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專題02 參數(shù)方程 知識通關 1．曲線的參數(shù)方程 一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)，并且對于t的每一個允許值，由這個方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么這個方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)． 2．參數(shù)方程與普通方程的互化 通過消去參數(shù)從參數(shù)方程得到普通方程，如果知道變數(shù)x，y中的一個與參數(shù)t的關系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關系y＝g(t)，那么就是曲線的參數(shù)方程．在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致． （1）參數(shù)方程化為普通方程 基本思路是消去參數(shù),常用的消參方法有:①代入消元法;②加減消元法;③恒等式(三角的或代數(shù)的)消元法等,其中代入消元法、加減消元法一般是利用解方程的技巧.對于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關系式消參.如等. （2）普通方程化為參數(shù)方程 曲線上任意一點的坐標與參數(shù)的關系比較明顯且關系相對簡單;當參數(shù)取某一值時,可以唯一確定x,y的值.一般地,與旋轉有關的問題,常采用旋轉角作為參數(shù);與直線有關的常選用直線的傾斜角、斜率、截距作為參數(shù);與實踐有關的問題,常取時間作為參數(shù).此外,也常常用線段的長度、某一點的橫坐標(縱坐標)作為參數(shù). 3．常見曲線的參數(shù)方程 普通方程 參數(shù)方程 過點M0(x0,y0),α為直線的傾斜角的直線 y－y0＝tan α(x－x0) (t為參數(shù)) 圓心在原點，半徑為r的圓 x2＋y2＝r2 (θ為參數(shù)) 中心在原點的橢圓 (a>b>0) (φ為參數(shù)) 【注】（1）在直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時，t才有幾何意義且?guī)缀我饬x為：|t|是直線上任一點M(x，y)到M0(x0，y0)的距離． （2）若圓心在點M0(x0,y0),半徑為R,則圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). （3）若橢圓的中心不在原點,而在點M0(x0,y0),相應的橢圓參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 基礎通關 1．了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義. 2．能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程. 題組一 參數(shù)方程與普通方程的互化 （1）將參數(shù)方程化為普通方程，消參數(shù)常用代入法、加減消元法、三角恒等變換消去參數(shù)． （2）把參數(shù)方程化為普通方程時，要注意哪一個量是參數(shù)，并且要注意參數(shù)的取值對普通方程中x及y的取值范圍的影響，要保持同解變形． 【例1】已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． （1）求直線l和圓C的普通方程； （2）若直線l與圓C有公共點，求實數(shù)a的取值范圍． 【解析】（1）直線l的普通方程為2x－y－2a＝0， 圓C的普通方程為x2＋y2＝16. （2）因為直線l與圓C有公共點， 故圓C的圓心到直線l的距離，解得－2≤a≤2. 題組二 參數(shù)方程及其應用 （1）解決直線與圓的參數(shù)方程的應用問題時，一般是先化為普通方程，再根據(jù)直線與圓的位置關系來解決問題． （2）對于形如(t為參數(shù))，當a2＋b2≠1時，應先化為標準形式后才能利用t的幾何意義解題． 【例2】已知曲線C：，直線l：(t為參數(shù)). （1）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程； （2）過曲線C上任意一點P作與l夾角為30的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值． 【解析】（1）曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 直線l的普通方程為2x＋y－6＝0. （2）曲線C上任意一點P(2cos θ，3sin θ)到l的距離為d＝|4cos θ＋3sin θ－6|， 則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tan α＝. 當sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為. 當sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為. 故|PA|的最大值與最小值分別為，. 能力通關 1．直線參數(shù)方程的應用:直線的標準參數(shù)方程主要用來解決過定點的直線與圓錐曲線相交時的弦長或距離問題.它可以避免求交點時解方程組的煩瑣運算,但應用直線的參數(shù)方程時,需先判斷是否是標準形式再考慮參數(shù)的幾何意義.