，作，如果直線平行于或在內(nèi)，那么我們說向量平行于平面，記作：． 通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 說明：空間任意的兩向量都是共面的． 4．共面向量定理： 如果兩個(gè)向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)使． 推論：空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使或?qū)臻g任一點(diǎn)，有① 上面①式叫做平面的向量表達(dá)式． （三）例題分析： 例1．已知三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外任一點(diǎn)，滿足條件， 試判斷：點(diǎn)與是否一定共面？ 解：由題意：， ∴， ∴，即， 所以，點(diǎn)與共面． 說明：在用共面向量定理及其推論的充要條件進(jìn)行向量共面判斷的時(shí)候，首先要選擇恰當(dāng)?shù)某湟獥l件形式，然后對(duì)照形式將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算． 【練習(xí)】：對(duì)空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，問滿足向量式 （其中）的四點(diǎn)是否共面？ 解：∵， ∴， ∴，∴點(diǎn)與點(diǎn)共面． 例2．已知，從平面外一點(diǎn)引向量 ， （1）求證：四點(diǎn)共面； （2）平面平面． 解：（1）∵四邊形是平行四邊形，∴， ∵， ∴共面； （2）∵，又∵， ∴ 所以，平面平面． 五、課堂練習(xí)：課本第96頁(yè)練習(xí)第1、2、3題． 六、課堂小結(jié)：1．共線向量定理和共面向量定理及其推論； 2．空間直線、平面的向量參數(shù)方程和線段中點(diǎn)向量公式． 七、作業(yè)： 1．已知兩個(gè)非零向量不共線，如果，，， 求證：共面． 2．已知，，若，求實(shí)數(shù)的值。 3．如圖，分別為正方體的棱的中點(diǎn)， 求證：（1）四點(diǎn)共面；（2）平面平面． 4．已知分別是空間四邊形邊的中點(diǎn)， （1）用向量法證明：四點(diǎn)共面； （2）用向量法證明：平面． 從三個(gè)方面談空間向量 　　立體幾何引入空間向量使得幾何問題代數(shù)化，很多復(fù)雜的幾何問題得以迎刃而解．但不少學(xué)生對(duì)空間向量的學(xué)習(xí)把握不準(zhǔn)確，不知道要掌握到什么程度，拓寬到什么程度．本文從“轉(zhuǎn)、基、法”三方面談空間向量必須掌握之處，供參閱． 　　一、“轉(zhuǎn)” 　　“轉(zhuǎn)”即轉(zhuǎn)化，即向量之間的相互表示；難點(diǎn)在于怎樣有效地用已知向量來表示未知向量．正如三角函數(shù)求值中角的相互“轉(zhuǎn)化”，怎樣用已知角來代換未知角． 　　難點(diǎn)突破：尋找已知向量來表示所要求的向量往往立竿見影．或者利用分析法，根據(jù)所要求證的向量來表示要轉(zhuǎn)化的向量． 　　例1　如圖1，在空間四邊形ABCD中，如果， 求證：． 　　證明：由，得 　　， 　　即， 　　取CD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE和BE，則上式化為 　　，得， 　　即．所以． 　　評(píng)注：要得到，需從條件中構(gòu)造，解答中的移項(xiàng)使得構(gòu)造得以實(shí)現(xiàn)． 　　二、“基” 　　“基”即基底，由空間向量基本定理，可知空間任一向量可由不共面的三個(gè)向量來表示．用基底的眼光看問題會(huì)使得空間向量的表示簡(jiǎn)潔明朗化． 　　例2　已知正四面體，Ｅ、Ｆ分別為、的中點(diǎn)，求與所成角的余弦值． 　　解：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，如圖2． 　　設(shè)，，， 　　則， 　　 ， 　　∴． ∴OE與BF所成的角的余弦值為． 　　評(píng)注：基底的取法還有很多，以，，三向量為基底來表示其它向量，可使問題輕松獲解． 　　三、“法” 　　法向量求法：設(shè)，找平面內(nèi)兩相交向量a、b，再作，，得兩方程，三個(gè)未知量?jī)蓚€(gè)方程，一般通過取定z的值來定法向量，方向朝上，方向朝下． 　　法向量的應(yīng)用： 　?。ㄒ唬├闷矫娣ㄏ蛄壳缶€面角 　　方法：如圖3，AB為平面的斜線，n為平面的法向量．如果與n之間所成的角為銳角，則斜線AB與平面之間所成的角為；若為鈍角（當(dāng)n方向朝另一面時(shí)，即與圖3的n反向時(shí)），則．故欲求斜線AB與平面所成的角，只需求出向量與平面的法向量n之間的夾角即可．總之． 　　例3　在長(zhǎng)方體中，，，，求直線和平面所成角的正弦值． 解：如圖4，以D為原點(diǎn)，以方向分別作為x軸、y軸、z軸的正方向，則， ， 　　 設(shè)平面的法向量，則 　　，即． 　　故是其中一組解，即為其中一個(gè)法向量， 所以． 　　故所求角的正弦值為． 　　（二）利用平面法向量求二面角的平面角 　　方法：如圖5，平面的法向量所成的角即為二面角的平面角（或其補(bǔ)角）． 　　例4　在正方體中，Ｐ、Ｑ分別是的中點(diǎn)，求平面和底面所成銳二面角的余弦值． 　　解：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖6所示． 　　由例3的方法，容易求得平面的法向量，底面的法向量， 　　所以，即為所求角的余弦值． 　?。ㄈ├闷矫娣ㄏ蛄壳簏c(diǎn)到平面的距離 　　方法：如圖7，求點(diǎn)P到平面的距離d，可以在平面上任意取一點(diǎn)Ａ， 則（n為平面的法向量，方向如圖）．若不知n與夾角為銳角或鈍角時(shí)，． 　　例5　如圖8，四面體中，Ｏ、Ｅ分別是BD、BC的中點(diǎn)，，． 　?。?）求證：平面； 　　（2）求點(diǎn)Ｅ到平面的距離． 　?。?）證明：連結(jié)OC，∵，，∴， 　　∵，，∴． 　　在中，由已知可得 　　，而， 　　∴，∴，即． 　　∵，∴平面； 　?。?）解：以Ｏ為原點(diǎn)，如圖8建立空間直角坐標(biāo)系． 　　設(shè)平面的法向量為，則 　　 　　令，得是平面的一個(gè)法向量． 　　又， 　　∴點(diǎn)到平面的距離． 　　評(píng)注：求線面距、面面距時(shí)，可先轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距，再用此法求解． 　　（四）求異面直線的距離 　　方法：先求出同時(shí)與兩異面直線垂直的向量n，然后在兩異面直線上分別任取點(diǎn)Ａ、Ｂ，則。 　　例6　已知正方體的棱長(zhǎng)為1，求直線與的距離． 　　解：建立坐標(biāo)系，如圖9所示． 　　則點(diǎn)， 　　則， 　　設(shè)為與與同時(shí)垂直的向量 　　即．故為其中一個(gè)向量， 　?。? 　　所以直線與的距離為．