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培優(yōu)點(diǎn)六 三角函數(shù) 1．求三角函數(shù)值 例1：已知，，，求的值． 【答案】 【解析】∵， ∵，，， ，， ． 2．三角函數(shù)的值域與最值 例2：已知函數(shù)， （1）求函數(shù)的最小正周期和圖像的對(duì)稱(chēng)軸方程； （2）求函數(shù)在區(qū)間的值域． 【答案】（1），對(duì)稱(chēng)軸方程：；（2）． 【解析】（1） 對(duì)稱(chēng)軸方程：． （2），∵，， ． 3．三角函數(shù)的性質(zhì) 例3：函數(shù)（ ） A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增 C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增 【答案】D 【解析】， 單調(diào)遞增區(qū)間： 單調(diào)遞減區(qū)間： 符合條件的只有D． 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、單選題 1．若，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題得 ．故答案為B． 2．函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，∴， 令，得． 取，得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是．故選B． 3．已知，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，即， ∴，∴ ，故選B． 4．關(guān)于函數(shù)，下列命題正確的是（ ） A．由可得是的整數(shù)倍 B．的表達(dá)式可改寫(xiě)成 C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) 【答案】D 【解析】函數(shù)，周期為， 對(duì)于A(yíng)：由，可能與關(guān)于其中一條對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)稱(chēng)的，此時(shí)不是的整數(shù)倍，故錯(cuò)誤 對(duì)于B：由誘導(dǎo)公式，，故錯(cuò)誤 對(duì)于C：令，可得，故錯(cuò)誤， 對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，可得，的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故選D． 5．函數(shù)的最大值是（ ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】由題意可知：， 則：， 所以函數(shù)的最大值為1．本題選擇A選項(xiàng)． 6．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則，的值分別可以是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由圖可知，該三角函數(shù)的周期，所以， 則， 因?yàn)?，所以該三角函?shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸為， 將代入，可解得，所以選D． 7．已知函數(shù)，和分別是函數(shù)取得零點(diǎn)和最小值點(diǎn)橫坐標(biāo)，且在單調(diào)，則的最大值是（ ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【解析】∵，和分別是函數(shù)取得零點(diǎn)和最小值點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∴，即． 又∵，，∴， 又∵在單調(diào)，∴， 又∵∴， 當(dāng)，時(shí)，，由是函數(shù)最小值點(diǎn)橫坐標(biāo)知， 此時(shí)，在遞減，遞增，不滿(mǎn)足在單調(diào)，故舍去； 當(dāng)，時(shí)，由是函數(shù)最小值點(diǎn)橫坐標(biāo)知，此時(shí)在單調(diào)遞增，故．故選B． 8．已知函數(shù)，給出下列四個(gè)說(shuō)法： ；函數(shù)的周期為； 在區(qū)間上單調(diào)遞增；的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng) 其中正確說(shuō)法的序號(hào)是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以函數(shù)的周期不為，錯(cuò)，，周期為． ，對(duì)． 當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增． 對(duì)．，所以錯(cuò)．即對(duì)，填． 9．已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，， ∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，周期，解得， ∵的減區(qū)間滿(mǎn)足：， 取，得，解之得， 即的取值范圍是，故選C． 10．同時(shí)具有性質(zhì)：①最小正周期是；②圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；③在上是增函數(shù)的一個(gè)函數(shù)是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函數(shù)的最小正周期為，不滿(mǎn)足①，排除A； 函數(shù)的最小正周期為，滿(mǎn)足①， 時(shí)，取得最大值，是的一條對(duì)稱(chēng)軸，滿(mǎn)足②； 又時(shí)，，單調(diào)遞增，滿(mǎn)足③，B滿(mǎn)足題意； 函數(shù)在，即時(shí)單調(diào)遞減，不滿(mǎn)足③，排除C； 時(shí)，不是最值，不是的一條對(duì)稱(chēng)軸，不滿(mǎn)足②，排除D，故選B． 11．關(guān)于函數(shù)的圖像或性質(zhì)的說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（ ） ①函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)； ②將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位所得圖像的函數(shù)為； ③函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；④若，則． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】①令，解得，當(dāng)時(shí)，則，故正確 ②將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位得：，故錯(cuò)誤 ③令，解得，故錯(cuò)誤 ④若，即，則，故錯(cuò)誤 故選A． 12．函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，它的最小正周期為， 則函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得，可得， 再由函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故，故可取， 故函數(shù)， 令，可得，故函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心， 令可得函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心是，故選D． 二、填空題 13．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_________． 【答案】， 【解析】由，即，， 故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，，故答案為，． 14．已知，且，則_________________． 【答案】 【解析】∵，且，，， ，故答案為． 15．函數(shù)在的值域?yàn)開(kāi)________． 【答案】 【解析】，∵，， ，， ，故答案為． 16．關(guān)于，有下列命題 ①由可得是的整數(shù)倍； ②的表達(dá)式可改寫(xiě)成； ③圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)； ④圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)． 其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)_______(將你認(rèn)為正確的都填上)． 【答案】②③ 【解析】對(duì)于①，的周期等于，而函數(shù)的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)間的距離等于，故由可得必是的整數(shù)倍，故錯(cuò)誤 對(duì)于②，由誘導(dǎo)公式可得，函數(shù) ，故②正確 對(duì)于③，由于時(shí)，函數(shù)，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故正確 對(duì)于④，，解得，即不是對(duì)稱(chēng)軸，故錯(cuò)誤 綜上所述，其中正確命題的序號(hào)為②③ 三、解答題 17．已知，其圖象在取得最大值． （1）求函數(shù)的解析式； （2）當(dāng)，且，求值． 【答案】；（2）． 【解析】（1） ， 由在取得最大值，， ，即，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意 ． （2）由，， 又，，得，， ． 18．已知函數(shù) 的最小正周期為． （1）求的值； （2）求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）， 因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，且，所以解得． （2）由（1）得， 因?yàn)?，所以，所以? 因此，即的取值范圍為．