設過點M(x0，y0)的直線l交曲線C于A，B兩點，若直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，注意以下兩個結論的應用： (1)|AB|＝|t1－t2|； (2)|MA||MB|＝|t1t2|. 2．圓的參數(shù)方程突出了工具性作用,應用時,把圓上的點的坐標設為參數(shù)方程的形式,將問題轉化為三角函數(shù)問題,利用三角函數(shù)知識解決問題. 3．參數(shù)方程和極坐標方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解．當然，還要結合題目本身特點，確定選擇何種方程．求解時，充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用ρ和θ的幾何意義，直接求解，可化繁為簡． 利用參數(shù)的幾何意義解決問題 【例1】在平面直角坐標系中，已知曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為. （I）寫出直線的直角坐標方程以及曲線C的極坐標方程； （II）若，且直線與曲線C交于兩點，求的值. 【解析】（I）依題意，曲線C：，即， 故曲線C的極坐標方程為； 因為直線的極坐標方程為，即，所以直線的直角坐標方程為. 坐標系與參數(shù)方程的綜合問題 【例2】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為． （1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程； （2）已知點在曲線上，點在曲線上，求的最小值及此時點的直角坐標． （2）由題意，可設點的直角坐標為， 因為曲線是直線， 所以的最小值即點到直線的距離的最小值， 易得點到直線的距離為， 當且僅當時，取得最小值，即取得最小值，最小值為，此時點的直角坐標為． 【例3】在平面直角坐標系中，曲線（為參數(shù)）經伸縮變換后的曲線為，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系. （1）求曲線的極坐標方程； （2）已知是曲線上兩點，且，求的取值范圍. 【解析】（1）曲線化為普通方程為：， 由得，代入上式可知：曲線的方程為，即， ∴曲線的極坐標方程為. （2）設，（）， ∴， 因為， 所以的取值范圍是. 高考通關 1．在平面直角坐標系中，直線（是參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線：. （1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程； （2）試判斷直線與曲線是否相交，若相交，請求出弦長；若不相交，請說明理由. 【解析】（1）由消去得， 所以直線的普通方程為. 由兩邊同乘以得， 因為，， 所以，配方得，即曲線的直角坐標方程為. （2）法一：由（1）知，曲線的圓心為，半徑為2， 由圓心到直線的距離公式得到直線的距離， 所以直線與曲線相交，設交點為、， 所以. 所以直線與曲線相交，其弦長為. 法二：由（1）知，，， 聯(lián)立方程，得，消去得， 因為， 所以直線與曲線相交， 設交點坐標為，，由根與系數(shù)的關系知，， 所以， 所以直線與曲線相交，其弦長為. 2．在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）,以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為． （1）求直線l的極坐標方程； （2）若射線與直線l交于點P,與曲線C交于點Q(Q與原點O不重合),求的值． 【解析】（1）由消去t得直線的普通方程為, 把,代入得直線l的極坐標方程為. （2）由題意可得,,, 所以=. 3．已知在平面直角坐標系xOy中，點的坐標為，在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為. （1）求點的極坐標及曲線的參數(shù)方程； （2）過點的直線交曲線于，兩點，若，求直線的直角坐標方程. 【解析】（1）在平面直角坐標系xOy中，點是第一象限內的點， ，且， ， 點的極坐標為. 曲線的極坐標方程為， ， 由得， 曲線的直角坐標方程為，即， 曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）. （2）顯然直線的斜率存在， 可設直線的方程為，即， ，圓的半徑為1， 圓的圓心到直線的距離為， ，化簡得，解得或， 直線的直角坐標方程為或. 4．已知極點與直角坐標系的原點重合、極軸與軸的正半軸重合，直線的極坐標方程為． （1）求直線的參數(shù)方程； （2）設與曲線為參數(shù)）相交于，兩點，求點到，兩點的距離之積． 【解析】（1）因為直線的極坐標方程為，化為直角坐標方程即，顯然直線過點，傾斜角為， 因此直線的參數(shù)方程為，即． 5．在平面直角坐標系xOy中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為. （Ⅰ）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程； （Ⅱ）若曲線與曲線交于兩點，求. 【解析】（Ⅰ）消掉參數(shù)，得曲線的普通方程為，即. 曲線的方程可化為：，顯然， 所以化為直角坐標方程為， 化簡得. 方法二：將曲線的參數(shù)方程化為（為參數(shù)），并代入曲線的直角坐標方程，得，整理得. 由求根公式解得， 故.