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章末綜合測評(一) 集合與函數概念
(時間：120分鐘 滿分：150分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．已知集合M＝{x|－3
B [當a≠0時，函數f(x)的對稱軸為x＝－，
∵f(x)在(－∞，4]上為減函數，
∴圖象開口朝上，a>0且－≥4，得0f>f(2)，即f(2)0時，f(x)＝x2－2x，則x<0時，f(x)＝－x2－2x.其中正確命題的個數是( )
【導學號：37102196】
A．1 B．2
C．3 D．4
C [f(x)在R上的奇函數，則f(0)＝0，①正確；其圖象關于原點對稱，且在對稱區(qū)間上具有相同的單調性，最值相反且互為相反數，所以②正確，③不正確；對于④，x<0時，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x，即④正確．]
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)
13．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列舉法表示集合B為________．
{4,9,16} [由A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，得B＝{4,9,16}．]
14．若函數f(x)＝(a－2)x2＋(a－1)x＋3是偶函數，則f(x)的增區(qū)間是________.
【導學號：37102197】
(－∞，0] [∵函數f(x)＝(a－2)x2＋(a－1)x＋3是偶函數，∴a－1＝0，∴f(x)＝－x2＋3，其圖象是開口方向朝下，以y軸為對稱軸的拋物線．故f(x)的增區(qū)間為(－∞，0]．]
15．設f＝，則f(x)＝________.
(x>－1) [令t＝－1，解得x＝，代入得f(t)＝，又因為x>0，所以t>－1，故f(x)的解析式為f(x)＝(x>－1)．]
16．已知偶函數f(x)在[0，＋∞)上是減函數，f(2)＝0.若f(x－1)>0，則x的取值范圍是________.
【導學號：37102198】
(－1,3) [∵f(x)是偶函數，
∴其圖象關于y軸對稱．
又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)上單調遞減，則f(x)的大致圖象如圖所示，
由f(x－1)>0，得－2a}，A?C，求a的取值范圍．
[解] (1)∵A＝{x|3≤x<8}，B＝{x|2a}．
又A?C，如圖，
∴a的取值范圍為{a|a<3}．
18．(本小題滿分12分)設定義在[－2,2]上的奇函數f(x)在區(qū)間[0,2]上單調遞減，若f(m)＋f(m－1)>0，求實數m的取值范圍.
【導學號：37102199】
[解] 由f(m)＋f(m－1)>0，
得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)0時，f(x)＝x2－x－1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出函數f(x)的圖象(不用列表)，并指出它的增區(qū)間.
【導學號：37102200】
[解] (1)設x<0，則－x>0，
所以f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1.
又因為函數f(x)是奇函數，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＋1.
當x＝0時，由f(0)＝－f(0)，得f(0)＝0，所以f(x)＝
(2)作出函數圖象，如圖所示．
由函數圖象易得函數的增區(qū)間為
，.
21．(本小題滿分12分)已知f(x)在R上是單調遞減的一次函數，且f(f(x))＝4x－1.
(1)求f(x)；
(2)求函數y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1,2]上的最大值與最小值．
[解] (1)由題意可設f(x)＝ax＋b，a＜0，由于f(f(x))＝4x－1，則a2x＋ab＋b＝4x－1，
故解得a＝－2，b＝1.故f(x)＝－2x＋1.
(2)由(1)知，函數y＝f(x)＋x2－x＝－2x＋1＋x2－x＝x2－3x＋1，
故函數y＝x2－3x＋1的圖象開口向上，對稱軸為x＝，則函數y＝f(x)＋x2－x在上為減函數，在上為增函數．
又由f＝－，f(－1)＝5，f(2)＝－1，
則函數y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1,2]上的最大值為5，最小值為－.
22．(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝為奇函數．
(1)求b的值；
(2)證明：函數f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數；
(3)解關于x的不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0.
【導學號：37102201】
[解] (1)∵函數f(x)＝為定義在R上的奇函數，∴f(0)＝b＝0.
(2)由(1)可得f(x)＝，下面證明函數f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數．
證明：設x2＞x1＞1，
則有f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
再根據x2＞x1＞1，可得1＋x＞0,1＋x＞0，x1－x2＜0,1－x1x2＜0，
∴＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
∴函數f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數．
(3)由不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0，
可得f(1＋x2)＞－f(－x2＋2x－4)＝f(x2－2x＋4)，
再根據函數f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數，可得1＋x2＜x2－2x＋4，且x＞1，
解得1＜x＜，故不等式的解集為.
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