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2019-2020年高三數(shù)學(xué)《不等式的證明》教案 鞏固夯實(shí)基礎(chǔ) 一、自主梳理 1.用綜合法證明不等式:利用不等式的性質(zhì)和已證明過(guò)的不等式以及函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)出待證不等式的方法叫綜合法,概括為“由因?qū)Ч? 2.用分析法證明不等式：從待證不等式出發(fā)，分析并尋求使這個(gè)不等式成立的充分條件的方法叫分析法，概括為“執(zhí)果索因”. 除三種基本方法外,還有以下常用方法: (1)反證法:是先假設(shè)結(jié)論不成立,并由此出發(fā),推出與題設(shè)條件或已經(jīng)知道的結(jié)論相矛盾的結(jié)果,從而說(shuō)明結(jié)論成立. (2)換元法:原不等式的代數(shù)式,經(jīng)適當(dāng)?shù)娜谴鷵Q或代數(shù)換元,能使證明的過(guò)程簡(jiǎn)化. (3)放縮法:借助于不等式的傳遞性,要證a>b,只需證a>c,c>b,或借助于其他途徑放縮,如舍項(xiàng)、添項(xiàng)等. 值得注意的是,放縮法是高考的“熱點(diǎn)”，特別在解答題中，注意使用. (4)構(gòu)造函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法在證明不等式時(shí),也經(jīng)常使用. (5)數(shù)學(xué)歸納法證明不等式在數(shù)列中的運(yùn)用也應(yīng)引起重視. 鏈接提示 不等式證明方法多,證法靈活,其中比較法、分析法、綜合法是基本方法,要熟練掌握,其他方法作為輔助,這些方法之間不能截然分開(kāi),要綜合運(yùn)用. 二、點(diǎn)擊雙基 1.若a、b、c∈R,a>b,則下列不等式成立的是( ) A.< B.a2>b2 C.> D.a|c|>b|c| 解析：由不等式的性質(zhì)容易得答案C. 答案：C 2.(理)若不等式(-1)na<2+對(duì)任意n∈N*恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ） A.［-2,］ B.[-2,) C.［-3,］ D.(-3,) 解析:當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí), a<2-,又2-為增函數(shù), ∴a<2-=.當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),-a<2+,a>-2-. 而-2-為增函數(shù),-2-<-2,∴a≥-2.故a∈［-2,). 答案:A (文)(經(jīng)典回放)若＜＜0，則下列結(jié)論不正確的是( ) A.a2＜b2 B.ab＜b2 C.+＞2 D.|a|+|b|＞|a+b| 解析:由＜＜0,知b＜a＜0. ∴A不正確. 答案:A 3.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上,周期為3的奇函數(shù),若f(1)<1,f(2)=,則( ) A.a<且a≠-1 B.-10 D.-10,即3a(a+1)>0. ∴a<-1或a>0.故選C. 答案:C 4.同學(xué)們都知道,在一次考試后,如果按順序去掉一些高分,那么班級(jí)的平均分將降低;反之,如果按順序去掉一些低分,那么班級(jí)的平均分將提高.這兩個(gè)事實(shí)可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述為:若有限數(shù)列a1,a2,…,an滿(mǎn)足a1≤a2≤…≤an,則________(結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示). 解析：設(shè)原有人數(shù)為n,去掉n-m個(gè)人(1≤m0. ∴f(x)在［0,+∞］上單調(diào)遞增. ∵|a+b|≤|a|+|b|, ∴≤=+ ≤+. 講評(píng):證法一是放縮法,證法二是單調(diào)性法,這樣直接證可以嗎? ≤. 分式放縮時(shí),分子、分母能同時(shí)放大或縮小嗎? 應(yīng)用習(xí)題精練 鞏固篇 1.若x>0,y>0,且+=1,則xy有( ) A.最大值64 B.最小值64 C.最大值 D.最小值 解析：1=+≥2=8, ∴xy≥64. 答案：B 2.已知m2+n2=1,a2+b2=2,則am+bn的最大值是( ) A.1 B. C.2 D.以上都不對(duì) 解析：三角代換:令m=cosα,n=sinα,a=cosβ,b=sinβ. am+bn=cos(α+β)≤. 答案：C 3.已知01且ab>1,則下列不等式中成立的是( ) A.logbloga-b+c;③a-b+c,①②成立. 又|a|-|b|<|a+b|<-c, ∴|a|<|b|-c④成立. 當(dāng)a=3,b=-3,c=-1時(shí),雖|a+b|=0<-c, 但3>3-1=2,3>-3+1,故③⑤不成立. 答案:①②④ 5.已知a＞b＞c且a+b+c=0,求證：＜a. 證明:要證＜a,只需證b2-ac＜3a2, 即證b2+a(a+b)＜3a2,即證(a-b)(2a+b)＞0, 即證(a-b)(a-c)＞0. ∵a＞b＞c,∴(a-b)(a-c)＞0成立. ∴原不等式成立. 6.已知a+b+c=0,求證:ab+bc+ca≤0. 證法一:(綜合法)∵a+b+c=0,∴（a+b+c）2=0. 