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2019-2020年蘇教版高中數(shù)學必修1： 2-1-1 函數(shù)的概念 教案 【教學目標】 1．讓學生了解函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的一個對應，了解構成函數(shù)的三要素； 2．使學生理解函數(shù)概念及函數(shù)符號f(x)的意義 3．會求一些簡單函數(shù)的定義域、值域． 【教學重點】 函數(shù)概念的形成，正確理解函數(shù)的概念. 【教學難點】 發(fā)展學生的抽象思維能力，使學生理解函數(shù)概念的本質(zhì)． 【難點突破】 1．讓學生經(jīng)歷函數(shù)概念的形成過程，函數(shù)的辨析過程，函數(shù)定義域、值域的求解過程，滲透歸納推理； 2．通過經(jīng)歷以上過程，讓學生體會函數(shù)是描述變量之間依賴關系的重要數(shù)學模型，在此基礎上學會用集合與對應的語言來刻畫函數(shù)，體會對應關系在刻畫函數(shù)概念中的作用，體驗函數(shù)思想，通過師生互動、生生互動，讓學生在民主、和諧的課堂氛圍中，感受數(shù)學的抽象性和簡潔美． 【教學方法】 探究式． 【教學手段】 多媒體PPT與板書相結(jié)合． 【教學過程】 一、創(chuàng)設情境，引入課題 同學們，我是江蘇省蘇州實驗中學一名教師，昨天下午14:00點我懷著激動的心情，親自駕車從我工作的學校歷經(jīng)80公里來到這里，也就是張家港高級中學報到．在此過程中，我和張家港高級中學的距離隨時間是如何變化的？數(shù)學上可以用 來描述這種運動變化中的數(shù)量關系．（函數(shù)） 二、回憶舊知，引出困境 我們在初中學過函數(shù)，請舉出初中學過的函數(shù)． 問題一：你能具體給出一些初中學過的函數(shù)嗎？ (y＝3x，y＝，y＝x2等) 問題二：請同學們回憶初中函數(shù)的定義是什么？ 在一個變化過程中，有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值和它對應，那么就說y是x的函數(shù)，x叫自變量． 問題三：y＝0 (x∈R)是函數(shù)嗎？ （先請學生回答，有很大的可能會形成兩種意見．對兩種意見展開討論，讓學生說明自己的判斷理由，形成認知沖突．） 其實，利用初中所學的函數(shù)知識很難回答這個問題．為此我們還需要進一步研究函數(shù)的概念．（PPT打出課題，老師板書課題） 三、分析實例，形成概念 在豐富多彩的現(xiàn)實生活中，我們可能會遇到下列實際問題． 實例1 一物體從490 m高空由靜止開始下落到地面，下落的距離y（m）與下落時間x（s）之間近似地滿足關系式y(tǒng)＝4.9x2． （1）若物體下落2 s，你能求出它下落的距離嗎？ （2）在此例中，x（s）的范圍是什么？y（m）的范圍是什么？ 事實上生活中這樣的實例有很多，隨著改革開放的深入，我們的生活水平越來越高，需求越來越大，而人口數(shù)量的變化趨勢也將直接影響我國各種政策的制定．表1給出了改革開方以來我國人口變化的情況． 實例2 從人口統(tǒng)計年鑒中可以查得我國從1949年至xx年人口數(shù)據(jù)資料如表1所示，你能根據(jù)這個表說出我國人口的變化情況嗎？ 表1 1949至xx年我國人口數(shù)據(jù)表 年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999 2004 xx 人口數(shù)/百萬 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246 1300 1340 再如，一天氣溫也是影響人們舒適感的一個重要依據(jù)，實例3給出了某市一天24小時的氣溫變化圖． 