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模塊綜合試卷 (時間：120分鐘　滿分：160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分) 1．若角α是第二象限角，且＝－cos，則角是第________象限角． 答案　三 解析　由角α是第二象限角，可得是第一、三象限角．又＝－cos，所以角是第三象限角． 2．若＝－，則sinα＋cosα的值為________． 答案　 解析　由題意得＝－(sinα＋cosα) ＝－，所以sinα＋cosα＝. 3．已知向量a＝(cos75，sin75)，b＝(cos15，sin15)，則|a－b|的值為________． 答案　1 解析　如圖，將向量a，b的起點都移到原點，即a＝，b＝，則|a－b|＝||且∠xOA＝75，∠xOB＝15，于是∠AOB＝60，又因為|a|＝|b|＝1，則△AOB為正三角形，從而||＝|a－b|＝1. 4．設向量a＝(3cosx,1)，b＝(5sinx＋1，cosx)，且a∥b，則cos2x＝________. 答案　 解析　∵向量a＝(3cosx,1)，b＝(5sinx＋1，cosx)， 且a∥b，∴3cos2x－5sinx－1＝0， 即3sin2x＋5sinx－2＝0， 解得sinx＝－2(舍去)或sinx＝， 則cos2x＝1－2sin2x＝1－2＝. 5．函數(shù)y＝3sin＋cos的最小正周期為________． 答案　 解析　原式＝2 ＝2sin ＝－2sin ∴T＝π. 6．化簡：tan(18－x)tan(12＋x)＋[tan(18－x)＋tan(12＋x)]＝________. 答案　1 解析　因為tan[(18－x)＋(12＋x)] ＝＝tan30＝， 所以tan(18－x)＋tan(12＋x)＝[1－tan(18－x)tan(12＋x)]，所以原式＝tan(18－x)tan(12＋x)＋[1－tan(18－x)tan(12＋x)]＝1. 7.如圖所示是曾經(jīng)在北京召開的國際數(shù)學家大會的會標，它是由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若直角三角形中較小的銳角為θ，大正方形的面積是1，小正方形的面積是，則sin2θ－cos2θ的值為________． 答案?。? 解析　小正方形的邊長為cosθ－sinθ，即(cosθ－sinθ)2＝，得cosθ＝，sinθ＝，故sin2θ－cos2θ＝－. 8.已知|p|＝2，|q|＝3，p，q的夾角為，如圖，若＝5p＋2q，＝p－3q，D為BC的中點，則||為________． 答案　 解析　∵＝(＋)＝(6p－q)， ∴||＝＝ ＝ ＝＝. 9．已知sin－cosα＝，則cos＝________. 答案　 解析　由sin－cosα＝， 得sinα＋cosα－cosα＝sinα－cosα ＝sin＝， 故cos＝cos2＝1－2sin2 ＝1－＝. 10．設向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，則m＝________. 答案?。? 解析　a＋b＝(m＋1,3)，由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2， 得(m＋1)2＋32＝m2＋12＋12＋22，解得m＝－2. 11．函數(shù)y＝的單調(diào)減區(qū)間為__________________________________． 答案　，k∈Z 解析　由2sin－1≥0，得＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，由單調(diào)性得＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，即＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得，k∈Z. 12．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分圖象如圖所示，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(11)＝________. 答案　2＋2 解析　由圖象可知，f(x)＝2sin的周期為8， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(11) ＝f(1)＋f(2)＋f(3) ＝2sin＋2sin＋2sin＝2＋2. 13．關于函數(shù)f(x)＝sin＋sin，有以下結(jié)論： ①y＝f(x)的最大值為； ②y＝f(x)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)； ③當x1－x2＝π，f(x1)＝f(x2)； ④函數(shù)f(x)的圖象關于點對稱； ⑤將函數(shù)g(x)＝cos2x的圖象向右平移個單位長度后與函數(shù)f(x)的圖象重合． 其中正確的結(jié)論是________．(填序號) 答案　①③④ 解析　f(x)＝sin＋sin ＝cos＋sin＝sin ＝sin. y＝f(x)的最大值為，①正確； 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z可解得函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z，故②錯誤； 當x1－x2＝π時， f(x1)＝f(x2＋π)＝sin ＝sin＝sin＝f(x2)． 故③正確； 由2x－＝kπ，k∈Z可解得函數(shù)的對稱點為 ，k∈Z，當k＝0時，④正確； 將函數(shù)g(x)＝cos2x的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)解析式h(x)＝cos＝cos＝sin，故⑤錯誤． 故答案為①③④. 14．給出下列4個命題： ①函數(shù)y＝tanx的圖象關于點，k∈Z對稱； ②函數(shù)f(x)＝sin|x|是最小正周期為π的周期函數(shù)； ③設θ為第二象限角，則tan>cos，且sin>cos； ④函數(shù)y＝cos2x＋sinx的最小值為－1. 其中正確的命題是________．(填序號) 答案　①④ 解析?、冱c，k∈Z是正切函數(shù)的對稱中心，∴①對； ②f(x)＝sin|x|不是周期函數(shù)，∴②錯； ③∈，k∈Z，當k＝2n＋1，n∈Z時， sin0，從而sinβ＝， 所以sinβ＝，cosβ＝. (2)由ab＝，得sinαcosβ＋cosαsinβ＝， 即sin(α＋β)＝，cos(α＋β)＝－或， sinα＝sin(α＋β－β)＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ， 即sinα＝或sinα＝－，而sinα>0，所以sinα＝. 19．(16分)已知a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，f(x)＝2ab＋2m－1(x，m∈R)． (1)求f(x)關于x的表達式，并求f(x)的最小正周期； (2)若當x∈時，f(x)的最小值為5，求m的值． 解　(1)f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x＋2m－1 ＝sin2x＋cos2x＋2m＝2sin＋2m， ∴f(x)的最小正周期為π. (2)∵x∈，∴2x＋∈， ∴當2x＋＝，即x＝時， 函數(shù)f(x)取得最小值2m－1. ∵2m－1＝5，∴m＝3. 20．(16分)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示． (1)求f(x)的解析式； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮為原來的，再將所得函數(shù)圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)增區(qū)間； (3)當x∈時，求函數(shù)y＝f－f的最值． 解　(1)由題圖得T＝－＝＝， ∴T＝2π，∴ω＝＝1. 又由f＝0，得Asin＝0， ∴＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z. 又∵0<φ<，∴當k＝1時，φ＝. 又由f(0)＝2，得Asin＝2，∴A＝4，∴f(x)＝4sin. (2)將f(x)＝4sin的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到y(tǒng)＝4sin，再將圖象向右平移個單位長度，得到 g(x)＝4sin＝4sin， 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(k∈Z)． (3)y＝f－f ＝4sin－4sin ＝4sin－4sin ＝4－4cos x ＝2sin x＋2cos x－4cos x ＝2sin x－2cos x＝4sin. ∵x∈，x－∈， ∴sin∈， ∴函數(shù)的最小值為－4，最大值為2.