展開(kāi)得ab+bc+ca=-, ∴ab+bc+ca≤0. 證法二:(分析法)要證ab+bc+ca≤0, ∵a+b+c=0，故只需證ab+bc+ca≤(a+b+c)2， 即證a2+b2+c2+ab+bc+ca≥0， 亦即證［（a+b）2＋（b＋c）2＋（c＋a）2］≥0． 而這是顯然的，由于以上相應(yīng)各步均可逆，∴原不等式成立. 證法三:∵a+b+c=0，∴-c=a+b. ∴ab+bc+ca=ab+(b+a)c=ab-(a+b)2=-a2-b2-ab=-［（a＋）2＋］≤0． ∴ab+bc+ca≤0. 提高篇 7.設(shè)a、b、c均為實(shí)數(shù)，求證：++≥++. 證明:∵a、b、c均為實(shí)數(shù)， ∴（＋）≥≥，當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立； （＋）≥≥，當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立； （＋）≥≥,當(dāng)c=a時(shí)等號(hào)成立． 三個(gè)不等式相加即得＋＋≥＋＋，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立. 8.(全新創(chuàng)編題)有一位同學(xué)寫(xiě)了一個(gè)不等式≥(x∈R),她發(fā)現(xiàn)當(dāng)c=1,2,3時(shí),不等式都成立,試問(wèn):不等式是否對(duì)任何正實(shí)數(shù)c都成立?為什么? 解：設(shè)f(x)=,z=(z≥), 則f(x)-=, 原不等式成立. 則≥0, 只需z-1≥0x2≥-c-c≤0≤cc≥1. 故原不等式對(duì)任何正數(shù)c不都成立. 教學(xué)參考 一、教學(xué)思路 1.若已知x2+y2=a2或+=1常用三角代換. 2.放縮時(shí),最重要的是放縮適度,特別地,認(rèn)真總結(jié)放縮的技巧,充分運(yùn)用不等式的性質(zhì),及均值不等式、絕對(duì)值不等式和題設(shè)條件是進(jìn)行放縮的關(guān)鍵. 3.函數(shù)的有關(guān)知識(shí)如值域、單調(diào)性,在證明不等式時(shí)也應(yīng)考慮. 4.分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)換、互相滲透、互為前提,充分利用這一辯證關(guān)系,可以增加解題的思路,開(kāi)闊視野;放縮法和換元法的合理運(yùn)用,可以擺脫習(xí)慣思維方法的局限,轉(zhuǎn)換解題途徑;反證法是逆向思維的過(guò)程,它能增大思維的發(fā)散量,克服思維定勢(shì)的影響. 5.證明不等式是學(xué)習(xí)不等式的主要目的之一,復(fù)習(xí)中應(yīng)時(shí)刻強(qiáng)化“考試要求”中所陳述的證明不等式的基本方法:比較法(作差、作商)、綜合法、分析法.在熟練掌握這三種基本方法的同時(shí),還應(yīng)根據(jù)題目的特點(diǎn),試探著使用數(shù)學(xué)歸納法、判別式法、換元法、函數(shù)法、反證法等證明通法,以融會(huì)貫通所學(xué)知識(shí)和方法. 二、注意問(wèn)題 1.在證明不等式的過(guò)程中,分析法和綜合法是不能分離的,如果使用綜合法證明不等式難以入手時(shí),常用分析法探索證題途徑,之后用綜合法的形式寫(xiě)出它的證明過(guò)程,以適應(yīng)學(xué)生習(xí)慣的思維規(guī)律.有時(shí)問(wèn)題證明難度較大,常使用分析綜合法,實(shí)現(xiàn)兩頭往中間靠以達(dá)到證題目的. 2.由于高考試題不會(huì)出現(xiàn)單一的不等式的證明題,常常與函數(shù)、數(shù)列、三角、方程綜合在一起,不等式的證明除常用的三種方法外,還需學(xué)會(huì)其他方法,如函數(shù)的單調(diào)性法、判別式法、換元法(特別是三角換元)、放縮法以及數(shù)學(xué)歸納法等,注意它們之間的知識(shí)交匯聯(lián)系. 三、參考資料 【例1】 已知a、b為正數(shù)，求證： （1）若+1＞,則對(duì)于任何大于1的正數(shù)x,恒有ax+＞b成立； （2）若對(duì)于任何大于1的正數(shù)x，恒有ax+＞b成立，則+1＞. 剖析:對(duì)帶條件的不等式的證明，條件的利用常有兩種方法：(1)證明過(guò)程中代入條件；(2)由條件變形得出要證的不等式. 證明:(1)ax+=a(x-1)++1+a≥2+1+a=(+1)2. ∵+1＞b(b＞0), ∴(+1)2＞b2. (2)∵ax+＞b對(duì)于大于1的實(shí)數(shù)x恒成立，即x＞1時(shí)，［ax+］min＞b, 而ax+=a(x-1)++1+a≥2+1+a=(+1)2, 當(dāng)且僅當(dāng)a(x-1)=，即x=1+＞1時(shí)取等號(hào).故［ax+］min=(+1)2. 則(+1)2＞b,即+1＞b. 【例2】已知數(shù)列{log2(an-1)}(n∈N*)為等差數(shù)列,且a1=3,a3=9. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)證明++…+<1. (1)解:設(shè)等差數(shù)列{log2(an-1)}的公差為d, 由a1=3,a3=9得2(log22+d)=log22+log28得d=1. 所以log2(an-1)=1+(n-1)1=n, 即an=2n+1. (2)證明:∵==, ∴++…+ =++…+ ==1-<1.