圖1 實例3 圖1為某市一天24小時內(nèi)的氣溫變化圖. （1）上午6時的氣溫約是多少？全天的最高、最低氣溫分別是多少？ （2）在什么時刻，氣溫為0℃？ （3）在什么時段內(nèi)，氣溫在0℃以上？ 問題四：實例一、二、三在呈現(xiàn)形式等方面有什么不同？ 問題五：實例一、二、三有什么共同的特點？ （讓學生充分討論，在老師的引導下找出以下共同點：①都有兩個非空數(shù)集A、B；②兩個數(shù)集之間都有一種確定的對應關系；③對于數(shù)集A中的每一個x，按照某種對應關系f，在數(shù)集B中都有唯一確定的y值和它對應.） 滿足以上共同特點的兩個數(shù)集的對應關系，我們把它叫做什么呢？（函數(shù)，請學生根據(jù)前面概括的共同特征，擬定函數(shù)的新定義，老師做必要補充．） 函數(shù)的概念： 一般地，設A，B是兩個非空的數(shù)集，如果按某種對應法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它對應，那么這樣的對應叫做從A到B的一個函數(shù)（function），通常記為 y＝f(x)，x∈A． 其中，所有的輸入值x組成的集合A叫做函數(shù)y＝f(x)的定義域（domain），將所有輸出值y組成的集合稱為函數(shù)的值域（range）． 四、結(jié)合典例，理解概念 這樣我們?nèi)菀着袛?，前面的三個實例都表示兩個集合間的函數(shù)關系．我們回頭再想問題三． 再看問題三：是函數(shù)嗎？為什么？ （是，完全滿足函數(shù)的定義，請同學們指出集合A、B及對應法則f．） 下面我們先來看兩個例題： 例1 判斷下列對應是否為函數(shù)： （1）x → ，x≠0,x∈R； （2）x → y，這里y2＝x，x∈N，y∈R． 分析：判斷對應是否構成函數(shù)的依據(jù)只有定義，所以我們只要判斷是否滿足定義即可． 解 （1）對于任意一個非零實數(shù)x，被x惟一確定，所以當x≠0時x → 是函數(shù)，這個函數(shù)也可表示為f(x)＝ （x≠0）． 變題1：x → ，x∈R； （不是，不滿足任意性） 變題2：x → ，x∈{x∈R|x2＋1＝0} （不是，不滿足集合A，B的非空性） （2）考慮輸入值為4，即當x＝4時輸出值y由y2＝4給出，y＝2和y＝－2．這里一個輸入值與兩個輸出值對應（不是單值對應），所以，x → y（y2＝x）不是函數(shù)． 由此看來，判斷對應是否為函數(shù)對應，關鍵是依據(jù)定義，請同學們再審視定義，完成問題六． 問題六：函數(shù)概念中的關鍵詞是什么？請用簡潔的語言說明． （通過交流得出以下幾點：①A、B都是非空的數(shù)集；②任意性與唯一性；③確定的對應關系，對應關系f可以以解析式、圖象、表格等形式呈現(xiàn)．） 這樣，函數(shù)概念里展現(xiàn)出對應有非空、任意、惟一等三個關鍵性用詞。以后我們稱函數(shù)的定義域、值域和對應法則為函數(shù)的三要素，而三要素也是判斷函數(shù)是否相同的重要依據(jù)． （考查實例一及問題一中給出函數(shù)的三要素，并指出以解析式形式呈現(xiàn)的函數(shù)，如果沒有指明定義域，那么就認為它的定義域是指使函數(shù)解析式有意義的輸入值的集合．） 例2 判斷下列各組函數(shù)是否為同一函數(shù)： （1）y＝與y＝x＋1; （2）y＝與y＝x； （3）y＝x2與u＝t2． 分析：函數(shù)相同，必須定義域、值域和對應法則三要素均相同． 解：（1）不是相同函數(shù)，因為定義域不同； （2）不是相同函數(shù)，因為對應法則不同； （3）是相同函數(shù)． 說明：兩個函數(shù)是否同同，只與函數(shù)的對應法則f和定義域A有關，而與函數(shù)用什么字母表示無關． 例3 求下列函數(shù)的定義域： （1）f(x)＝； （2）g(x)＝． 分析：本題中函數(shù)定義域就是找使函數(shù)解析式有意義的輸入值x的范圍． 解 （1）因為當x－1≥0時，即x≥1時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義；當x－1＜0時，即x＜1時，在實數(shù)范圍內(nèi)沒有意義，所以這個函數(shù)的定義域是． （2）因為當x＋1≠0時，即x≠－1時，有意義；當x＋1＝0時，即x＝－1時，沒有意義，所以這個函數(shù)的定義域是{x| x≠－1, x∈R}． （以上過程是教材上的解題過程，用PPT打出，老師可板書簡捷一點的過程，如：（1）由x－1≥0解得x≥1，從而函數(shù)f(x)＝的定義域為{x|x≥1，且x∈R}．） 例4 求下列函數(shù)的值域： （1）f(x)＝(x－1)2+1，x∈{－1,0,1,2,3}； （2）f(x)＝(x－1)2+1． 分析：在做此例之前，先請同學思考：怎樣理解符號f(x)? （在法則f下， x所對應的函數(shù)值，并結(jié)合生活實例說明．而值域C＝{y|y＝f(x),x∈A}，為B的子集） 解 （1）函數(shù)的定義域為{－1,0,1,2,3}，因為f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5, 同理 f(0)＝2, f(1)＝1, f(2)＝2, f(3)＝5， 所以這個函數(shù)的值域為{1,2,5}. （2）函數(shù)的定義域為R，因為 (x－1)2＋1≥1 所以這個函數(shù)的值域為{y|y≥1}. 說明：求函數(shù)的值域先交代（或求出）函數(shù)的定義域，然后再考查輸出值的范圍． 五、對比總結(jié)，深化概念 同學們，今天，我們在初中函數(shù)定義的基礎上，運用集合與對應的語言重新刻畫了函數(shù)，比較兩個函數(shù)的定義，同學們有什么新的認識？ 問題七：請談一談你對函數(shù)的概念有什么新的認識？本課你學會了什么？ 六、即時訓練，鞏固概念 練習： 1．下列四組對應中，是函數(shù)的序號為 . ①x → －x, x∈R； ②x → y, 其中y＝|x|，x∈R,y∈R； ③t→ s, 其中s＝t2，t∈R,s∈R； ④t → s, 其中t＝s2，t∈R,s∈R． 2．若f(x)＝x－x2，則f(0)＝ ，f(1)＝ ，f(n＋1)－f(n)＝ ． 3．函數(shù)f(x)＝的定義域為 ． 4．函數(shù)f(x)＝x＋1，x∈{－1,1}的值域為 ． 七、作業(yè) 1.實踐作業(yè) 舉出生活中函數(shù)的例子（兩個以上），并用集合與對應的語言來描述函數(shù)； 2.分層作業(yè) A．教材 第24頁 練習1，2，3 B．教材 第28頁 習題2.1（1） 1，2，5 C．教材 第28頁 習題2.1（1） 8，9，10 3.預習作業(yè) 預習教材第25頁至28頁內(nèi)容，并完成第28頁練習1,2,3. 【板書設計】 PPT投影 函數(shù)的概念 一、概念 設A，B是兩個非空的數(shù)集，如果按某種對應法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它對應，那么這樣的對應叫做從A到B的一個函數(shù)（function），通常記為 y＝f(x)，x∈A． 二、分析 三要素 對應法則（非空數(shù)集，每一個，惟一的） 定義域 值 域 y＝3x，x∈R y＝，x≠0 y＝x2，x∈R y＝4.9x2， 0≤x≤10 PPT投影 函數(shù)的概念 一、概念 設A，B是兩個非空的數(shù)集，如果按某種對應法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它對應，那么這樣的對應叫做從A到B的一個函數(shù)（function），通常記為 y＝f(x)，x∈A． 二、分析 三要素 對應法則（非空數(shù)集，每一個，惟一的） 定義域 A (不作說明即為式子有意義) 值 域 C＝{y|y=f(x),x∈A}B 例題：